本书是一本研究非线性演化系统的专著。书中应用近些年新发展起来的符号计算方法，研究非线性演化系统精确解的构造与计算，重点讨论一类非线性Vakhnenko系统以及几类有代表性非线性演化系统精确解的构造、传播与控制等，展示这些非线性系统丰富而奇特的动力学特征。
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目录
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前言
第一部分 非线性演化系统基础
第1章 引言 3
1.1 几个基本概念 3
1.1.1 线性与非线性 3
1.1.2 演化系统与动力系统 3
1.1.3 演化系统与偏微分方程 3
1.1.4 偏微分方程的阶和解 4
1.2 线性偏微分方程 4
1.2.1 线性偏微分方程定义 4
1.2.2 线性偏微分方程的叠加原理 5
第2章 非线性演化系统 6
2.1 非线性演化系统及其相关性质 6
2.1.1 孤立波与KdV方程 6
2.1.2 孤立波与孤子 7
2.1.3 非线性演化系统的精确解 8
2.2 非线性演化系统的激发 8
2.2.1 孤立波的激发 8
2.2.2 孤子、混沌与分形的关系 9
2.3 非线性演化系统的模型化 9
2.3.1 非线性Vakhnenko系统 9
2.3.2 稀松介质中高频波传播的非线性Vakhnenko系统模型 10
2.3.3 Vakhnenko系统的研究进展 11
第二部分 非线性演化系统的精确解
第3章 (G/G)展开法与修正广义的Vakhnenko系统的孤立波解 15
3.1 二阶线性常微分方程 15
3.1.1 帝微分方程的基本概念 15
3.1.2 二阶线性常微分方程及其解的结构 17
3.1.3 二阶常系数齐次线性常微分方程 17
3.2 (G/G)展开法 21
3.3 (G/G)展开法与Vakhnenko系统的精确孤立波解 23
3.4 修正广义的Vakhnenko系统的孤立波 27
3.4.1 对修正广义的Vakhnenko系统一个变换 27
3.4.2 修正广义的Vakhnenko系统的孤立波解 28
3.5 系统参数对修正广义的Vakhnenko系统孤立波的传播控制 35
3.5.1 参数β对孤立波的控制 35
3.5.2 参数p对孤立波的控制 36
3.5.3 参数q对孤立波的控制 37
3.5.4 参数k对系统的控制 38
3.5.5 参数λ，μ对系统的控制 39
3.6 本章小结 40
第4章 扩展的(G/G)展开法与Vakhnenko系统的广义行波解 42
4.1 扩展的(G/G)展开法 42
4.2 Vakhnenko系统的广义行波解 43
4.3 Vakhnenko系统的激发孤立波 48
4.3.1 周期波激发 48
4.3.2 环形孤立波激发 53
4.4 本章小结 56
第5章 扩展的Riccati映射法与一类广义Vakhnenko系统广义行波解 57
5.1 Riccati映射法 57
5.1.1 Tanh函数展开法 57
5.1.2 Riccati映射法 58
5.2 类广义Vakhnenko系统的广义行波解 60
5.3 单环孤立波激发 62
5.4 双环孤立波激发 66
5.5 本章小结 70
第6章 改进的Hirota法与广义扩展Vakhnenko系统 71
6.1 Hirota双线性法 71
6.1.1 Hirota双线性算子及其性质 71
6.1.2 Hirota双线性法步骤 72
6.1.3 改进的Hirota双线性法求解 72
6.2 改进的Hirota双线性法的一个应用 73
6.2.1 耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统 73
6.2.2 耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的光滑N孤立波 74
6.2.3 耗散Zabolotskava Khokhlov系统的奇异N孤立波 77
6.2.4 耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的N孤立波演化与交互 78
6.3 扩展广义Vakhnenko系统的多孤立波 79
6.3.1 扩展广义Vakhnenko系统的单孤立波 80
6.3.2 扩展广义Vakhnenko系统的二孤立波 82
6.3.3 扩展广义Vakhnenko系统的三孤立波 84
6.4 扩展广义Vakhnenko系统孤立波间的交互 85
6.4.1 双孤立波交互 85
6.4.2 三孤立波交互 86
6.5 本章小结 97
第7章 F展开法与修正广义Vakhnenko系统的包络解 98
7.1 F展开法 98
7.1.1 F展开法的求解步骤 98
