本书全面系统地论述广义Birkhoff系统动力学，包括Birkhoff系统动力学、广义Pfaff-Birkhoff原理和广义Birkhoff方程、广义Birkhoff系统的积分方法(I~IV)、二阶自治广义Birkhoff系统的定性理论、广义Birkhoff系统动力学逆向题、广义Birkhoff系统的运动稳定性等。
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前言
第1章 Birkho仔系统动力学 1
1.1 Birkhoff方程和Pfaff-Birkhoff原理 1
1.1.1 Birkhoff方程 1
1.1.2 Pfaff-Birkhoff原理 2
1.1.3 Birkhoff函数的构造 2
1.2 完整力学系统的Birkhoff动力学 7
1. 2.1 特殊完整系统的Birkhoff动力学 7
1.2.2 一般完整系统的Birkhoff动力学 8
1.3 非完整力学系统的Birkhoff动力学 9
1. 3.1 特殊非完整系统的Birkhoff动力学 10
1.3.2 一般非完整系统的Birkhoff动力学 10
1.3.3 高阶非完整系统的Birkhoff动力学 14
1.4 Birkhoff系统的积分理论 14
1.4.1 Birkhoff方程的变换理论 14
1.4.2 Birkhoff系统的对称性与守恒量 15
1.4.3 Birkhoff系统的Poisson积分法 19
1.4.4 积分Birkhoff方程的场方法 22
1.4.5 积分Birkhoff万程的势积分方法 24
1.5 Birkhoff系统动力学逆问题 25
1.5.1 Birkhoff方程的建立问题 25
1.5.2 Birkhoff系统的对称性与动力学逆问题 26
1.5.3 根据Pfaff-Birkhoff-d'Alembert原理组成运动方程 27
1.5.4 广义Poisson方法与动力学逆问题 27
1.6 Birkhoff系统的运动稳定性 28
1.6.1 Birkhoff系统的平衡稳定性 28
1.6.2 Birkhoff系统的运动稳定性 29
参考文献 29
第2章 广义Pfaff-Birkhoff原理和广义Birkhoff方程 30
2.1 Pfaff-Birkhoff原理的推广 30
2.1.1 Hamilton原理的推广 30
2.1.2 Pfaff-Birkhoff原理的推广 30
2.2 广义Birkhoff方程 31
2.2.1 广义Pfaff-Birkhoff-d'Alembert原理 31
2.2.2 广义Birkhoff方程 32
2.3 广义Birkhoff系统的两类积分和降阶法 34
2.3.1 类能量积分 34
2.3.2 类循环积分 34
2.3.3 利用类循环积分的降阶法 36
2.3.4 利用类能量积分的降阶法 38
2.4 广义Birkhoff系统的时间积分定理 42
2.4.1 广义Birkhoff系统的时间积分等式 42
2.4.2 导出类功率方程 42
2.4.3 导出类维里定理 43
2.4.4 导出积分变分原理和微分变分原理 44
2.5 广义Birkhoff系统的随机响应 45
2.5.1 系统的随机微分方程 45
2.5.2 Ito方程和矩方程 46
2.6 广义Birkhoff系统与约束Birkhoff系统 50
2.6.1 约束Birkhoff系统 50
2.6.2 广义Birkhoff系统与约束Birkhoff系统 51
参考文献 52
第3章 广义Birkhoff系统的积分方法I 54
3.1 广义Birkhoff系统的代数结构 54
3.1.1 广义Birkhoff方程的逆变代数形式 54
3.1.2 广义Birkhoff方程的代数结构 55
3.2 Poisson积分方法 55
3.2.1 广义Poisson条件 55
3.2.2 由已知积分生成新的积分 56
3.3 Poisson方法的应用 57
3.3.1 广义Birkhoff系统的两类积分 57
3.3.2 Poisson方法应用举例 59
参考文献 64
第4章 广义Birkhoff系统的积分方法II 65
