本书是根据作者多年来在上海大学为物理类专业学生讲授数学物理方法课程的教学实践经验，在第一版的基础上修订而成的。本书主要内容分为6章，分别为复变函数论、积分变换、数学物理方程、二阶线性常微分方程、三维曲线坐标系下分离变量法与特殊函数以及格林函数法等内容。
本书在保证内容结构完整的前提下，尽量删繁就简、力求突出主线，强
调知识点前后呼应，教学内容逻辑更加鲜明突出。同时本书配套了微课视频，读者可扫描书中二维码进行学习。
样章试读
目录
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前言
第1章 复变函数论 1
1.1 复数 1
1.1.1 复数的定义 1
1.1.2 复数的运算 2
1.1.3 复数的几何表示.4
习题1.1 9
1.2 复变函数的概念 10
1.2.1 区域的定义与分类 10
1.2.2 复变函数的单值性要求与黎曼面 11
习题1.2 14
1.3 复变函数的导数及解析函数 14
1.3.1 复变函数的连续性 14
1.3.2 复变函数的导数及解析函数的定义 15
1.3.3 柯西–黎曼条件 15
1.3.4 复变函数解析的充分必要条件 17
1.3.5 利用柯西–黎曼条件确定解析函数 18
1.3.6 解析函数的特性 19
习题1.3 22
1.4 复变函数的积分 23
1.4.1 复变函数积分的定义.23
1.4.2 柯西积分定理 24
1.4.3 柯西积分公式 26
习题1.4 28
1.5 解析函数的幂级数展开 29
1.5.1 幂级数 30
1.5.2 泰勒级数 32
1.5.3 洛朗级数 37
1.5.4 复变函数的零点与奇点 40
习题1.5 43
1.6 留数定理 44
1.6.1 留数的定义 44
1.6.2 留数定理及证明 45
1.6.3 留数的求法 45
1.6.4 无穷远点处函数的留数及留数和定理 46
习题1.6 48
1.7 留数定理在实变函数积分中的应用 49
1.7.1 类型一:*型积分 49
1.7.2 类型二:*型积分.52
1.7.3 类型三:*型积分 55
1.7.4 具有支点的函数的积分.59
习题1.7 61
1.8 复变函数的色散关系 62
第2章 积分变换 65
2.1 傅里叶级数 65
2.1.1 周期函数的傅里叶级数展开 66
2.1.2 复数形式的傅里叶级数 69
2.1.3 有限区间上函数的傅里叶级数展开 71
2.1.4 多重傅里叶级数展开 74
习题2.1 75
2.2 傅里叶积分变换 75
2.2.1 傅里叶积分变换的概念 75
2.2.2 傅里叶变换的基本性质 78
习题2.2 81
2.3 离散傅里叶变换 82
2.3.1 一维点阵上周期函数的离散傅里叶级数展开 82
2.3.2 一维点阵上非周期函数的离散傅里叶变换 84
2.4 δ-函数 85
2.4.1 δ-函数的定义 85
2.4.2 δ-函数的性质 87
2.4.3 δ-函数的导数 90
2.4.4 δ-函数的傅里叶变换 91
2.4.5 利用 δ-函数讨论某些典型函数的傅里叶变换 94
2.4.6 傅里叶变换的积分定理.95
2.4.7 泊松求和公式 97
2.4.8 有限区间上δ-函数的傅里叶级数展开 98
习题2.4 99
2.5 拉普拉斯变换 100
2.5.1 拉普拉斯变换的定义 101
2.5.2 拉普拉斯变换的性质 102
习题2.5 108
2.6 拉普拉斯变换在常微分方程求解中的应用 108
习题2.6 111
第3章 数学物理方程 112
3.1 波动问题 112
3.1.1 波动方程 (双曲型方程) 的导出 113
3.1.2 定解问题的建立 119
3.1.3 有限区间齐次方程齐次边界条件波动定解问题的分离变量法求解 123
3.1.4 有限区间非齐次方程齐次边界条件定解问题的分离变量法求解 135
3.1.5 共振 140