7.2 修正广义Vakhnenko系统的Jacobi函数包络解 101
7.3 惨正广义Vakhnenko系统的行波与孤立波特性 110
7.4 本章小结 113
第8章 动力系统法与非线性演化系统的精确解 114
8.1 动力系统法 114
8.2 动力系统法求修正广义Vakhnenko系统的精确解 114
8.2.1 修正广义Vakhnenko系统的三类精确行波解 1 14
8.2.2 解的验证 120
8.3 动力系统法求短脉冲系统的精确解 122
8.3.1 短脉冲系统 122
8.3.2 短脉冲系统的Jacobi椭圆函数解 123
8.4 本章小结 127
第9章 混合法构造非线性演化系统的精确解 128
9.1 混合法 128
9.2 (1+1)维Gardner系统 128
9.3 (1+1)维Gardner系统的混合函数解 128
9.4 (1+1)维Gardner系统的混合函数解的传播特性 132
9.5 本章小结 135
第三部分 非线性演化系统的孤子激发
第10章 非线性演化系统的时间孤子激发 139
10.1 非线性耦合Schrodinger系统 139
10.1.1 非线性耦合Schrodinger系统的数学模型 139
10.1.2 非线性耦合Schrodinger系统的广义行波解 139
10.1.3 非线性耦合Schrodinger系统的时间孤子激发 144
10.2 非线性耗散Zabolotskava Khokhlov系统 148
10.2.1 非线性耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统简介 148
10.2.2 非线性耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的广义行波解 148
10.2.3 非线性耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的时间孤子激发 153
10.3 本章小结 159
第11章 非线性演化系统的特殊孤子结构激发 160
11.1 (2+1)维变系数色散长波系统的广义行波解 160
11.2 (2+1)维变系数色散长波系统的特殊孤子结构激发 165
11.2.1 单向线孤子 165
11.2.2 Lump弧子与环孤子 166
11.2.3 Dromion孤子 168
11.2.4 振动Dromion孤子 170
11.2.5 呼吸孤子 172
11.2.6 Solitoff孤子 172
11.2.7 Peakon孤子 174
11.2.8 Compacton孤子 176
11.2.9 方孤子 177
11.2.10 折叠孤子 177
11.2.11 单向折叠孤子 179
11.2.12 单向双折叠孤子 179
11.2.13 单向上下折叠孤子 180
11.2.14 双层凹状折叠孤子 182
11.2.15 双向折叠孤子 182
11.2.16 单向多折叠孤子 183
11.2.17 双向双层折叠孤子 184
11.3 (2+1)维变系数色散长波系统的其他折叠孤子 185
11.3.1 周期性压缩折叠孤子 186
11.3.2 指数压缩折叠孤子 187
11.4 (2+1)维变系数色散长波系统孤子间的相互作用 188
11.4.1 孤子的非弹性碰撞 189
11.4.2 孤子的弹性碰撞 191
11.5 (2+1)维变系数色散长波系统孤子的裂变与聚变 193
11.5.1 孤子裂变 193
11.5.2 孤子聚变 193
11.5.3 (2+1)维变系数色散长波系统的孤子湮灭 194
11.6 (2+1)维变系数色散长波系统的周期波背景孤子 196
11.6.1 周期波背景Dromion孤子 196
11.6.2 周期波背景的双Dromion孤子及其演化 197
11.7 (3+1)维Burgers系统的广义行波解 198
11.8 (3+1)维Burgers系统的内嵌孤子 203
11.8.1 内嵌孤子 203
11.8.2 三重内嵌孤子 203
11.8.3 明暗内嵌孤子 205
11.8.4 螺旋状明暗内嵌孤子 205
11.9 (3+1)维Burgers系统的锥孤子 206
11.10 (3+1)维Burgers系统的柱孤子 206
11.11 本章小结 207
第12章 非线性演化系统的混沌结构激发 208
12.1 混沌系统 208
12.1.1 混沌的基本概念 208
12.1.2 Lorenz混沌系统 209
12.1.3 Duffing混沌系统 209
12.2 单向混沌结构 211
12.2.1 (3+1)维Burgers系统的单向混沌结构 212
12.2.2 (2+1)维变系数色散长波系统的单向混沌结构 213
12.3 双向混沌结构 215
