本书是为物理学家写的一本微分几何，是在1990年版的基础上，进行修订补充，将原版14章扩充到了23章。全书分为主部分：第一部分介绍流形微分几何，是理论物理研究生教学的基本内容，介绍了流形、流形上张量场、仿射联络与曲率以及流形上度规、辛、复、自旋等重要几何结构。第二部分介绍纤维丛几何，介绍了示性类与A-S指标定理，深入分析量子规范理论的大范围拓扑性质、各级拓扑障碍、瞬子、单极、分数荷与超对称等现代物理前沿问题。第三部分介绍非交换几何及其在量子物理中的应用、量子群与q规范理论。
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第一部分 流形微分几何
第一章 流形微分流形与微分形式 3
1.1 流形流形的拓扑结构 3
1.2 微分流形流形的微分结构 8
1.3 切壁间与切向量场 15
1.4 余切向量场 20
1.5 张量积与流形上高阶张量场 24
1.6 Cartan 外积与外微分微分形式 30
1.7 流形的定向流形上积分与Swkes 公式39
习题一 4
第二章 流形的变换及其可积性李变换群及李群流形 47
2.1 流形间映射及其诱导映射正则子流形 47
2.2 局域单参数李变换群李导数 52
2.3 积分子流形Frobeni1吕定理 60
2.4 用微分形式表达的Frobeni1s 定理微分方程的可积条件 62
2.5 李群流形 70
2.6 李变换群齐性G 流形 72
2.7 不变向量场李代数指数映射 76
习题二 82
第三章 仿射联络流形 但
3.1 活动标架法流形切丛与标架丛 84
3.2 仿射联络与协变微分 87
3.3 曲率形式与曲率张量场 93
3.4 测地线方程切丛联络的挠率张量 95
3.5 协变外微分算子 99
3.6 联络的和乐群 102
习题三 103
第四章 黎曼流形 105
4.1 黎曼度规与黎曼联络 105
4.2 黎曼流形上微分形式 109
4.3 黎曼曲率张量Ricci 张量与标曲率 122
4.4 等长变换与共形变换曲率张量按转动群表示的分解 126
4.5 截面曲率等曲率空间 131
4.6 爱因斯坦引力场方程 133
4.7 正交标架场与自旋联络时空规范理论初步 137
4.8 测地线Jacobi 场与Jacobi 方程 143
习题四 146
第五章 欧空间的黎曼子流形正交活动标架法 148
5.1 黎曼流形的子流形诱导度规与诱导联络 148
5.2 n 维欧空间r 的子流形正交活动标架法 151
5.3 三维欧空间f 中曲线与曲面 154
5.4 用Cartan 活动标架法计算黎曼曲率 160
5.5 伪球面与国ckl1nd 变换 162
5.6 测地线与局域法坐标系 167
习题五 171
第六章 齐性黎曼流形对称空间 172
6.1 李群的黎曼几何结构 172
6.2 齐性黎曼流形 174
6.3 对称空间与局域对称空间 178
6.4 对称空间的代数结构（G H）主元组非线性实现 181
6.5 非线性模型对偶对称与孤子解 186
6.6 非局域守恒流隐藏对称性的Noether 分析 196
习题六 198
第七章 流形的同伦群与同调群 199
7.1 同伦映射及具有相同伦型的流形 199
7.2 流形的基本群多连通空间的覆盖空间 202
7.3 流形的各阶同伦群 210
7.4 相对同伦群与群同态正合系列纤维映射正合系列 215
7.5 同调群H.（M，Z） 220
7.6 一般同调群凡（M，G） 227
7.7 同伦群与同调群关系n 维球面Sn的各阶同伦群 231
习题七 234
第八章 上罔调论de Rham 上同调论及其他相关伦型不变量 235
8.1 上同调论对偶同态与对偶链群 235
8.2 链复形与链映射同调正合系列 239
8.3 相对（上）同调群切除定理与Mayer-Vietoris （上）同调序列 242
8.4 若干群流形各阶同调群Poincaré 多项式 246
8.5 de Rham 上同调论 249
8.6 谐和形式Hannk（M，R） 255
8.7 李群流形上双不变形式对称空间上不变形式 257
习题八 258
第九章 Morse 理论cw 复形与拓扑障碍分析 259
