本书在简要介绍有关非线性泛函分析的一些基本定义、理论和重要的不动点定理的基础上,结合作者多年来的研究成果,对二阶、四阶、2n阶和n(n≥3)阶非线性微分方程的奇异边值问题,给出了正解存在的判断依据,研究了二阶奇异边值问题正解的确切个数以及解的性质,展示了奇异边值问题的研究技巧和方法.
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前言
第1章非线性泛函分析的一些基本理论1
1.1基本定义1
1.1.1连续和全连续算子1
1.1.2Fr.echet和G^ateaux微分1
1.1.3抽象函数的积分与微分2
1.1.4非紧性测度3
1.2拓扑度理论4
1.2.1Brouwer度的定义4
1.2.2Leray-Schauder度的定义5
1.2.3Leray-Schauder度的主要性质5
1.2.4锥上的拓扑度7
1.2.5拓扑度的计算8
1.2.6不动点指数的计算9
1.3不动点定理10
1.3.1压缩映象原理10
1.3.2一些著名的不动点定理11
1.3.3锥上的不动点定理12
1.3.4增减算子的不动点定理14
1.3.5混合单调算子与凸凹算子不动点15
1.4变分方法16
1.4.1梯度算子与泛函的弱下半连续性17
1.4.2弱下半连续泛函极值的存在性17
1.4.3极值与临界值的关系18
1.4.4下降流不变集与极值理论19
1.4.5极小极大原理21
参考文献23
第2章二阶微分方程奇异边值问题的正解25
2.1二阶非共振次线性奇异Dirichlet边值问题的正解25
2.1.1二阶非共振奇异Dirichlet边值问题25
2.1.2上下解方法27
2.1.3C[0;1]和C1[0;1]正解存在的充分必要条件31
2.2二阶非共振超线性奇异Sturm-Liouville边值问题的正解37
2.2.1二阶非共振超线性奇异Sturm-Liouville边值问题37
2.2.2Green函数38
2.2.3超线性奇异Sturm-Liouville边值问题的正解41
2.2.4奇异Sturm-Liouville边值问题的多重正解45
2.3二阶非共振次线性奇异多点边值问题的正解50
2.3.1二阶微分方程的非共振奇异多点边值问题50
2.3.2比较定理和上下解方法51
2.3.3二阶次线性多点边值问题正解存在的充分必要条件55
2.3.4例子57
2.4二阶微分方程奇异Sturm-Liouville多点边值问题正解的存在性58
2.4.1二阶奇异Sturm-Liouville多点边值问题58
2.4.2解的积分表示60
2.4.3正解的存在性68
2.5二阶微分系统的非局部奇异边值问题的三个正解70
2.5.1二阶微分系统的非局部奇异边值问题71
2.5.2非局部边值问题解的积分表达式72
2.5.3二阶奇异微分系统三个正解的存在性74
参考文献79
第3章四阶微分方程奇异边值问题的正解83
3.1一类四阶次线性奇异边值问题的正解83
3.1.1四阶次线性微分方程奇异边值问题83
3.1.2比较定理及应用84
3.1.3C2[0,1]和C3[0,1]正解存在的充分必要条件89
3.2四阶次线性奇异m-点边值问题的上下解方法96
3.2.1四阶次线性奇异m-点边值问题96
3.2.2四阶次线性多点边值问题正解存在的充分必要条件101
3.2.3对称结果102
3.3四阶超线性奇异m-点边值问题的正解103
3.3.1四阶超线性奇异m-点边值问题103
3.3.2四阶超线性奇异m-点边值问题正解的充分必要条件104
3.3.3对称结果113
3.4带两个参数四阶边值问题的正解与多解性113
3.4.1带两个参数四阶边值问题114
3.4.2Green函数和非线性算子的性质115
3.4.3不动点指数的计算117
3.5四阶m-点边值问题的多重变号解123
3.5.1四阶m-点边值问题的多重非平凡解123
3.5.2拓扑度的计算124
3.5.3多重变号解的存在性135
参考文献138
第4章2n阶微分方程奇异边值问题的正解141
4.1一类2n阶次线性奇异边值问题的正解141
4.1.12n阶次线性微分方程的奇异边值问题141
4.1.2比较定理和上下解方法142
4.1.3C2n.2[0;1]和C2n.1[0;1]正解存在的充分必要条件149
4.22n阶超线性奇异m-点边值问题的正解154
4.2.12n阶超线性奇异m-点边值问题154
4.2.2C2n.2[0;1]和C2n.1[0;1]正解存在的充分必要条件155
4.2.3对称结果163
4.32n阶两点边值问题的多重非平凡解164
4.3.12n阶两点边值问题的多重非平凡解164
4.3.2解的性质166
4.42p阶和2q阶奇异积分边值系统的正解170
4.4.12p阶和2q阶奇异积分边值系统问题170
4.4.2解的积分等价表达式171
4.4.3正解的存在性180
4.4.4多重正解的存在性和正解非存在性187
4.4.5例子196
参考文献197
第5章n阶微分方程奇异边值问题的正解199
5.1一类n阶具有各阶导数项次线性奇异边值问题的正解199
5.1.1n阶具有各阶导数项次线性奇异边值问题199
5.1.2比较定理和上下解方法200
5.1.3Cn.1[0,1]正解存在的充分必要条件205
5.2n阶奇异半正(k;n.k)共轭边值问题的正解209
5.2.1奇异半正(k;n.k)共轭m-点边值问题209
5.2.2Green函数的性质210
5.2.3至少有一个正解的存在性218
5.3Banach空间n阶非线性脉冲积微分方程奇异边值问题的正解219
5.3.1Banach空间n阶非线性脉冲积微分方程奇异边值问题219
5.3.2非线性积分算子的性质220
5.3.3正解的存在性229
参考文献232
第6章奇异边值问题正解的确切个数235
6.1一类含有p-Laplacian算子的奇异边值问题解的确切个数235
6.1.1一类含有p-Laplacian算子的奇异边值问题235
6.1.2正解的准确个数和解的性质236
6.1.3解的积分表达函数的性质237
6.1.4奇异边值问题的正解准确个数的实现243
6.2一类p-Laplacian方程边值问题正解的确切个数和解的性质247
6.2.1含有p-Laplacian算子的二阶微分方程边值问题248
6.2.2p-Laplacian方程边值问题正解的确切个数和解的性质248
6.2.3积分表示法250
6.2.4打靶法255
6.3具有一般非线性一维平均曲率方程正解的确切个数257
6.3.1一维平均曲率方程边值问题的正解257
6.3.2时间映射分析法259
6.3.3正解的准确个数268
6.4非线性项f=up+uq情形平均曲率方程正解的确切个数272
参考文献276
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