12.3.1 f(3+1)维Burgers系统的双向混沌结构 215
12.3.2 (2+1)维变系数色散长波系统的双向混沌结构 218
12.4 混沌结构演化 219
12.5 本章小结 221
第13章 非线性演化系统的分形结构激发 222
13.1 分形的基本概念 222
13.2 (2+1)维变系数Broer Kaup系统 222
13.3 (2+1)维变系数Broer Kaup系统的广义行波解 223
13.4 (2+1)维变系数Broer Kaup系统的分形结构激发 226
13.4.1 十字型分形结构 226
13.5 Dromion分形结构 229
13.6 Lump分形结构 232
13.7 复合分形结构 233
13.8 本章小结 236
附录A Jacobi椭圆函数及其基本公式 237
A.1 Jacobi椭圆函数的定义 237
A.2 Jacobi椭圆函数的基本公式 237
附录B 部分局域结构激发的Matlab作图程序 239
B.1 折叠孤子激发的Matlab作图程序 239
B.2 混沌结构激发的Matlab作图程序 241
B.3 分形结构激发的Matlab作图程序 242
参考文献 244
索引 255
插图目录
图3.1 参数β对孤立波的影响.孤立波(3.91)在设置(3.106)，β取不同值时的形状 36
图3.2 参数p对孤立波的影响.孤立波(3.91)在设置(3.107)，p取不同值时的形状 37
图3.3 参数q对孤立波的影响.孤立波(3.91)在设置(3.108)，q取不同值时的形状 38
图3.4 参数k对孤立波的影响.孤立波(3.91)在设置(3.109)和δ=1.25，k取不同值时的形状 39
图3.5 峰状孤立波 孤立波(3.91)在设置(3.110)和巧=1.25时的形状 40
图3.6 尖状孤立波 孤立波(3.91)在设置(3.110)和巧=2.35时的形状 40
图3.7 环状孤立波 孤立波(3.91)在设置(3.110)和巧=3.85时的形状 40
图4.1 系统(4.2)不同视图下的周期波.解(4.38)，a，k，V，C1，C2，λ，δ1取式（4.40） 49
图4.2 系统(4.2)的周期波.解(4.38)，a=1，k=2，V =0.2 ，C1=3，C2=2，δ1取不同值 50
图4.3 系统(4.2)的周期波.解(4.38)，a=0.4 ，k=2，V=0.2 ， C1=3，C2=2，T=1，δ1取不同值 51
图4.4 系统(4.2)的周期波.解(4.38)，a=0.4 ，k=1.1 ，v=0.2 ，C1=3，C2=2，δ1=3，T取不同值 52
图4.5 系统(4.2)不同视图下的孤立波 解(4.21)中f(X)，g(T)取式(4.41)，a，k，V，C1，C2，λ，δ1取式(4.48) 54
图4.6 系统(4.2)的环孤立波 解(4.21)中f(X)，g(T)取式(4.41)，a，k，V，C1，C2， λ，δ1取式(4.48)，δ1取不同值 55
图5.1 单环孤立波(5.32)在不同视图下的图形 参数设置为V=1，k=1，p=0.5 ，σ=-3,a=0.8 63
图5.2 单环孤立波(5.32)的图形 参数设置为V=1，k=1， p=0.5 ，σ=-3 ，a=1，T取不同值 64
图5.3 参数σ对单环孤立波(5.32)的影响.设置为V=1，k=1，p= 0.5 ，σ=-3 ，T=0，σ取不同值 64
图5.4 参数σ对单环孤立波(5.32)的影响.设置为a=1，V=1，k=1，p= 0.5 ，T=1，σ取不同值 65
图5.5 双环孤立波(5.34)在不同视图下的图形 参数设置为V=1，k=1，p=0.5 ，σ=-3,a=0.8 66
图5.6 系统参数p对双环孤立波(5.34)的影响.设置为a=0.5 ，V=1，k=1，σ=-8，T=0，p取不同值 67
图5.7 T对双环孤立波(5.34)的影响.设置为V=1 ，k=1 ，p=1，σ= -3，a= 1.6 ，T取不同值 68
图5.8 σ对双环孤立波（5.34）的影响.设置为V=1,k=1， p=,1， T=1 ,a= 1.6 ，σ取不同值 69
图6.1 Zabolotskava-Khokhlov系统的三孤立波(6.42)演化与交互.参数满足式(6.42)，t取不同的值 78
图6.2 单环状孤立波.单孤立波解(6.61)，设置满足式(6.62)，β= -9，p取不同值 81
图6.3 单尖状孤立波.单孤立波解(6.61)，设置满足式(6.62)，β=8，p取不同值 81
图6.4 单峰状孤立波.单孤立渡解(6.61)，设置满足式(6.62)，β=35，p取不同值 82
图6.5 系统(6.43)双孤立波的六种形态 解为式(6.67)，k1，k2和β取不同值 83
图6.6 系统(6.43)三孤立波的形态示例 解为式(6.76)，参数p，k1，,k2 ，β不同 85