3.1.6 有限区间非齐次边界条件定解问题的求解 142
3.1.7 积分变换法求解无界和半无界弦振动问题 143
习题3.1 152
3.2 输运问题 153
3.2.1 输运方程 (抛物型方程)的导出及其定解问题的确立 154
3.2.2 有限区间上输运方程的分离变量法求解 159
3.2.3 无界与半无界空间上输运问题的求解 164
习题3.2 168
3.3 稳定场问题 169
3.3.1 稳定场方程 (椭圆方程) 及其定解问题的确立 170
3.3.2 有限区间上稳定场问题的分离变量法求解 171
3.3.3 无界空间上稳定场问题的求解 178
习题3.3 179
3.4 施图姆–刘维尔本征值问题 179
3.4.1 施图姆–刘维尔本征值问题的概念 179
3.4.2 本征函数族的正交性与广义傅里叶级数 181
习题3.4 182
第4章 二阶线性常微分方程.184
4.1 线性齐次常微分方程解的线性相关性 184
习题4.1 186
4.2 二阶齐次常微分方程的级数解法 187
4.2.1 方程正常点邻域内的解 187
4.2.2 方程奇点邻域内的解 191
习题4.2 200
4.3 二阶非齐次常微分方程 200
第5章 三维曲线坐标系下分离变量法与特殊函数 202
5.1 正交曲线坐标系 203
习题5.1 206
5.2 球坐标系下拉普拉斯方程定解问题求解 207
5.2.1 勒让德多项式及轴对称系统拉普拉斯方程的求解 210
5.2.2 缔合勒让德函数与一般球函数 224
习题5.2 230
5.3 柱坐标系下拉普拉斯方程定解问题求解 231
5.3.1 整数阶贝塞尔方程及其解.234
5.3.2 m-阶贝塞尔函数Jm(x)及诺伊曼函数Nm(x)的性质 239
5.3.3 虚宗量贝塞尔方程及其解.241
5.3.4 贝塞尔方程的本征值问题.243
5.3.5 柱状体系中拉普拉斯方程求解范例 247
习题5.3 251
5.4 亥姆霍兹方程在球坐标系和柱坐标系下的求解问题 251
5.4.1 球坐标系下亥姆霍兹方程的求解 251
5.4.2 柱坐标系下亥姆霍兹方程的求解 258
习题5.4 258
5.5 贝塞尔函数的应用 259
习题5.5 261
第6章 格林函数法.262
6.1 无界空间泊松方程的格林函数 264
习题6.1 266
6.2 镜像法求解格林函数266
习题6.2 269
6.3 不同边值问题的格林函数 269
6.4 亥姆霍兹方程的格林函数 271
习题6.4 274
6.5 波动方程的格林函数求解 275
主要参考书目 277
附录A 群论简介 278
A.1 群论的基本概念.278
A.1.1 群的定义 278
A.1.2 几个简单的群的实例 279
A.1.3 关于群的一些简单讨论 282
A.1.4 子群 284
A.1.5 陪集与商群 286
A.1.6 群的同态与同构 287
A.1.7 直积群 288
A.2 置换群 289
A.2.1 置换群的基本概念 289
A.2.2 重排定理与凯莱定理 291
A.2.3 轮换与交换 292
A.3 转动群 293
A.3.1 二维欧几里得平面内的转动群 293
A.3.2 三维欧几里得空间中的转动群 299
A.4 代数的基本概念 302
A.5 李群和李代数 304
A.6 群的表示 305
A.6.1 群表示的基本概念 305
A.6.2 特征标及等价表示 306
A.6.3 可约表示与不可约表示 306
附录B 列维–奇维塔符号(全反对称符号) 308
B.1 列维--奇维塔符号的概念 308
B.1.1 爱因斯坦求和约定 308
B.1.2 列维–奇维塔符号的定义及基本运算规则 309
B.2 列维–奇维塔符号在矢量和张量运算中的应用 311
索引 314
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