本书为江苏省高等学校重点教材, 着重介绍数值计算方法的基本概念、基本理论、基本方法及其在大气科学中的应用. 主要内容包括误差分析、多项式插值、函数逼近、数值积分与数值微分、非线性方程数值解法、线性方程组数值解法、矩阵的特征值与特征向量计算、常微分方程数值解.每章最后附有气象示例，最后一章专门介绍了计算方法在气象中的应用实例.
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前言
第1章 绪论 1
1.1 计算方法概述 1
1.1.1 科学计算与计算方法 1
1.1.2 计算方法的研究对象与特点 .2
1.2 误差的基本理论 3
1.2.1 浮点数与机器数系 3
1.2.2 误差的来源及分类 4
1.2.3 绝对误差与相对误差 6
1.2.4 算术运算中误差的传播与分析 .10
1.3 算法设计的注意事项 12
1.3.1 减少运算步骤, 加快运算速度 13
1.3.2 选用稳定算法, 避免误差扩散 15
1.3.3 遵循几个原则, 提高计算精度 16
习题1 19
第2章 插值法 20
2.1 插值问题与气象应用 20
2.1.1 插值问题 20
2.1.2 插值多项式的存在唯一性 20
2.1.3 气象应用 21
2.2 Lagrange 插值 22
2.2.1 Lagrange 插值多项式 22
2.2.2 插值余项 24
2.3 差商与 Newton 插值 27
2.3.1 Lagrange 多项式的递推形式 .28
2.3.2 差商 29
2.3.3 Newton 插值多项式 31
2.4 差分与等距节点插值 35
2.4.1 差分及其性质 36
2.4.2 等距节点插值公式 38
2.5 分段插值 41
2.5.1 高次插值 Runge 现象 41
2.5.2 分段插值 42
2.6 Hermite 插值 43
2.7 三次样条插值 .47
2.7.1 三次样条插值问题定义 47
2.7.2 三次样条插值函数的构造方法 .48
2.7.3 三次样条插值余项估计 53
2.7.4 样条函数的统一表示形式 53
2.8 气象案例 55
习题2 58
第3章 函数逼近 61
3.1 函数逼近的基本概念 62
3.1.1 函数逼近和函数空间 62
3.1.2 范数和内积 64
3.1.3 最佳逼近 66
3.2 正交多项式 67
3.2.1 正交多项式的概念和性质 67
3.2.2 Chebyshev 多项式 70
3.2.3 其他常用正交多项式 76
3.3 最佳平方逼近 .78
3.3.1 最佳平方逼近及其计算 78
3.3.2 正交函数族最佳平方逼近 84
3.3.3 最佳一致逼近 86
3.4 曲线拟合的最小二乘法 .90
3.4.1 最小二乘法及其计算 90
3.4.2 正交多项式的最小二乘拟合 96
3.4.3 超定方程组的最小二乘解 98
3.5 气象案例 101
习题3 103
第4章 数值积分与数值微分 .105
4.1 插值型数值求积公式 105
4.1.1 数值求积公式 105
4.1.2 插值型求积公式 107
4.1.3 数值求积公式的代数精度 108
4.1.4 数值求积公式的数值稳定性 111
4.2 Newton-Cotes 求积公式 112
4.2.1 Newton-Cotes 求积公式 112
4.2.2 几种低阶 Newton-Cotes 求积公式的积分余项 116
4.3 复化求积公式 118
4.3.1 复化梯形公式 119
4.3.2 复化 Simpson 公式 119
4.4 Romberg 算法 123
4.4.1 区间逐次二分法 123
4.4.2 复化求积公式的收敛阶 125
4.4.3 Romberg 算法 126
4.5 Gauss 型求积公式 131
4.5.1 基本概念 131
4.5.2 Gauss 点 133
4.5.3 Gauss-Legendre 公式 134
4.5.4 数值稳定性和收敛性 137
4.5.5 带权 Gauss 公式 137
4.6 数值微分 141
4.6.1 插值型求导公式 141
4.6.2 三次样条插值求导 144
习题4 145
第5章 非线性方程求根 148
5.1 迭代法的一般概念 149
5.1.1 方程根的存在性与唯一性 149
5.1.2 迭代法 150
5.1.3 二分法 150
5.2 Picard 迭代法 152
5.2.1 Picard 迭代的收敛性 .154
5.2.2 Picard 迭代法敛散性的几何解释 156
5.2.3 Picard 迭代的局部收敛性和误差估计 157
5.2.4 迭代的收敛速度与渐进误差估计 160
5.3 Newton-Raphson 迭代法 .162
5.3.1 Newton 法的大范围收敛性 163
5.3.2 Newton 法的局部收敛性 .165
5.3.3 重根条件下 Newton 法的改进 166
5.4 割线法 168
5.5 加速方法 169
5.5.1 Aitken 加速法 169
5.5.2 Steffensen 迭代法 171
5.5.3 高阶迭代法 172
习题5 173