图6.7 系统(6.43)双孤立波演化与交互过程.解为式(6.67)，参数p，k1，,k2，β满足设置（6.79） 87
图6.8 系统(6.43)双孤立波演化与交互过程.解为式(6.67)，参数p，k1，,k2 ，k3，β满足设置（6.80） 88
图6.9 系统(6.43)三孤立波演化与交互过程.解为式(6.76)，参数p，k1，,k2 ，k3，β满足设置(6.81) 89
图6.10 系统(6.43)三孤立波演化与交互过程.解为式(6.76)，参数p，k1，,k2 ，k3，β满足设置(6.82) 90
图6.11 系统(6.43)三孤立波演化与交互过程.解为式(6.76)，参数p，k1，,k2 ，k3，β满足设置(6.83) 91
图6.12 系统（6.43）三孤立波演化与交互过程.解为式(6.76)，参数p，k1，,k2 ，k3，β满足设置(6.84) 93
图6.13 系统(6.43)三孤立波演化与交互过程.解为式(6.76)，参数p，k1，k2 ，β满足设置(6.8 5) 94
图6.14 系统(6.43)三孤立波演化与交互过程.解为式(6.76)，参数p，k1，k2，k3，β满足设置(6.86) 95
图6.15 系统（6.43）三孤立波演化与交互过程.解为式(6.76)，参数p，k1，k2，β满足设置(6.78) 96
图7.1 行波与孤立波关系图.解u1(7.66)满足条件(7.68)，模数m和β取不同值 111
图7.2 行波与孤立波关系图.解u2(7.67)满足条件(7.68)，模数m和β取不同值 112
图8.1 周期波解 解(8.27)在设置(8.31)且β= 5时的图形 118
图8.2 周期波解 解f8.27）在设置(8.31)且β=6时的图形 119
图8.3 周期波解 解(8.27)在设置(8.31)且β=10时的图形 119
图8.4 周期波解 解(8.27)在设置(8.31)且β=12.6 时的图形 119
图8.5 周期波解 解（8.27）在设置(8.31)且β= 13.2时的图形 119
图8.6 周期波解 解(8.27)在设置(8.31)且β= 15时的图形 120
图8.7 周期波解 解(8.27)在设置(8.31)且β= 15.8 时的图形 120
图8.8 周期波解 解(8.27)在设置(8.31)且β = 16时的图形 120
图8.9 周期波解(8.59)，m=0.1 124
图8.10 周期波解(8.59)，m=0.5 125
图8.11 周期波解(8.59)，m=0.9 9 125
图8.12 孤立波（8.60） 126
图8.13 周期波解（8.61） 126
图8.14 周期波解（8.62） 126
图9.1 (1+1)维Gardner系统的混合函数解传播过程.解(9.34)在设置(9.37)下j=0变量t取不同值 133
图9.2 (1+1)维Gardner系统的混合函数解传播过程.解(9.34)在设置(9.3 7)下j=1变量t取不同值 134
图9.3 (1+1)维Gardner系统的混合函数解传播过程.解(9.36)在设置(9.38)，j=0模m取不同值 135
图10.1 非线性耦合Schrodinger系统的Jacobi椭圆函数激发解 解(10.35)满足设置(10.42)(10.44)时 不同视图下的图形 145
图10.2 非线性耦合Schrodinger系统的Jacobi椭圆函数激发解的演化 解(10.35)满是设置(10.42)(10.44)，t取不同值时的图形 146
图10.3 非线性耦合Schrodinger系统的三角函数激发解 解(10.35)满足设置为式(10.43)，式(10.45)和式(10.46)时，不同视图下的图形 146
图10.4 非线性耦合Schrodinger系统的三角函数激发解的演化 解(10.35)满足设置为式(10.43)，式(10.4 5)和式(10.46)，k取不同值时的图形 147
图10.5 非线性耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的时间孤子.解(10.72)中h(t)，r(t)满足式(10.75)，x，C1，C2，δ1满足式(10.76)，k取不同值 153
图10.6 非线性耗散Zabolotskava-Khokhlov系统的时间孤子.解(10.72)中h(t)，r(t)满足式(10.77)，x，C1，C2，δ1，k1，k2满足式(10.78)，k取不同值 154
图10.7 非线性耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的时间孤子.解(10.72)中h(t)，r(t)满足式(10.79)，xC1，C2，δ1满足式(10.80)，k取不同值 155