9.1 CW 复形 259
9.2 Morse 函数与Morse 不等式 262
9.3 路径空间（M）的伦型Morse 理论基本定理 266
9.4 若干齐性空间的稳定同伦群1群的周期 271
9.5 正交群与辛群的Bott周期 276
9.6 拓扑障碍与示性类Stiefel-Whitney 类 281
9.7 Cech（上）同调拓扑性质对几何结构的影响 286
习题九 292
第十章 辛流形切触流形 293
10.1 辛流形（M，w） 293
10.2 辛向量场与哈密顿向量场泊松括弧 297
10.3 泊松流形与辛叶Scho1ten 括弧 301
10.4 辛流形的子流形 306
10.5 齐性辛流形与约化相空间动量映射 308
10.6 切触流形（M，n） 312
习题十 316
第十一章 复流形 318
11.1 复流形及其复结构近复结构与近复流形（M J） 318
11.2 近复结构可积条件Nijenh1is 张量 324
11.3 近辛流形上近复结构近厄米流形 329
11.4 厄米流形（M H） 332
11.5 厄米流形上仿射联络 338
11.6 Kahler 流形 340
11.7 Kahler-Einstein 特殊Kahler 流形及紧Kahler 流形的Hodge分解定理 346
习题十一 350
第十二章 旋量自旋流形 352
12.1 旋量 352
12.2 时空的LoreI血变换与自旋变换旋量张量代数 355
12.3 Dirac 旋量Weyl 旋量纯旋量各维旋量的矩阵表示结构 361
12.4 各维旋量的表示结构M哥orana 表象 368
12.5 自旋结构与自旋流形Spinc 结构 371
12.6 自旋结构的联络Dirac 算子Weitzenbock 公式 375
习题十二 379
第二部分 纤维丛几何、规范场论
第十三章 纤维丛的拓扑结掏 383
13.1 向量丛 383
13.2 与矢丛E 相关的各种纤维丛标架丛L（E） 389
13.3 主丛P与其伴矢丛 391
13.4 丛射诱导丛主丛的约化 395
13.5 纤维丛的同伦分类普适丛与分类空间 400
可13.6 矢丛的分类及K理论 403
习题十二 407
第十四章 纤维丛上联络与曲率 408
14.1 主丛P（M，G）上联络与曲率 408
14.2 伴矢丛PxcV上联络与曲率物质场与规范场相互耦合 415
14.3 k 秩向量丛截面上协变微分算子V与联络算子 418
14.4 对偶矢丛直积丛上联络与曲率切丛联络的挠率问题 423
14.5 平行输运与联络的和乐群G结构具特殊和乐群的联络 427
习题十四 430
第十五章 示性类 431
15.1 陈-Weil同态 433
15.2 复矢丛与陈示性类（Chem class） 437
15.3 实矢丛与Pontrjagin 类 443
15.4 实偶维定向矢丛与欧拉类 446
15.5 Stiefel-Whitney 类 448
15.6 普适丛与普适示性类H 各种示性类间关系 45。
15.7 次级示性类：陈-Simons 形式 452
习题十五 456
第十六章 杨-Mills规范理论时空流形上纤维丛几何 457
16.1 杨-Mills 场的作用量与运动方程 458
16.2 单极静球对称元奇异单极解析求解 460
16.3 非Abel 规范场的规范不变守恒流 463
16.4 E4空间（反）自对偶瞬子解 470
16.5 规范场与玻色场搞合体系 476
16.6 Seiberg-Witten 单极方程 482
习题十六 485
第十七章 规范理论与复几何 486
17.1 物理时空的复化及共形紧致化 486
1 7.2 Pl1cker 映射与Klein 二次型紧致复化时空M上光锥结构 493
17.3 复流形上全纯丛结构层与层上同调 496
17.4 Radon-Penro变换 500
17.5 多瞬子（instantons）的ADHM 组成 503
17.6 多单极解Nabm 方程与ADHMN 组成 509
17.7 单极周围零能费米子解Twistor方程及自对偶超对称单极 511
习题十七 514
第十八章 Atiyah-Singer 指标定理 515
