目录
- Contents
Preface
Notations
Chapter 1 A glance in rings and modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Rings and modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.2 Complexes, homological dimensions and functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
1.3 Finitely generated and finitely presented modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 FP-injective and flat modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Chapter 2 Coherent rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1 Definition and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Characterizations of coherent rings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
2.3 Extensions of coherent rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4 Some generalizations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Chapter 3 FP-injective rings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
3.1 Definition and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2 Characterizations of FP-injective rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3 Extensions of FP-injective rings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
3.4 FP-injective and QF rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.5 FC rings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Chapter 4 Homological dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.1 FP-injective dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.2 n-FC rings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
4.3 Weak global dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.4 Semihereditary rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164
Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Chapter 5 Some applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.1 Flat envelopes and FP-injective covers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.2 Gorenstein flat modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
5.3 Gorenstein FP-injective modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.4 Gorenstein flat complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214
5.5 Gorenstein FP-injective complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.6 Relative and Tate homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Appendix A Open questions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258
Appendix B Categories and fuctors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263
Appendix C Categories of complexes of modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .275
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
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