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内容简介
全书共二十章，前六章是属于基础知识，内容包括：整数分解，同余式，二次剩余，多项式之性质，素数分布概况，数论函数等；后十四章是就解析数论，代数数论，超越数论，数的几何这几个数论主要分支的基础部分加以介绍，内容包括：三角和，数的分拆，素数定理，连分数，不定方程，二元二次型，模变换，整数矩阵，p-adic数，代数数论导引，超越数，Waring问题与Prouhet-Tarry问题，数的几何等。书里引述了许多我国古代数学家在数论上的成就，也包含了许多近代数论中的重要成果，例如著者关于完全三角和及最小原根的结果，关于Prouhet-Tarry问题的结果，Виноградов关于最小二次非剩余的结果，Selberg关于素数定理的初等证明，Roth-Siegel定理，A.O.Гельфонд关于Hilbert第七问题的证明，Siegel关于二元二次型类数的定理，Линник关于Waring问题的证明，Щнирельман关于Гольдбах问题的结果。Selberg的筛法等等：书中也包括了著者许多未经发表的结果。
本书是以深入浅出、循序渐进的笔法写成的，读者可以通过它看出如何从一个简单的概念逐步走向深刻的研究，看出具体与抽象之间的联系。
目录
- 第一章 整數之分解
§1 整除性
§2 素數及複合數
§3 素數
§4 整數之模
§5 唯一分解定理
§6 最大公因數及最小公倍數
§7 逐步淘汰原則
§8 一次不定方程之解
§9 完全數
§10 Mersenne數及Fermat數
§11 連乘積中素因數之方次數
§12 整値多項式
§13 多項式之分解
第二章 同餘式
§1 定義
§2 同餘式之基本性質
§3 縮剩餘系
§4 p2可整除2p－1－1否？
§5 φ（m）之討論
§6 同餘方程
§7 孫子定理
§8 高次同餘式
§9 素數乘方爲模之高次同餘方程
§10 Wolstenholme定理
第三章 二次剩餘
§1 定義及Euler判別條件
§2 計算法則
§3 互逆定律
§4 實際算法
§5 二次同餘式之根數
§6 Jacobi符號
§7 二項同餘式
§8 原根及指數
§9 縮系之構造
第四章 多項式之性質
§1 多項式之整除性
§2 唯一分解定理
§3 同餘式
§4 整係數多項式
§5 以素數爲模之多項式
§6 若干關於分解之定理
§7 重模同餘式
§8 Fermat定理之推廣
§9 對模p之不可化多項式
§10 原根
§11 總結
第五章 素數分佈之概况
§1 無窮大之階
§2 對數函數
§3 引言
§4 素數之個數無限
§5 幾乎全部整數皆非素數
§6 Чебыщев定理
§7 Bertrand假設
§8 以積分來估計和之數値
§9 Чебыщев定理之推論
§10 n之素因子的個數
§11 表素數之函數
§12 等差級數中之素數問題
第六章 數論函數
§1 數論函數舉例
§2 積性函數之性質
§3 Mbius反轉公式
§4 M#bius變換
§5 除數函數
§6 關於槪率之二定理
§7 表整數爲二平方之和
§8 分部求和法及分部積分法
§9 圓內整點問题
§10 Farey貫及其應用
§11 Виноградов關於函數的分數部分和的估値定理
§12 Виноградов定理對整點問題之應用
§13 Ω-結果
§14 Dirichlet級數
§15 Lambert級數
第七章 三角和及特徵
§1 剩餘系之表示法
§2 特徵函數
§3 特徵之分類
§4 特徵和
§5 Gauss和
§6 特徵和與三角和
§7 由完整和到不完整和
§8 特徵和#之應用舉例
§9 原根之分佈問題
§10 含多項式之三角和
第八章 與橢圓模函數有關的幾個數論問題
§1 引言
§2 整數分拆
§3 Jacobi等式
§4 分式表示法
§5 分拆之圖解法
§6 p（n）之估値
§7 平方和問題
§8 密率
§9 關於平方和問题之總結
第九章 素數定理
§1 引言