第6章 线性方程组的直接解法 174
6.1 引言与预备知识 174
6.1.1 引言 174
6.1.2 预备知识 176
6.2 Gauss 消元法 .177
6.2.1 Gauss 消元法 177
6.2.2 列主元 Gauss 消元法 181
6.3 矩阵三角分解法 184
6.3.1 Gauss 消元法的矩阵解释 184
6.3.2 Doolittle 分解 186
6.3.3 Cholesky 分解与平方根法 192
6.3.4 LDLT 分解与改进的平方根法 196
6.3.5 追赶法 197
6.3.6 带列主元的三角分解 202
6.4 向量范数和矩阵范数 208
6.4.1 向量范数 208
6.4.2 向量范数等价性 210
6.4.3 矩阵范数 213
6.5 条件数与误差分析 219
6.5.1 病态方程组与条件数 219
6.5.2 方程组的病态检测与改善 225
习题6 227
第7章 线性方程组的迭代解法 230
7.1 迭代法的构造 230
7.1.1 Jacobi 迭代法 .232
7.1.2 Gauss-Seidel 迭代法 233
7.2 迭代法的收敛性 236
7.2.1 一阶定常迭代法的收敛性 237
7.2.2 Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel 迭代法的收敛性 .243
7.2.3 迭代法的收敛速度 247
7.3 超松弛迭代法 248
7.3.1 逐次超松弛迭代法 249
7.3.2 SOR 迭代法的收敛性 250
7.4 共轭梯度法 254
7.4.1 变分问题 254
7.4.2 最速下降法 255
7.4.3 共轭梯度法 256
习题7 259
第8章 常微分方程数值解法 .262
8.1 引言 .262
8.2 简单的数值方法 264
8.2.1 Euler 法及其几何意义 264
8.2.2 后退 Euler 法 265
8.2.3 梯形法 266
8.2.4 单步法的局部截断误差与阶 267
8.3 Runge-Kutta 法 271
8.3.1 Runge-Kutta 法的基本思想 271
8.3.2 三阶与四阶 Runge-Kutta 法 274
8.3.3 步长的选取 277
8.4 单步法的相容性、收敛性和稳定性 278
8.4.1 单步法的相容性 278
8.4.2 单步法的收敛性 279
8.4.3 单步法的稳定性 281
8.5 线性多步法 285
8.5.1 显式 Adams 法 .285
8.5.2 隐式 Adams 法 .287
8.5.3 Adams 预估–校正格式 289
8.6 常微分方程组与边值问题的数值解法 290
8.6.1 一阶常微分方程组 290
8.6.2 高阶方程的初值问题 292
8.6.3 边值问题的差分解法 293
8.7 气象案例 295
习题8 297
第9章 矩阵特征值与特征向量的计算 300
9.1 特征值的性质和估计 300
9.2 幂法及反幂法 302
9.2.1 幂法 302
9.2.2 加速方法 309
9.2.3 反幂法 312
9.3 正交变换 314
9.3.1 Householder 变换 315
9.3.2 Givens 变换 317
9.4 QR 方法 319
9.4.1 基本的 QR 方法 .319
9.4.2 带原点平移的 QR 方法 324
9.5 实对称矩阵的 Jacobi 方法 325
9.5.1 Jacobi 方法 .325
9.5.2 Jacobi 方法的收敛性 327
9.5.3 Jacobi 过关法 .329
9.6 气象案例 330
习题9 332
第10章 气象应用 .334
10.1 气象中的动力预报数值模式 334
10.1.1 数值天气预报中的偏微分方程组 334
10.1.2 空间差分方案对大气中惯性重力波频散关系的影响 335
10.1.3 空间差分方案对大气中 Rossby 波频散关系的影响 340
10.1.4 时间差分方案对振荡方程计算稳定性的影响 343
10.1.5 数值天气预报模式的创新性非结构球面质心网格特点 345
10.2 四维变分气象资料同化起源、伴随映射和伴随微分方程 348
10.2.1 气象资料同化问题是数学反问题 348
10.2.2 四维变分气象资料同化方法的起源和在20世纪90年代的蓬勃发展 349
10.2.3 数值天气预报模式和观测算子的线性伴随映射 350
10.2.4 推导偏微分方程的伴随方程的拉格朗日方法 352
10.2.5 插值和最小二乘法在早期气象资料分析方法中的应用 355
10.3 矩阵特征向量和线性回归在气象卫星资料研究中的应用 359
10.3.1 微波湿度计沿轨条纹噪声去除 359
10.3.2 微波温度计跨轨条纹噪声去除 361
10.3.3 微波成像仪资料无线电信号干扰检测 .363
10.3.4 微波温度计资料的台风暖核反演 365
10.4 结束语 367
参考文献 368
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