18.1 引言欧拉数及其有关定理 515
18.2 椭圆微分算子及其解析指数 518
18.3 紧支上同调与矢丛上同调Thom 同构与欧拉示性类523
18.4 矢丛K 理论简介椭圆微分算子的拓扑指数与Aliyab-Singer指标定理 528
18.5 经典椭圆复形及其相应指标定理 536
18.6 A-S 指数定理证明的简单介绍热方程证明 546
18.7 利用超对称场论模型证明A-S 指数定理 551
18.8 A-S 指数定理在物理中应用举例 5到
习题十八 556
第十九章 量子反常拓扑障碍的递降继承 557
19.1 单态反常与Aliyab-Singer 指标定理 558
19.2 联络空间同调论与上同调论推广的陈-Simons 形式系列 564
19.3 规范群Y的各级拓扑障碍Cech-de Rham 双复形 573
19.4 规范群上闭链密度（n 系列）与规范代数上闭链密度（w系列）简并上边缘算子正 581
19.5 非Abel手征反常和反常自治条件Wess-Z1nuno-Witten有效作用量四维规范群的上闭链 586
19.6 非Abel 反常的拓扑根源协变反常 592
19.7 哈密顿形式三维规范群3 的2 上闭链流代数反常Schwinger-Jackiw-Johnson项 595
19.8 杂化口袋模型的边界效应2的3上闭链 600
习题十九 603
第二十章 规范轨道空间上同调与族指标定理量子场论申大范围拓扑分析 605
20.1 Dirac 算子族指标定理 605
20.2 轨道空间上同调及其提升规范群上同调 609
20.3 量子规范理论的拓扑效应。真空4 维杨-Mills 理论 615
20.4 三维时空规范理论与拓扑质量项 619
20.5 群上同调与群表示结构特点投射表示与Manderstan 波函数 622
20.6 平移群3 上闭链的具体实现可除表示与带膜波函数 626
习题二十 632
第二十一章 带边流形与开无限流形指标定理APS-咽不变量与分数荷问题 633
21.1 引言 633
21.2 带边de Rham 复形指标定理 635
21.3 Atiyah-Patodi-Singer 指标定理 636
21.4 自旋复形的APS 指标定理非局域边界条件 639
21.5 开无限流形上的指标定理 643
2 1.6 APS叮不变量在物理中应用分数费米荷问题 650
21.7 Dirac 算子的弱局域边界条件 658
习题二十一 663
第三部分 非交换儿何导引
第二十二章 非交换几何及其在量子物理中应用 667
22.1 引言 667
22.2 量子相空间Weyl变换及Wigner分布函数Moyal积 670
22.3 一维谐振子量子相空间吨的相干态表述表象 672
22.4 群的陪集表示与推广的相干态模糊球吨的矩阵表示 680
22.5 磁场中电子气体磁平移磁Brillo1in的拓扑理论 688
22.6 FQHE 与La1ghlin 波函数量子Hall 流体与非交换陈Simons理论 694
第二十三章 量子群q 规范理论q陈类 704
23.1 量子超面上线性变换量子群GL（2）与S1（2） 704
23.2 量子群S1（2）上双协变微分计算 708
23.3 q-BRST 代数q规范理论 713
23.4 q陈类q陈-Simons 715
附录 719
A 集合论若干概念简单介绍 719
B 拓扑学若干基本概念介绍 722
C 若干代数体系简单介绍 729
D 群同态正合系列子群直积与半直积 734
E 交换群（Abelian group） 的若干基本性质 736
F 向量空间间同态映射张量代数 739
G 可除代数四元数日与八元数 744
H Hopf 映射不变量Hopf丛 748
I 推广的Kronecker符号 750
J 具附加结构的向量空间及其自同构变换群经典李群及其表示 752
K Clifford代数及其表示 758
L Spin 群及其表示（Spin 模）李代数SpinN 767
M SO（3）群及其普适覆盖SU（2） 770
一般参考书目 774
参考文献 775
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