本书汇集了拓扑空间与线性拓扑空间方面的大量反例。主要内容为：拓扑空间，可数性公理，分离性公理，连通性，紧性，局部凸空间，桶空间和囿空间，线性拓扑空间中的基。
本书可供高等院校理工科学生、研究生、教师参考。
样章试读
目录
- 第一章 拓扑空间
引言
1 存在某个非离散的拓扑空间，其中每个开集都是闭集，而每个闭集也都是开集
2 存在某个集X上的两个拓扑，其并不是X上的拓扑
3 存在某个Hausdorff空间中的基本有界集，它不是紧有界的
4 存在某个积空间X×y中的不开的子集A，使A[x]={y|（x，y）∈A)与A[y]={x|(x，y) ∈}分别是y与X的开集
5 存在某个集X上的两个拓扑τ1与τ2，使τ1∩τ2，但(X，τ1)中的半开集未必是(X，τ2)中的半开集
6 存在某个集X上的两个不同的拓扑τ1与τ2，使A是(X，τ1)中的半开集当且仅当A是(X，τ2)中的半开集
7 存在某个S闭空间，它的一个子空间不是S闭的
8 存在某个S闭空间的连续像，它不是S闭的
9 存在某个集上的一族Urysohn拓扑，其中不存在最弱的拓扑
10 存在某个由拓扑空间X到Y上的半同胚映射f,它在X的某个子集A上的限制f|A不是A到f(A)上的半同胚映射
11 存在某个拓扑空间的紧子集，它不是S紧的
12 存在两个正则开集，其并不是正则开集
13 存在两个正则闭集，其交不是正则闭集
14 存在某个拓扑空间X，其中每个非空子集在X中都是稠密的
15 存在某个有限集，其导集非空
16 存在某个集的导集，它不是闭集
l7 存在某个T1空间中的紧集，它不是闭的
18 存在某个拓扑空间，其中每个非空闭集都不是紧的
19 存在某个非Hausdorff空间，其中每个紧集都是闭的，而每个闭集也都是紧的
20 存在某个紧集，其闭包不是紧集
21 存在某个拓扑空间，它的每个紧集都不包含非空开集
22 存在某个无限拓扑空间，其中每个子集都是紧的
23 存在实数集上的一个Hausdorff拓扑，它的任何有理数子集的导集都是空集
24 存在某个无限拓扑空间，其中不含有无限孤立点集
25 存在某个非离散的拓扑空间，其中每个紧集都是有限集
26 存在集X上两个不可比较的拓扑τ1与τ2，使(X，τ1)与(X，τ2)同胚
27 存在两个拓扑空间X与y，使X同胚于y的一个子空间，而y同胚于X的一个子空间，但X与y并不同胚
28 存在一维欧氏空间R的两个同胚的子空间A与B，而不存在R到R上的同胚映射f，使f(A)=B
29 存在某个非紧的度量空间X，使X上的每个实值连续函数都是一致连续的
30 R2中存在不同胚的子集
31 存在两个同胚的度量空间X与y，其中X中的有界集都是全有界的，而y中的有界集并不都是全有界的
32 存在两个度量空间X与y，使X2与y2等距而X与y并不等距
33 存在某个非紧的度量空间，它不能与其真子集等距
34 存在某个拓扑空间X，X的点都是函数，其拓扑相当于逐点收敛，而X不是可度量化的空间
35 存在某个函数序列{fn}，其图像序列{G(fn)}收敛，但{fn}并不一致收敛
第二章 映射与极限
引言
1 存在无界的收敛实数网
2 存在某个序列的子网，它不是子序列
3 存在某个网{xα|α∈A}及A的一个无限子集B，使{xβ|β∈B}不是子网
4 存在某个序列闭集，它不是闭集
5 存在某个拓扑空间的序列，它收敛于该空间的每一个点
6 存在某个集X上的两个拓扑τ1与τ2，凡{xn}依τ1收敛于x必蕴涵{xn}依τ2收敛于x,但τ1并不强于τ2
7 至多有一个聚点的拓扑空间
8 1°子集A以点x为聚点;2°A/{x}中存在序列收敛于x;3°A\{x}中存在完全不同的点所成的序列收敛于x.上述三个命题彼此
不等价
9 存在某个具有聚点的可数集S，而在S中不存在收敛于该聚点的序列
10 存在某个非第一可数空间，使得每个集的每个聚点必是该集中某个序列的极限
11 存在两个拓扑空间，其中每个集的每个聚点必是该集中某个序列的极限，但其积空间却无此性质