图10.8 非线性耗散Zabolotskava Khokhlov系统的时间孤子.解(10.72)中h(t)，r(t)满足式(10.81)和式(10.8 2)，x，C1，C2，δ1 满足式(10.83)，k取不同值 157
图10.9 非线性耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的时间孤子.解(10.72)中h(t)，r(t)满足式(10.84)式(10.85)，式(10.86)，x，C1，C2，k1，δ1满足式(10.87)，k2，k3取不同值 158
图11.1 单向线孤子.解(11.38)在设置(11.39)-(11.40)下的图形 166
图11.2 环状Lump孤子.解(11.38)在t=-20，设置为式(11.4 2)及式(11.41)时的图形 166
图11.3 峰状Lump孤子.解(11.38)在t=0，设置为式(11.4 2)及式(11.41)时的图形 167
图11.4 Lump孤子演化图 解(11.38)在设置为式(11.4 2)及式(11.41)下的演化过程 167
图11.5 Lump孤子及其演化 解(11.38)在设置为式(11.43)及式(11.4 4)下的演化过程 168
图11.6 双Lump孤子.解(11.38)在设置(11.44)下f(x，t)，g(y)满足不同条件时的图形 169
图11.7 Dromion孤子.解(11.38)在设置为式(11.51)，f，g分别取式(11.4 7)(11.50)时的图形 170
图11.8 单向振动Dromion孤子.解(11.38)在f(x，t)，g(y)逸取为式(11.52)及设置为式(11.53)时的图形 170
图11.9 单向振动Dromion孤子(图11.8)的剖面图 171
图11.10 双向振动Dromion孤子.解(11.38)在f(x，t)，g(y)选取为式(11.54)及设置为式(11.53)时的图形 171
图11.11 双向振动Dromion孤子(图11.10)的剖面图 171
图11.12 呼吸孤子.解(11.38)在f(x，t)，g(y)选取为式(11.55)及设置为式(11.56)，t取不同值时的图形 172
图11.13 Solitoff孤子.解(11.38)在f(x，t)，g(y)取式(11.57)，且设置为式(11.58)下的图形 173
图11.14 单Peakon孤子.解(11.38)在取式(11.61)和式(11.62)及设置为式(11.63)时的图形 175
图11.15 双Peakon孤子.解(11.38)在取式(11.61)和式(11.62)及设置为式(11.64)时的图形 175
图11.16 塌陷Peakon孤子与塌陷Peakon孤子.解(11.38)在取式(11.65)，式(11.62)及设置式(11.6 3)时的图形 176
图11.17 单Compacton孤子.解(11.38)在取式(11.6 8)和式(11.69)及设置为式(11.70)时的图形 177
图11.18 方孤子及其演化 解(11.38)在取式(11.71)及设置为式(11.72)时的演化图形 178
图11.19 单向折叠孤子.解(11.38)在f(x，t)选取为式(11.76)，g(y)选取为式(11.77)及设置为式(11.7 8)的图形 180
图11.20 单向双折叠孤子.解(11.38)在f(x，t)选取为式(11.76)，g(y)选取为式(11.79)及设置为式(11.78)的图形 181
图11.21 单向上下折叠孤子.解(11.38)在f(x，t)选取为式(11.80)，g(y)选取为式(11.77)及设置为式(11.78)的图形 181
图11.22 双层凹状折叠孤子.解(11.38)在f，x，g选取为式(11.81)及设置为式(11.82)时的图形 182
图11.23 双向折叠孤子.解(11.38)在f ，x，g选取为式(11.83)及设置为式(11.84)时的图形 183
图11.24 单向三折叠孤子.解(11.38)在选取f，x，g为式(11.85)及设置为式(11.86)时的图形 184
图11.25 双向双层折叠孤子.解(11.38)在f(X，t)，x，g，y 可选取式(11.87)及设置为式(11.88)时的图形 185
图11.26 类折叠孤子.解(11.38)在f(X，t)，x，g选取为式(11.89)及设置式(11.90)的演化图形 187
图11.27 周期折叠孤子.解(11.38)在f(X，t)，x，g选取为式(11.91)及设置为式(11.92)时的演化图形 188
图11.28 孤子的同向追碰 解(11.38)在f(x，t)，g(y)选取为式(11.93)及设置为式(11.94)的演化图形 190