4.1 广义Birkhoff系统的Noether对称性与Noether守恒量 65
4.1.1 Pfaff作用量的变分 65
4.1.2 对称变换 准对称变换和广义准对称变换 66
4.1.3 广义Killing方程 67
4.1.4 广义Birkhoff系统的Noether定理 68
4.2 广义Birkhoff系统的Lie对称性与Hojman型守恒量 70
4.2.1 广义Birkhoff系统的Lie对称性 70
4.2.2 Hojman定理的推广 71
4.3 广义Birkhoff系统的形式不变性与新型守恒量 74
4.3.1 广义Birkhoff系统的形式不变性 74
4.3.2 形式不变性直接导致的新型守恒量 75
4.4 广义Birkhoff系统的Noether对称性与Hojman型守恒量 78
4.4.1 广义Birkhoff系统的Noether对称性与Lie对称性 78
4.4.2 Noether对称性间接导致的Hojman型守恒量 78
4.5 广义Birkhoff系统的Noether对称性与新型守恒量 81
4.5.1 广义Birkhoff系统的Noether对称性与形式不变性 81
4.5.2 Noether对称性间接导致的新型守恒量 81
4.6 广义Birkhoff系统的Lie对称性与Noether守恒量 83
4.6.1 广义Birkhoff系统的Lie对称性与Noether对称性 83
4.6.2 Lie对称性间接导致的Noether守恒量 83
4.7 广义Birkhoff系统的Lie对称性与新型守恒量 85
4.7.1 广义Birkhoff系统的Lie对称性与形式不变性 85
4.7.2 Lie对称性间接导致的新型守恒量 85
4.8 广义Birkhoff系统的形式不变性与Noether守恒量 87
4.8.1 广义Birkhoff系统的形式不变性与Noether对称性 87
4.8.2 形式不变性间接导致的Noether守恒量 87
4.9 广义Birkhoff系统的形式不变性与Hojman型守恒量 89
4.9.1 广义Birkhoff系统的形式不变性与Lie对称性 89
4.9.2 形式不变性间接导致的Hojman型守恒量 89
参考文献 91
第5章 广义Birkhoff系统的积分方法III 92
5.1 广义Birkhoff系统的弱Noether对称性与Noether守恒量 92
5.1.1 弱Noether对称性的定义和判据 92
5.1.2 弱Noether对称性导致的Noether守恒量 94
5.2 广义Birkhoff系统的弱Noether对称性与Hojman型守恒量 98
5.2.1 弱Noether对称性与Lie对称性 98
5.2.2 弱Noether对称性导致的Hojman型守恒量 99
5.3 广义Birkhoff系统的弱Noether对称性与新型守恒量 100
5.3.1 弱Noether对称性与形式不变性 100
5.3.2 弱Noether对称性与新型守恒量 101
5.4 广义Birkhoff系统的Birkhoff对称性 102
5.4.1 系统Birkhoff对称性的定义和判据 102
5.4.2 Birkhoff对称性导致的守恒量 103
5.5 广义Birkhoff系统的共形不变性 108
5.5.1 系统的共形不变性与Lie对称性 108
5.5.2 共形不变性导致的Hojman型守恒量 111
5.5.3 共形不变性导致的Noether守恒量 113
5.6 广义Birkhoff系统对称性摄动与绝热不变量 114
5.6.1 广义Birkhoff系统的摄动 115
5.6.2 广义Birkhoff系统的绝热不变量 115
5.7 广义Birkhoff系统的积分不变量 117
5.7.1 系统存在积分不变量的条件 117
5.7.2 系统的线性积分不变量 118
5.7.3 系统的通用积分不变量 119
5.7.4 系统的二阶绝对积分不变量 119
5.7.5 由积分生成积分不变量 120
5.8 广义Birkhoff系统的无限小正则变换与积分 121