12 聚点、w聚点与凝聚点这三个概念两两相异
13 一个非Hausdorff空间，其中收敛序列的极限都是唯一的
14 存在某个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射，它是连续的，但既不是开的也不是闭的
15 存在某个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射，它是开的和闭的，但不是连续的
16 存在某个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射，它是闭的，但既不是开的也不是连续的
17 存在某个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射，它是连续的和开的，但不是闭的
18 存在某个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射，它是开的，但既不是连续的也不是闭的
19 存在某个拓扑空间到另一个拓扑空间上的映射，它是连续的和闭的，但不是开的
20 存在某个一对一的闭映射，其逆映射不是闭映射
21 存在某个拓扑空间X到另一个拓扑空间Y的两个连续而不相等的映射，它们在X的某个稠密子集上取值相同
22 存在某个不连续映射，它把紧集映成紧集
23 存在两个连续闭映射f与g,使f×g不是闭映射
24 存在半连续而不连续的映射
25 存在两个半连续映射，它们的和与积并不半连续
26 存在某个半连续映射序列的逐点极限，它并不半连续
27 弱*连续映射与弱连续映射互不蕴涵
28 弱连续映射与序列连续映射互不蕴涵
29 序列连续且弱连续而不弱*连续的映射
30 序列连续且弱*连续而不弱连续的映射
31 弱连续且序列连续而不连续的映射
32 存在某个具有强闭图像的弱连续映射，它并不连续
33 存在某个具有强闭图像的映射，它并不弱连续
34 存在某个具有闭图像的映射，它的图像并不强闭
35 存在某个Darboux映射，它不是连续映射
36 闭映射、诱导闭映射与伪开映射之间的关系
37 存在某个闭包连续映射，它却无处连续
38 存在拓扑空间X，Y及映射f:X→Y，使f在某点连续而不闭包连续
39 存在某个正则空间X到拓扑空间Y的映射f，使f在某点闭包连续而不连续
40 存在弱连续而非θ-s连续的映射
第三章 可分性与可数性
引言
1 存在某个不可分的拓扑空间，它满足可数链条件
2 可分性与第一可数公理互不蕴涵
3 可分空间与紧空间互不蕴涵
4 可分空间与Lindelof空间互不蕴涵
5 第一可数空间与Lindelof空间互不蕴涵
6 第一可数空间与紧空间互不蕴涵
7 第一可数空间与Hausdorff空间互不蕴涵
8 存在不满足第一可数性公理的可数拓扑空间
9 存在某个T1空间，其中每个紧子集都是闭的，但它不是Hausdorff空间
10 存在满足第一可数公理而不满足第二可数公理的拓扑空间
11 存在某个满足第一可数公理且可分的Lindelof空间，它不满足第二可数公理
12 存在不满足第二可数公理的遗传可分空间
13 存在某个可分的紧空间，它不是稠密可分的
14 存在某个不可分空间，它有可分的Stone-Cech紧化
15 存在不可数个可分空间，其积空间并不可分
16 存在某个可分空间的闭子空间，它不是可分的
17 存在某个集X上的两个拓扑τ1与τ2,τ1<τ2,使(X，τ1)可分而(X，τ2)不可分
18 存在某个满足第一可数公理的拓扑空间，它的一个面空间不满足第一可数公理
19 存在不可数个满足第一可数公理的拓扑空间，其积空间不满足第一可数公理
20 存在某个满足第一可数公理的拓扑空间，它的一个连续像不满足第一可数公理
21 存在两个Lindelof空间，其积空间不是Lindelof空间
22 存在某个Lindelof空间的子空间，它不是Lindelof空间
