本书是为中国科学院大学计算数学专业硕士研究生专业课程“微分方程数值解Ⅱ”编写的教科书。主要以一维问题为例，介绍双曲守恒律方程数值方法中较成熟并得到广泛应用的一些方法。本书内容包括有限差分法的基础知识、双曲守恒律方程的数学性质、经典有限体积和差分格式、高分辨率总变差减少格式、高阶基本无振荡格式和加权基本无振荡格式，以及间断有限元方法。最后还介绍了将守恒律数值方法应用于实际问题时所需的贴体结构网格生成技术。
样章试读
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前言
第1章 有限差分法的基础知识 1
1.1 偏微分方程的差分离散：一个实例 1
1.2 导数的差分逼近的截断误差 3
1.3 导数的差分逼近的构造方法 4
1.3.1 待定系数法 4
1.3.2 差分算子法 5
1.4 有限差分格式的一般性要求 8
1.4.1 范数 8
1.4.2 差分格式的相容性 9
1.4.3 差分格式的收敛性 11
1.4.4 差分格式的稳定性 11
1.4.5 Lax等价性定理 13
1.5 von Neumann稳定性分析方法 14
1.6 差分格式的修正方程 18
习题1 22
第2章 一维双曲守恒律的数学性质 24
2.1 双曲型方程简介 24
2.1.1 双曲守恒律方程的定义 24
2.1.2 两个简单的守恒律示例 26
2.2 流体力学守恒律方程组.28
2.2.1 一维Euler方程 28
2.2.2 等熵流 31
2.2.3 等温流 32
2.2.4 浅水波方程 32
2.3 特征线、依赖域和影响范围 33
2.3.1 特征线和特征线法 33
2.3.2 依赖域和影响范围 38
2.3.3 双曲守恒律及其数值方法的特点 38
2.4 弱解和Rankine-Hugoniot条件 39
2.4.1 非光滑初值问题 39
2.4.2 非线性导致的间断解 40
2.4.3 弱解的概念和弱解满足的Rankine-Hugoniot条件 42
2.5 熵解和熵条件 46
2.6 一维标量双曲守恒律熵解的稳定性和唯一性 48
2.7 一维标量双曲守恒律的Riemann问题 50
2.7.1 本质非线性Riemann问题的解 51
2.7.2 求解一般情况下Riemann问题的凸包方法 52
2.8 一维双曲守恒律方程组的Riemann问题 54
2.8.1 线性常系数双曲型方程组的Riemann问题 54
2.8.2 非线性双曲守恒律方程组的Riemann问题 56
习题2 57
第3章 一维双曲守恒律的经典数值方法 59
3.1 有限体积法的基本形式 59
3.1.1 有限体积法的相容性 61
3.1.2 有限体积法的稳定性 61
3.2 守恒律的几个经典格式 62
3.2.1 中心通量格式 63
3.2.2 Lax-Friedrichs格式(1954) 63
3.2.3 Lax-Wendroff格式(1960) 63
3.2.4 Richtmyer两步Lax-Wendroff格式(1967) 64
3.2.5 MacCormack格式(1969) 65
3.3 迎风格式 65
3.4 双曲型方程组的Godunov方法 69
3.5 波传播、通量差分分裂和Roe方法 70
3.5.1 一阶Godunov方法的波传播方法表示 70
3.5.2 通量差分分裂和Roe方法 73
3.6 矢通量分裂方法 74
3.6.1 van Leer分裂 75
3.6.2 AUSM分裂 76
3.7 方程组Riemann问题的其他近似解法 77
3.7.1 HLL 近似Riemann解和数值通量 77
3.7.2 HLLC 近似Riemann解和数值通量 80
3.8 边界条件 83
3.8.1 周期边界条件 84
3.8.2 对流问题 84
3.8.3 波动问题 86
3.9 一维标量守恒律单调格式的数学理论 87
3.9.1 守恒型格式的重要性 87
3.9.2 一些常见的守恒型格式 89
3.9.3 单调格式的数学理论 92
习题3 98
第4章 一维双曲守恒律的高分辨率方法 100
4.1 通量限制器方法 100
4.2 基于斜率限制器的MUSCL格式 105
4.3 推广的MUSCL格式 108
4.4 TVB格式 112
习题4 113
第5章 一维双曲守恒律的ENO和WENO方法 115
5.1 基于原函数的重构 115
5.2 ENO重构 116
5.3 标量双曲守恒律的ENO格式 121
5.3.1 有限体积ENO格式 121
5.3.2 有限差分ENO格式 124
5.4 WENO重构 126
5.5 标量双曲守恒律的WENO格式 129
5.5.1 有限体积WENO格式 129
5.5.2 有限差分WENO格式 130
5.6 守恒律方程组的ENO和WENO方法 132
5.7 半离散格式的时间离散方法 133
习题5 134
第6章 双曲守恒律的间断有限元方法简介 136
6.1 一维标量双曲守恒律的RKDG方法 136
6.1.1 DG空间离散 136
6.1.2 TVD Runge-Kutta时间离散 141
6.1.3 线性情况下的稳定性 142
6.1.4 广义斜率限制器 142
6.2 多维守恒律方程组的RKDG方法 145
6.2.1 方法的数学描述 145
6.2.2 算法和实施细节 147
6.3 数值算例 153
习题6 155
第7章 贴体结构网格生成技术 156
7.1 坐标变换关系 159
7.1.1 坐标变换的度量项及其计算方法 159
7.1.2 度规张量及坐标变换的物理特性 161
7.1.3 正交坐标系和保角坐标系 162
7.2 一般曲线坐标系中流体力学方程组的强守恒形式 164
7.3 保角变换方法 166
7.3.1 保角变换的概念 166
7.3.2 序列保角映射 167
7.3.3 单步保角映射 169
7.4 代数映射方法 172
7.4.1 一维拉伸函数法 172
7.4.2 两边界法 174
7.4.3 多面法 176
7.4.4 无限插值法 178
7.5 偏微分方程方法 181
7.5.1 双曲型方程法 182
7.5.2 椭圆型方程法 183
7.6 网格生成实例 187
习题7 199
参考文献 202
索引 207
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