5.8.1 系统的运动微分方程 122
5.8.2 Birkhoff系统的无限小正则变换与积分 122
5.8.3 系统的无限小正则变换与积分 123
参考文献 125
第6章 广义Birkhoff系统的积分方法IV 127
6.1 广义Birkhoff系统的场积分方法 127
6.1.1 场积分方法 127
6.1.2 广义Birkhoff方程的场积分方法 128
6.2 广义Birkhoff系统的势积分方法 134
6.2.1 势积分方法 134
6.2.2 广义Birkhoff方程的势积分方法 134
6.3 Jacobi最终乘子法 136
6.3.1 最终乘子 136
6.3.2 广义Birkhoff系统的最终乘子 138
6.3.3 最终乘子法的应用 139
参考文献 144
第7章 二阶自治广义Birkhoff系统的定性理论 145
7.1 二阶自治广义Birkhoff系统的奇点类型 145
7.1.1 系统的运动方程和奇点方程 145
7.1.2 用线性近似系统判断系统的奇点 147
7.1.3 用Birkhoff函数判断系统的奇点 149
7.1.4 对称原理 150
7.1.5 关于平衡稳定性 151
7.2 二阶自治广义Birkhoff系统的稳定流形和不稳定流形 151
7.2.1 双曲平衡点 151
7.2.2 稳定流形和不稳定流形 152
7.2.3 无穷远奇点和全局结构 153
7.3 平衡点分岔 156
7.3.1 极限点分岔 156
7.3.2 跨临界分岔 157
7.3.3 叉形分岔 157
参考文献 157
第8章 广义Birkhoff系统动力学逆问题 158
8.1 根据系统的给定运动性质来建立广义Birkhoff方程 158
8.1.1 逆问题的提法 158
8.1.2 逆问题的解法 158
8.2 运动方程的修改 162
8.2.1 逆问题的提法 162
8.2.2 逆问题的解法 162
8.3 运动方程的封闭 166
8.3.1 逆问题的提法 166
8.3.2 逆问题的解法 166
8.4 广义Birkhoff系统的对称性与动力学逆问题 167
8.4.1 广义Birkhoff系统的Noether对称性 168
8.4.2 逆问题的第一种提法和解法 169
8.4.3 逆问题的第二种提法和解法 172
8.4.4 逆问题的第三种提法和解法 173
8.5 根据微分变分原理组建运动方程 174
8.5.1 微分变分原理 175
8.5.2 逆问题的提法和解法 175
8.6 广义Poisson方法与动力学逆问题 177
8.6.1 广义Poisson条件 177
8.6.2 逆问题的提法和解法 177
参考文献 179
第9章 广义Birkhoff系统的运动稳定性 181
9.1 广义Birkhoff系统的平衡稳定性 181
9.1.1 广义Birkhoff系统的平衡方程 181
9.1.2 广义Birkhoff系统的受扰运动方程和一次近似方程 182
9.1.3 平衡稳定性的一次近似方法 183
9.1.4 平衡稳定性的直接法 185
9.2 相对部分变量的平衡稳定性 190
9.2.1 关于部分变量稳定性的基本定理 190
9.2.2 对广义Birkhoff系统的应用 190
9.3 平衡状态流形的稳定性 191
9.3.1 基本定理 191
9.3.2 对广义Birkhoff系统的应用 192
9.4 广义Birkhoff系统的运动稳定性 193
9.4.1 系统的受扰运动方程和一次近似方程 194
9.4.2 运动稳定性的一次近似方法 194
9.4.3 运动稳定性的直接法 195
9.5 广义Birkhoff系统的全局稳定性 199
9.5.1 自治系统的全局稳定性 199
9.5.2 二阶自治广义Birkhoff系统的全局稳定性 200
9.6 梯度表示与稳定性 202
9.6.1 梯度系统 202
9.6.2 广义Birkhoff系统的梯度表示 203
9.6.3 稳定性问题 203
参考文献 205
索引 207
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