23 存在某个可分的度量空间X及Lindelof空间Y，使X×Y不是Lindelof空间
24 存在不可度量化的满足第一可数公理的可分的紧Hausdorff空间
25 存在某个可分的度量空间，它无处局部紧
26 存在一族可度量化的拓扑空间，其积空间不可度量化
27 存在某个可度量化的拓扑空间，它的一个商空间不可度量化
第四章 分离性
引言
1 存在某个拓扑空间，它不是T0空间
2 存在T0而非T1的拓扑空间
3 存在T1而非T2的拓扑空间
4 存在T2而非半正则的拓扑空间
5 存在半正则而非正则的拓扑空间
6 存在某个Hausdorff空间，它不是完全Hausdorff空间
7 存在某个完全Hausdorff空间，它不是正则空间
8 半正则空间与完全Hausdorff空间互不蕴涵
9 存在某个完全Hausdorff空间，它不是Urysohn空间
10 存在某个Urysohn空间，它不是完全正则空间
11 Urysohn空间与半正则空间互不蕴涵
12 存在完全正则而非正规的拓扑空间
13 存在正规而不完备正规的拓扑空间
14 存在正规而不完全正规的拓扑空间
15 正则而不完全正则的拓扑空间
16 Urysohn空间与正则空间互不蕴涵
17 完全正规而不完备正规的拓扑空间
18 存在某个正规空间的子空间，它不是正规空间
19 存在某个非正规空间，它的每个真子空间都是正规的
20 存在两个正规空间，其积空间并不正规
21 存在不可数个可度量化的可数空间，其积空间并不正规
22 存在两个完全正规空间，其积空间并不完全正规
23 存在一族完备正规空间，其积空间并不完备正规
24 存在某个正则空间的商空间，它不是正则空间
25 存在某个由正则空间X到拓扑空间Y上的一对一的闭映射f,使f(X)=Y不是正则空间
26 介于T0与T1之间的分离公理
27 介于T1与T2之间的分离公理
28 存在不可度量化的紧的完全正规空间
29 存在不可度量化的可数的完全正规空间
第五章 连通性
引言
1 存在连通而非弧状连通的拓扑空间
2 存在弧状连通而非超连通的拓扑空间
3 存在局部连通而非局部弧状连通的拓扑空间
4 局部连通空间与连通空间互不蕴涵
5 弧状连通空间与局部连通空间互不蕴涵
6 超连通空间与局部连通空间互不蕴涵
7 局部弧状连通空间与超连通空间互不蕴涵
8 局部弧状连通空间与连通空间互不蕴涵
9 局部弧状连通空间与弧状连通空间互不蕴涵
10 存在连通而不强连通的拓扑空间
11 强局部连通空间与强连通空间互不蕴涵
12 存在某个拓扑空间的子集A与B，使AUB与AUB都是连通的，但A与B并不都连通
13 闭包连通而本身并不连通的子集
14 存在某个拓扑空间，其中每个无限集都是连通的
15 存在某个不连通的度量空间(X,d)，使得对每一x∈X，fx(y)=d(x，y)都具有介值性质
16 存在某个度量空间(X，d)申的序列S，使S有子列Y={yn}满足limd(yn,yn+1)=0,C(Y)=C(S),而C(S)不连通，这里C(Z)表示序列Z的聚点之集
17 存在不闭的弧状连通区
18 存在某个弧状连通集，其闭包并不弧状连通
19 R2中存在某个子集B，使B与B都是连通的，且B还是弧状连通的，但B却不是弧状连通的
20 存在某个连通空间，任意移走一点后仍为连通空间
21 存在完全不连通的非离散的拓扑空间
22 存在某个完全不连通的度量空间，其中任意开球B(a,r)的闭包都是闭球B[a,r
23 存在某个连通空间，只移走一点后就变成完全不连通空间
24 存在可数Hausdorff连通空间
25 存在可数Hausdorff连通、局部连通空间
26 存在具有散点的可数Hausdorff连通空间
27 存在某个具有散点p的连通空间X，使得对每一连续的非常值映射f:X+X，都有f(p)=p
28 存在某个连通空间，它是可数个两两不相交的连通紧集的并集
29 存在某个拓扑空间，它是两个全断的闭子集的并，但它本是连通的