图11.29 孤子的异向碰撞 解(11.38)在f(x，t)，g(y)选取为式(11.95)及设置为式(11.96)的演化图形 191
图11.30 孤子的弹性碰撞 解(11.38)在f(x，t)，g(y)选取为式(11.97)及设置为式(11.98)的演化图形 192
图11.31 孤子的裂变 解(11.38)在f(x，t)，g(y)选取为式(11.99)及设置为式(11.100)的演化图形 194
图11.32 孤子的聚变 解(11.38)在f(x，t)， g(y)选取为式(11.101)及设置为式(11.100)的演化图形 195
图11.33 孤子的湮灭.解(11.38)在ff(x，t)，g(y)选取为式(11.102)及设置为式(11.103)的演化图形 196
图11.34 周期波背景的Dromion孤子 197
图11.35 周期波背景的双Dromion孤子演化 解(11.38)在f(x，t)，g(y)选取为式(11.106)及设置为式(11.1 05)，，t取不同值的图形 198
图11.36 内嵌孤子.解(11.148)在取式为式(11.1 49)及设置为式(11.150)时的演化图形 203
图11.37 三重内嵌孤子.解(11.148)在选取为式(11.151)及设置为式(11.152)时的演化图形 204
图11.38 明暗内嵌孤子.解(11.148)在选取为式(11.152)及设置为式(11.153)时的图形 205
图11.39 螺旋状明暗内嵌孤子.解(11.148)在选取为式(11.152)及设置为式(11.154)时的图形 205
图11.40 锥孤子.解(11.148)在选取为式(11.155)及设置为式(11.156)时的图形 206
图11.41 柱孤子.解(11.148)在取式(11.157)及设置为式(11.158)时的图形 207
图12.1 Lorenz系统混沌解 209
图12.2 Lorenz系统混沌解 210
图12.3 Duffing系统混沌解 211
图12.4 f(3+1)维Burgers系统的单向混沌结构 212
图12.5 f(3+1)维Burgers系统的单向混沌结构 213
图12.6 f(3+1)维Burgers系统的单向混沌结构 213
图12.7 f(3+1)维Burgers系统的单向混沌结构 214
图12.8 f(2+1)维变系数色散长波系统的单向混沌结构 214
图12.9 f(2+1)维变系数色散长波系统的单向混沌结构 215
图12.10 f(3+1)维Burgers系统的双向混沌结构 216
图12.11 f(3+1)维Burgers系统的双向混沌结构 217
图12.12 f(2+1)维变系数色散长波系统的双向混沌结构 218
图12.13 f(2+1)维变系数色散长波系统双向混沌结构的演化 解(11.38)满足条件(12.5)，条件(12.6)，且x取Duffing系统(12.2)的混沌解X，y取Duffing系统(12.2)的混沌解dX/dt时间t取不同值时的图形 220
图12.14 f(3+1)维变Burgers系统双向混沌结构的演化 解(11.148)满足条件(12.11)，条件(12.12)，且x取Duffing系统(12.2)的混沌解X，z取Duffing系统(12.2)的混沌解dX/dt时间t取不同值时的图形 220
图13.1 十字型孤子结构.解(13.26)满足条件(13.27)，且在不同参数设置下的图形 227
图13.2 十字型分形结构.解(13.26)满足条件(13.27)和条件(13.28)，且在不同区域上的图形 228
图13.3 十字型分形结构.解(13.26)满足条件(13.27)和条件(13.32)，且在不同区域上的图形 229
图13.4 单向分形结构.解(13.26)满足条件(13.3 4)和条件(13.28)，且在不同区域上的图形 229
图13.5 Dromion分形结构.解(13.26)满足条件(13.3 5)和条件(13.36)的图形 230
图13.6 Dromion分形结构.解(13.26)满足条件(13.3 7)相条件(13.36)，且在不同区域上的图形 231
图13.7 单向Dromion分形结构.解(13.26)满足条件(13.38)和条件(13.36)，且在不同区域上的图形 232
图13.8 代数分形结构.解(13.26)满足条件(13.39)和条件(13.36)的图形 232
图13.9 复合分形结构.解(13.26)满足条件(13.40)和条件(13.28)的图形 234
图13.10 复合分形结构.解(13.26)满足条件(13.41)和条件(13.42)的图形 235
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