本书系统讲述了偏微分方程一般理论的主要结果和研究方法。主要内容包括：实分析与泛函分析在Sobolev空间中的应用，整数次与分数次Sobolev空间的基本性质和基本技巧，如逼近理论、紧嵌入理论、迹定理、单位分解等基本理论以及局部化、平直化、光滑化和紧支化等技巧,二阶线性椭圆方程的各类边值问题弱解的存在唯一性、正则性、极值原理、Schauder理论等方面的主要结果以及泛函方法、特征值方法、差商方法等现代偏微分方程方法和De Giorgi迭代技巧，二阶线性抛物方程和二阶线性双曲方程的基本理论，弱解的存在唯一性、正则性，能量方法，Galerkin方法，Lions定理与发展方程以及线性抛物型方程的Schauder理论和Lp理论，一阶线性双曲型方程式的特征线方法，一阶线性双曲型方程组的基本概念和对称双曲系统的黏性消失法等。
本书适合偏微分方程、微分动力系统、实分析、泛函分析、计算数学、数学物理、控制论方向的研究生、教师及科研人员阅读参考。
样章试读
目录
- 前言
第1章 引言
1.1 偏微分方程的发展史
1.2 偏微分方程的理论研究
1.3 偏微分方程的基本概念与分类
1.3.1 偏微分方程的定义及各种经典的偏微分方程 (组)
1.3.2 二阶线性偏微分方程的分类
1.3.3 一阶和高阶线性偏微分方程的分类
习题一
第2章 Sobolev 空间
2.1 预备知识
2.1.1 几个常用的不等式
2.1.2 空间 Ck(Ω) 和 Ck0(Ω)
2.1.3 Lp空间的基本性质
2.1.4 磨光算子
2.1.5 截断函数或切断因子
2.1.6 单位分解
2.1.7 区域边界的局部拉平
2.1.8 Lebesgue 积分
2.1.9 广义函数
2.1.10 线性算子的基本性质
2.2 整数次 Sobolev空间Wm，p(Ω)
2.2.1 整数次 Sobolev 空间的定义
2.2.2 Wm，p(Ω) 的性质
2.2.3 逼近
2.2.4 延拓
2.2.5 Wm，p0(Ω) 空间及其对偶空间 W-m，p'0(Ω)
2.2.6 Sobolev不等式与嵌入定理
2.2.7 紧性——嵌入与紧嵌入
2.2.8 Poincaré不等式
2.2.9 差商与Sobolev空间
2.2.10 时空Sobolev空间
2.3 L2(Rn)中的Fourier变换
2.4 实指数的Sobolev空间 Hs(Rn)和Hs(Ω)
2.4.1 实指数的Sobolev空间Hs(Rn)的定义及其性质
2.4.2 空间H-s(Rn)， s>0
2.4.3 Hs(Rn)中的嵌入定理
2.4.4 Hs(Rn)范数的内插
2.4.5 Hs(Rn)的等价范数
2.5 任意区域Ω上的分数次Sobolev空间 Hs(Ω)
2.5.1 任意区域Ω上的分数次Sobolev空间 Hs(Ω)的定义
2.5.2 Hs(Ω)中的嵌入定理
2.5.3 范数内插
2.6 迹与迹算子
习题二
第3章 二阶线性椭圆型方程
3.1 二阶线性椭圆型方程的定义
3.1.1 二阶线性椭圆型方程的基本概念
3.1.2 第一边值问题弱解的定义
3.2 第一边值问题弱解的存在性
3.2.1 Lax-Milgram定理
3.2.2 能量估计
3.3 二阶线性椭圆型方程的其他边值问题
3.3.1 弱解定义的基本思想
3.3.2 其他边值问题弱解定义的一些例子
3.4 极值原理
3.4.1 古典解的极值原理
3.4.2 弱解的极值原理与De Giorgi迭代
3.5 Fredholm抉择性质的应用——二阶椭圆型方程解的存在性准则
3.6 椭圆型方程的特征值问题
3.7 解的正则性
3.7.1 解的正则性的基本思想与差商方法
3.7.2 弱解的内部正则性
3.7.3 弱解的全局正则性
3.8 线性椭圆型方程边值问题的其他存在性结论
习题三
第4章 二阶线性抛物型方程
4.1 二阶线性抛物型方程的定义与定解问题
4.2 古典解的极值原理
4.2.1 古典解的弱极值原理
4.2.2 Harnack不等式
4.2.3 古典解的强极值原理
4.2.4 Cauchy问题的最大值原理 (Ω= Rn情形)
4.3 古典解的唯一性与能量方法
4.3.1 唯一性
4.3.2 能量不等式
4.4 Galerkin方法与弱解的存在唯一性
4.4.1 弱解的定义
4.4.2 Galerkin方法
4.4.3 Galerkin近似
4.4.4 能量估计
4.4.5 存在性与唯一性
4.4.6 弱解的等价定义、弱解的极值原理与De Giorgi迭代
4.4.7 Galerkin方法的更进一步应用
4.5 弱解的正则性
4.5.1 弱解正则性的基本思想及正则性估计的形式获得
4.5.2 弱解的正则性理论
4.6 Lions定理与发展型偏微分方程
4.6.1 Lions定理
4.6.2 Lions定理的应用——抛物型方程弱解的存在性
4.6.3 复值 Lions定理及其应用——Schrödinger方程弱解的存在性
4.7 线性抛物型方程的Schauder理论和Lp理论
习题四
第5章 二阶线性双曲型方程
5.1 二阶线性双曲型方程的定义与定解问题
5.2 Galerkin方法与弱解的存在性和正则性
5.2.1 弱解的定义
5.2.2 弱解的存在性
5.2.3 弱解的正则性
5.3 Lions定理和双曲型方程
5.3.1 实值Lions定理和双曲型方程
5.3.2 复值Lions定理和双曲型方程弱解的存在唯一性
习题五
第6章 一阶线性双曲型方程
6.1 特征线方法与一阶线性双曲型方程式
6.1.1 特征线方法
6.1.2 例子
6.2 一阶线性双曲型偏微分方程组
6.2.1 定义
6.2.2 对称双曲系统与黏性消失法
习题六
参考文献
京公网安备 11010102004214号