30 存在可数个局部连通空间，其积空间并不局部连通
31 存在某个局部连通空间的连续像，它不是局部连通的
32 存在拓扑空间X与Y以及X到Y上的连续满射f,使f(X)=Y是连通空间，而X不是连通空间
33 箱拓扑与积拓扑之间的差异
第六章 紧性
引言
1 存在子集紧而不可数紧的拓扑空间
2 存在可数紧而不紧的拓扑空间
3 存在序列紧而不紧的拓扑空间
4 存在紧而不序列紧的拓扑空间
5 存在可数紧而不序列紧的拓扑空间
6 存在局部紧而不强局部紧的拓扑空间
7 三种不同的局部紧空间的定义之间的关系
8 存在某个强局部紧空间，它不是紧的
9 存在某个Lindelof空间，它不是紧的
10 存在某个紧而不紧的拓扑空间
11 R2中存在两个局部紧的子空间，其并不是局部紧的
12 存在可数个局部紧空间，其积不是局部紧的
13 存在某个局部紧空间的子空间，它不是局部紧的
14 存在某个局部紧空间的商空间，它不是局部紧的
15 存在某个局部紧空间的连续像，它不是局部紧的
16 存在某个强局部σ紧空间X和开映射f,使f(X)不是强局部紧的
17 存在某个强局部σ紧空间的开连续像，它不是强局部紧的
18 存在可数个σ紧空间，其积不是σ紧的
19 存在某个σ紧空间的子空间，它不是σ紧的
20 存在某个拓扑空间中的两个紧集，其交不是紧集
21 存在不可数个序列紧空间，其积空间并不序列紧
22 存在两个可数紧空间，其积空间并不可数紧
23 存在某个子集紧空间的连续像，它不是子集紧的
24 存在某个Hausdorff空间，它的一点紧化不是Hausdorff空间
25 任给自然数n,可构造一个具有n点紧化的拓扑空间，但对m>n，不存在m点紧化空间
26 存在两个Hausdorff空间，它们都有n点紧化空间，而其积空间没有n点紧化空间
27 存在某个最强的紧拓扑，它不是Hausdorff拓扑
28 存在某个最弱的Hausdorff拓扑，它不是紧拓扑
29 存在某个可度量化的局部紧空间，其一点紧化不可度量化
30 存在可数亚紧而非亚紧的拓扑空间
31 存在亚紧而不仿紧的拓扑空间
32 存在一个仿紧空间，它不是紧空间
33 存在可数亚紧而不可数仿紧的拓扑空间
34 存在可数仿紧而不可数紧的拓扑空间
35 存在可数仿紧而不仿紧的拓扑空间
36 亚紧空间与可数仿紧空间互不蕴涵
37 存在仿紧而不全体正规的拓扑空间
38 存在正规而不全体正规的拓扑空间
39 存在全体正规而不超全体正规的拓扑空间
40 存在正规而不族正规的拓扑空间
41 存在族正规而不完全族正规的拓扑空间
42 存在σf仿紧而非正规的拓扑空间
43 存在某个可数亚紧空间的开连续像，它不是可数亚紧的
44 存在两个仿紧空间，其积空间并不仿紧
45 存在某个仿紧空间的子空间，它不是仿紧空间
46 存在某个完全正规的仿紧空间与某个可分的度量空间，其积空间不是正规空间
47 存在某个亚紧的Moore空间，它不是可遮空间
48 存在某个可遮的Moore空间，它并不正规
49 存在不可度量化的完全正规的仿紧空间
50 存在不可度量化的Moore空间
51 存在某个仿紧的遗传可分的半度量空间，它不是可展的
第七章 线性拓扑空间
引言
1 线性度量空间中的一个度量有界集，它不有界
2 一个非局部凸的线性度量空间，其中度量有界集与有界集是一致的
3 存在某个有界集，它的凸包不是有界的
4 存在某个相对紧集，它的平衡凸包不是相对紧的
5 局部有界而不局部凸的线性拓扑空间
6 局部凸而非局部有界的线性拓扑空间
7 xn→o并不蕴涵的线性拓扑空间
8 存在某个线性空间上的两个不同拓扑，它们具有相同约有界集
9 存在某个线性空间上的两个不同拓扑，它们具有相同的连续线性泛函
10 存在某个线性空间上的两个不同拓扑，它们具有相同的闭子空间
11 有界集必为全有界集的无穷维线性拓扑空间
12 存在某个赋范线性空间X的子集B，使B是σ(X，X')全有界而不范数拓扑全有界