§2 Riemann ζ函數
§3 若干引理
§4 Tauber型定理
§5 素數定理
§6 Selberg漸近公式
§7 素數定理的初等證明
§8 Dirichlet定理
第十章 漸近法與連分數
§1 簡單連分數
§2 連分數展開之唯一性
§3 最佳漸近分數
§4 Hurwitz定理
§5 實數之相似
§6 循環連分數
§7 Legendre之判斷條件
§8 二次不定方程
§9 Pell氏方程
§10 Чебыщев定理及Хинчин定理
§11 一致分佈及n#（mod 1）之一致分佈性
§12 一致分佈之判斷條件
第十一章 不定方程
§1 引言
§2 一次不定方程
§3 二次不定方程
§4 解ax2＋bxy＋cy2＝k
§5 求解方法
§6 商高定理之推廣
§7 Fermat猜測
§8 Марков方程
§9 解方程x3＋y3＋z3＋w3＝0
§10 三次曲面之有理點
第十二章 二元二次型
§1 二元二次型之分類
§2 類數有限
§3 Kronecker符號
§4 二次型表整數之表法數
§5 二次型的mod q相似
§6 二次型的特徵系．族
§7 級數K（d）之收斂性
§8 雙曲扇形及橢圓內的整點數
§9 平均極限
§10 類數的解析表示法
§11 基本判別式
§12 類數公式
§13 Pelll氏方程的最小解
§14 若干引理
§15 Siegel定理
第十三章 模變換
§1 複虛數平面
§2 線性變換之性質
§3 線性變換下之幾何性質
§4 實變換
§5 模變換
§6 基域
§7 基域網
§8 模羣之構造
§9 二次定正型
§10 二次不定型
§11 二次不定型的極小値
第十四章 整數矩陣及其應用
§1 引言
§2 矩陣之積
§3 模方陣之演出元素
§4 左結合
§5 不變因子．初等因子
§6 應用
§7 因子分解．標準素方陣
§8 最大公約．最小公倍
§9 線性模
第十五章 p-adic數
§1 引言
§2 賦値之定義
§3 賦値之分類
§4 亞幾米得賦値
§5 非亞幾米得賦値
§6 有理數之φ-擴張
§7 擴張之完整性
§8 p-adic數之表示法
§9 應用
第十六章 代數數論介紹
§1 代數數
§2 代數數域
§3 基底
§4 整底
§5 整除性
§6 理想數
§7 理想數的唯一分解定理
§8 理想數的基底
§9 同餘關係
§10 素理想數
§11 單位數
§12 理想數類
§13 二次域與二次型
§14 族
§15 歐幾里得域與單域
§16 判斷Mersenne數是否素數之Lucas條件
§17 不定方程
§18 表
第十七章 代數數與超越數
§1 超越數之存在定理
§2 Liouville定理及超越數例子
§3 代數數的有理逼近定理
§4 Roth定理之應用
§5 Thue定理之應用
§6 e之超越性
§7 π之超越性
§8 Hilbert第七问题
§9 Гельфонд之证明
第十八章 Waring问题及Prouhet-Tarry问题
§1 引言
§2 g（k）及G（k）之下限
§3 Cauchy定理
§4 初等方法示例
§5 有正负号之较易问题
§6 等幂和问题
§7 Prouhet-Tarry问题
§8 续
第十九章 Щнирельман密率
§1 密率之定义及其历史
§2 和集及其密率
§3 Гольдбах-Щнирельман定理
§4 Selberg不等式
§5 Гольдбах-Щнирельман定理之证明
§6 Waring-Hilbert定理
§7 Waring-Hilbert定理的证明
第二十章 数的几何
§1 二维空间之情况
§2 Minkowski之基本定理
§3 一次线性式
§4 二次定正型
§5 线性型之乘积
§6 联立渐近法
§7 Minkowski不等式
§8 线性型之乘方平均值
§9 Чеботарев定理
§10 在代数数论上的应用
§11 |Δ|的极小值
附录
参考文献
名词索引
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