本书前5章讲述三角范畴和导出范畴的基本理论;第6~11章讨论了Frobenius范畴的稳定范畴、Gorenstein同调代数、奇点范畴、Auslander-Reiten三角与Serre对偶、三角范畴的t-结构与粘合等专题。附录提供了全书所要用到的范畴论方面的概念和结论。每章均配有习题并包含提示。本书强调三角范畴与Abel范畴之间的比较和转化研究。
样章试读
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《现代数学基础丛书》序
前言
第1章三角范畴1
1.1预三角范畴1
1.2上同调函子3
1.3预三角范畴的基本性质6
1.4三角范畴11
1.5三角函子15
1.6伴随对中的三角函子17
1.7基变换和余基变换20
1.84*4引理25
习题27
第2章同伦范畴31
2.1同伦与上同调31
2.2映射锥34
2.3作为同伦核的映射筒40
2.4同伦范畴版同调代数基本定理45
2.5链可裂短正合列47
2.6复形的截断和极限53
2.7Hom复形Hom56
习题58
第3章商范畴63
3.1乘法系63
3.2商范畴的右分式构造65
3.3商范畴的左分式构造73
3.4相容乘法系和Verdier商76
3.5饱和相容乘法系与厚子范畴的一一对应80
3.6厚子范畴的一个充分条件86
习题86
第4章复形的分解89
4.1拉回和推出89
4.2上有界复形的上有界投射分解100
4.3下有界复形的下有界内射分解105
4.4同伦投射复形107
4.5任意复形的同伦投射分解109
4.6任意复形的同伦内射分解116
习题119
第5章导出范畴121
5.1作为Verdier商的导出范畴121
5.2单边有界导出范畴实现为同伦范畴127
5.3无界导出范畴实现为同伦范畴129
5.4Db(A) = Kb(P(A))的充要条件131
5.5半单环的导出范畴132
5.6遗传环的上有界导出范畴133
5.7对偶数代数的有界导出范畴133
5.8导出函子137
5.9函子RHom和Ext146
习题148
第6章稳定三角范畴152
6.1Frobenius范畴的稳定范畴152
6.2Happel定理155
6.3稳定三角范畴中好三角的另一解释168
6.4同伦范畴是代数的三角范畴169
6.5导出范畴是代数的三角范畴171
习题173
第7章Gorenstein投射对象175
7.1Gorenstein投射对象的基本性质175
7.2Artin代数1817.3真Gorenstein投射分解185
7.4Gorenstein投射维数190
7.5带关系箭图的表示192
7.6Gorenstein环197
7.7Gorenstein环上的Gorenstein投射模202
7.8Gorenstein投射对象的稳定性208
7.9CM有限代数214
7.10由上三角扩张构造Gorenstein投射模220
7.11箭图在代数上的单态射表示229
7.12由单态射表示构造Gorenstein投射模235
习题245
第8章奇点范畴250
8.1奇点范畴250
8.2三角范畴的完备对象和紧对象253
8.3Rickard型限制性引理259
8.4Buchweitz-Happel定理264
8.5Buchweitz-Happel定理的逆270
8.6有界导出范畴的Gorenstein投射描述277
8.7Gorenstein亏范畴281
8.8CM有限代数的Gorenstein亏范畴284
习题285
第9章Auslander-Reiten理论简介288
9.1Auslander-Reiten平移288
9.2几乎可裂序列291
9.3不可约映射293
9.4Auslander-Reiten箭图294
9.5有限维代数的Cartan矩阵298
9.6有限箭图的整二次型302
9.7有限表示型路代数的Gabriel定理307
9.8相对Auslander-Reiten序列308
9.9单态射范畴的函子有限性309
习题314第10章Auslander-Reiten三角与Serre对偶317
10.1Hom有限Krull-Schmidt范畴317
10.2有界导出范畴的Hom有限性324
10.3Auslander-Reiten三角326
10.4Serre函子332
10.5Bondal-Kapranov-VandenBergh定理340
10.6Auslander-Reiten三角与Serre函子348
10.7Auslander-Reiten三角存在的例子Ⅰ351
10.8Auslander-Reiten三角存在的例子Ⅱ352
10.9Auslander-Reiten三角存在的例子Ⅲ358
习题360
第11章三角范畴的$\bmt$-\!结构与粘合363
11.1$t$-结构的基本性质363
11.2$t$-结构的心:Beilinson-Bernstein-Deligne定理369
11.3稳定$t$-结构371
11.4三角范畴的粘合375
11.5由粘合的一半到粘合382
11.6粘合间的比较函子组388
11.7稳定t-结构和粘合的关系395
11.8可裂粘合与Calabi-Yau范畴396
11.9对称粘合400
11.10应用1：有限维数和整体维数402
11.11应用2：粘合诱导的$t$-结构407
11.12导出范畴的粘合4091
1.13奇点范畴的粘合418
习题422
第12章附录：范畴论中若干基本概念和结论426
12.1范畴426
12.2核与余核428
12.3函子范畴428
12.4范畴的等价430
12.5直和、直积、加法范畴431
12.6加法函子433
12.7可表函子和Yoneda引理434
12.8伴随对437
12.9Abel范畴442
12.10Abel范畴中有关正合性的若干引理444
12.11正合函子446
12.12投射对象与内射对象449
12.13生成子和余生成子449
12.14正向极限与逆向极限450
12.15Abel范畴中的Grothendieck条件456
12.16Grothendieck范畴457
习题458
主要参考文献460
其他参考文献463
中英文名词索引477
常用记号488
《现代数学基础丛书》已出版书目493
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