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本书主要探讨可积湍流、孤立子气体等可积系统的最新进展。内容涵盖可积湍流的概念、不同背景下可积湍流的统计描述,孤立子气体的黎曼-希尔伯特渐近分析方法、湍流和孤子气体的谱理论,以及物理信息神经网络在孤子方程求解中的应用等内容。当前,该领域多数理论仍处于发展阶段,具体研究方法与方向尚未完全明确。为此,本书重点研究:可积非线性薛定谔方程的平面波背景和椭圆余弦波背景生成的可积湍流、孤立子气体的动力学方程和谱理论、KdV方程的本原势和孤立子气体的黎曼-希尔伯特问题分析方法。期望通过这些初期研究成果,为其他可积模型中可积湍流与孤立子气体问题的研究提供参考与助力。

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  “非线性发展方程动力系统丛书”序
  前言
  第1章 可积湍流定义及其统计特性 1
  1.1 可积系统中的湍流 1
  1.1.1 弱非线性系统的统计学描述 3
  1.1.2 动力学方程的导出 7
  1.1.3 KP-I方程的动力学方程 8
  1.1.4 缺少高阶项的动力学方程 11
  1.1.5 强可积系统的湍流 13
  1.2 可积湍流和怪波 15
  1.2.1 可积湍流-渐近态 18
  1.2.2 调制不稳定性的非线性阶段： 向渐近状态演化 21
  1.3 由椭圆余弦波的调制不稳定性生成的可积湍流 26
  1.3.1 数值方法 33
  1.3.2 渐近稳定状态的演化 34
  1.3.3 椭圆余弦波参数的依赖性 42
  第2章 本原势 49
  2.1 KdV方程的本原势和有界解 49
  2.1.1 简介 49
  2.1.2 通过穿衣法找Bargmann 势 51
  2.1.3 对称的黎曼-希尔伯特问题 54
  2.1.4 周期单带势 58
  2.1.5 可积系统的解 61
  2.1.6 数值实验 61
  2.1.7 讨论和展望 68
  2.2 作为本原解的KdV方程的代数几何有限带解 69
  2.2.1 相关背景介绍 69
  2.2.2 本原势的有限带解 70
  2.2.3 k-平面上的Baker-Akhiezer函数 73
  2.2.4 从Baker-Akhiezer函数到本原势 77
  2.2.5 数值本原解 81
  2.2.6 讨论和公开问题 84
  2.3 KdV方程的本原解的一些主要结果 84
  2.3.1 作为一个*问题的反散射的重述 85
  2.3.2 极点变换和本原解 87
  2.3.3 无反射本原势的代数几何势 91
  2.3.4 对称情形 93
  第3章 孤子气体 95
  3.1 致密孤子气体的动力学方程 95
  3.2 双向色散流体动力学中的孤子气体 101
  3.2.1 双向孤子气体的动力学方程 103
  3.2.2 多组分双向孤子气体：黎曼问题 110
  3.3 聚焦非线性薛定谔方程孤子和呼吸气体的谱理论 115
  3.3.1 热力学谱尺度化 121
  3.3.2 呼吸子和孤子气体的非线性色散关系 122
  3.3.3 孤子或呼吸子在气体中的传播 128
  3.3.4 稀薄呼吸子、孤子气体和孤子凝聚体 131
  3.3.5 呼吸子气体和孤子气体的动力学方程 138
  3.4 孤子气体——N-孤子解的极限 142
  3.4.1 当x→-∞时势函数u(x,0)的渐近性 150
  3.4.2 当t→+∞时u(x,t)的渐近性 175
  第4章 波湍流 194
  4.1 一维模型的色散波湍流 194
  4.1.1 一维模型 194
  4.1.2 四波共振方程 195
  4.1.3 聚焦和耗散的无量纲化 196
  4.1.4 为什么会有级联? 198
  4.1.5 显式可解的弱湍流理论 199
  4.1.6 动力学方程的推导 200
  4.1.7 动力学方程的显式解 201
  4.1.8 Zakharov的原始推导 206
  4.1.9 一种新的惯性范围缩放理论 209
  4.2 一维波湍流 210
  4.2.1 MMT模型方程中的弱湍流 212
  4.2.2 孤子和准孤子之间的区别 225
  4.2.3 聚焦MMT模型中的孤子和爆破 227
  4.2.4 散焦MMT模型中的准孤子 230
  4.2.5 数值方法的简要描述 233
  第5章 物理信息神经网络与可积模型 236
  5.1 偏微分方程的数据驱动解与解的AI修复 237
  5.2 多阶段预固定物理信息神经网络算法及其在耦合系统中的应用 247
  5.3 物理信息神经网络在其他方程中的应用 254
  参考文献 258
  “非线性发展方程动力系统丛书”已出版书目 273