13 存在某个无穷维线性拓扑空间，其申的有界闭集都是紧的
14 存在某个线性拓扑空间，其申存在紧而不序列紧的子集
15 一个线性空间上的两种不同的拓扑，在这两种拓扑下收敛序列是相同的，但紧集并不相同
16 Mackey相对紧而非Mackey相对序列紧的子集
17 有界而不连续的线性映射
18 连续而不强有界的线性映射
19 无处连续的自反开映射
20 非线性的等距映射
21 不存在非零连续线性泛函的线性拓扑空间
22 一个非局部凸空间，在它上面存在非零连续线性泛函
23 一个线性拓扑空间中的两个闭子空间，其和不闭
24 代数相补而不拓扑相补的闭子空间
25 一个线性拓扑空间，其中每个有限维子空间都没有相补子空间
26 存在某个最强的线性拓扑，它不是局部凸的
27 存在两个线性拓扑，其交不是线性拓扑
第八章 局部凸空间
引言
1 一个局部凸的Frechet空间，它不是Banach空间
2 不可度量化的完备的局部凸空间
3 序列完备而不有界完备的局部凸空间
4 有界完备而不完备的局部凸空间
5 完备而不Br完备的局部凸空间
6 全完备而不超完备的线性拓扑空间
7 不可度量化的超完备的局部凸空间
8 不完备的G空间
9 两个相容的拓扑，其中一个完备而另一个不完备
10 存在某个不可分的局部凸空间，它的每个有界子集都是可分的
11 存在某个完备空间的稠密的真子空间，它是序列完备的
12 一个局部凸空间的对偶空间中的弱*紧集，它并不强*有界
13 一个局部凸空间中的凸紧集，它不是其端点集的凸包
14 一个局部凸空间中的平衡闭凸集，它没有端点
15 具有稠密端点的凸集
16 一个线性拓扑空间申的紧凸集，它没有端点
17 一个局部凸Hausdorff空间中的两个凸紧集A与B，使ext(A十B)≠ext(A)十ext(B)
18 存在某个紧集，其绝对凸闭包不是紧的
19 一个对偶空间(X，Y)，使X上的一个相容拓扑并不位于σ(X，Y)与m(X，Y)之间
20 一个线性空间，在它上面的所有相容局部凸拓扑都是相同的
21 一族局部凸空间Xa的归纳极限X，使X的某个有界集不包含于任何一个Xa内
22 一个局部凸空间族Xa的归纳极限X，使在某个Xa上由X诱导出来的拓扑不等于Xa的原拓扑
23 存在某个局部凸空间中的两个赋范子空间的代数直接和，它不可度量化
24 非局部凸的几乎弱*拓扑
25 几乎弱*闭而不弱*闭的集合
26 存在某个全完备空间到另一个全完备空间上的连续线性映射，它不是开的
27 伪完备而不完备的线性拓扑空间
28 一个线性拓扑空间上的平移不变的距离，它不能连续扩张成为完备化空间上的距离
29 一个局部凸空间的凸紧子集，它关于度量空间有绝对扩张，而关于紧Hausdorff空间没有绝对扩张
30 准上半连续而不上半连续的映射
31 弱上半连续而不准上半连续的映射
32 一个可分的线性拓扑空间，它有不可分的闭线性子空间
33 可分而不序列可分的线性拓扑空间
34 一个可度量化空间序列的严格归纳极限，它不可度量化
35 一个完备的局部凸空间，它的一个商空间并不完备
36 存在两个全完备空间，其积并不全完备
37 存在一族全完备空间，其直接和并不全完备
38 存在一族超完备空间，其直接和并不超完备
39 一个全完备空间序列的严格归纳极限，它不是全完备空间
40 一个完备局部凸空间族的归纳极限，它并不完备
第九章 桶空间、圃空间和Bare空间
引言
1 存在某个赋范空间，它不是桶空间
2 第一纲的桶空间
3 不可度量化的桶空间
4 不可度量化的围空间
5 桶空间与圃空间互不蕴涵
6 存在某个拟桶空间，它既不是围空间，也不是桶空间
7 一个拟M桶空间，它不是拟桶空间
8 一个半圃空间，它不是s圃空间
9 c序列空间与，圃空间互不蕴涵
10 存在某个完备的局部凸空间，它不是拟桶空间
11 存在某个特异空间，它不是半自反的
12 存在某个局部凸的Frechet空间，它的强对偶既非围空间，也非桶空间
13 存在某个特异空间，它的强对偶不可分
14 存在某个特异空间，它的强对偶不可度量化
15 存在某个特异空间，它不是拟桶空间
16 存在某个有界完备的局部凸空间，它不是序列桶空间
17 存在某个囿空间，它的强双对偶不是囿空间
18 存在某个可数桶空间，它不是桶空间
19 存在某个可数拟桶空间(因而是σ拟桶空间)，它不是σ桶空间
20 存在某个序列桶空间，它不是σ拟桶空间
21 存在某个具有性质(c)的局部凸空间，它不是σ桶空间
22 存在某个序列桶空间，它没有性质(s)
23 存在某个(DF)空间，它不是可数桶空间
24 存在某个(DF)空间，它不是拟桶空间
25 存在某个K拟桶空间，它不是K桶空间
26 存在某个线性空间上两个可以比较而不相等的范数，使强范数是桶空间而弱范数是Banach空间
27 一个桶空间的闭子空间，它不是桶空间
28 一个囿空间的闭子空间，它不是囿空间
29 一个桶空间，它的一个稠密的不可数余维子空间不是桶空间
30 一个桶空间，它的一个稠密的不可数维的子空间不是桶空间
31 一个Baire-like空间，它不是无序Baire-like空间
32 一个赋范桶空间(从而是Baire-like空间)，它不是Baire空间
33 一个Mackey空间，它不是拟桶空间
34 不具有性质(s)的Mackey空间
35 一个具有性质(s)的Mackey空间，它不具有性质(c)
36 一个半自反的Mackey空间，它不是自反的
37 一个Mackey空间，它不是σ拟桶空间
38 一个Mackey空间且是σ桶空间，它不是桶空间
39 一个σ桶空间，它不是Mackey空间
40 存在某个(LF)空间的Mackey对偶，它不是巴完备的
41 存在某个半自反空间，它的强对偶不是半自反的
42 一个非自反(甚至非半自反)的局部凸空间，它的强对偶是自反的
43 存在某个桶空间，它不是Montel空间
44 存在某个Frechet空间，它不是Schwartz空间
45 存在某个Schwartz空间，它不是Montel空间
46 不可分的Montel空间
47 自反的非Montel空间
48 不完备的Montel空间
49 存在某个自反空间的闭子空间，它不是自反的
50 存在某个Mackey空间的闭子空间，它不是Mackey空间
51 存在某个(DF)空间的闭子空间，它不是(DF)空间
52 一个具有性质(c)的Mackey空间，它的一个稠密的有限，空间却不是Mackey空间
第十章 线性拓扑空间中的基
引言
1 没有基的可分Banach空间
2 一个有基的Banach空间，其对偶空间没有基
3 有基而没有无条件基的Banach空间
4 具有唯一无条件基的无穷维Banach空间
5 一个Banach空间的无条件基，它不是有界完全的
6 一个Banach空间的无条件基，它不是收缩的
7 一个Banach空间的无条件基，它不是绝对收敛基
8 一个Banach空间的基，它不是正规基
9 一个Banach空间的基，它不是单调基
10 一个Banach空间的次对称基，它不是对称基
11 有基而没有次对称基的Banach空间
12 一个赋范线性空间的基，它不是Schauder基
13 一个Banach空间，它的对偶空间有弱*基而没有基
14 一个Banach空间，它的对偶空间的一个Schauder基不是弱*基
15 一个Banach空间，它的对偶空间的一个弱*基不是弱*Schauder基
16 一个赋范线性空间中的弱Schauder基，它不是基
17 一个稠密子空间的基，它不是整个空间的基
18 序列{xn}，它是Banach空间(X，‖·‖X)与(Y，‖·‖Y)的基，但不是（X∩Y，‖·‖=‖·‖X+‖·‖Y）的基
19 不具有KMR性质的局部凸空间
20 一个Frechet空间，它的一个弱Schauder基不是Schauder基
参考文献
京公网安备 11010102004214号