本书共10章，具体内容包括：绪论、预备数学基础、非线性方程求解、线性方程组的直接解法、线性方程组的迭代解法、插值法、曲线拟合和函数逼近、数值积分与微分、常微分方程的数值解法、矩阵特征值计算介绍.
本书针对理工科研究生的需求和特点, 写法上强调各类数值问题的底层逻辑; 特别注重用生活中的常识对相关数学思想进行解释说明; 尽量深入浅出并联系应用, 大多算法都给出了MATLAB 代码; 某些部分采用探索者视角的书写方式, 以适应研究生阶段学习的研读特点; 讲义式内容组织方式和各级标题为教学与自学提供了明确导引. 为方便读者自学, 本书内容配有微课视频, 读者可通过扫描书中二维码学习.
样章试读
目录
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前言
第1章 绪论 1
1.1 数值分析的主要研究问题 1
1.1.1 实际问题对数值方法的需求 1
1.1.2 工科研究生确实需要学习数值方法 4
1.1.3 如何学好数值分析 5
1.2 误差 6
1.2.1 误差的来源 6
1.2.2 基本概念 7
1.2.3 有效位数的判别方法 10
1.2.4 基本运算中的误差估计 12
1.3 数值运算的若干原则 16
1.3.1 使用数值稳定的算法 16
1.3.2 避免两个相近的数相减 18
1.3.3 防止大数吃掉小数 19
1.3.4 采用运算次数少的方法 19
1.3.5 典型例题分析 20
习题 1 21
第2章 预备数学基础 22
2.1 高等数学知识回顾 22
2.1.1 闭区间上连续函数的性质 23
2.1.2 微积分中值定理 23
2.1.3 高阶无穷小与同阶无穷小 26
2.1.4 过程量大小的阶 26
2.1.5 上确界与下确界 27
2.2 线性代数知识回顾 28
2.2.1 矩阵的初等行变换 28
2.2.2 矩阵的特征值 28
2.2.3 正定二次型和正定矩阵 29
2.2.4 Schmidt 正交化方法 30
2.3 线性空间的一些必备知识 31
2.3.1 线性空间 31
2.3.2 向量空间相关概念的推广 33
2.4 赋范空间 36
2.4.1 范数和赋范空间概念 36
2.4.2 赋范空间中的序列极限 38
2.4.3 n 维向量序列的极限 40
2.5 矩阵范数 41
2.5.1 矩阵范数的构建和相容性 41
2.5.2 常用矩阵范数 44
2.5.3 相容范数与谱的关系 47
2.6 内积空间 50
2.6.1 为什么引入内积空间 50
2.6.2 内积空间概念 51
2.6.3 常用的内积空间 52
2.7 内积空间正交性与最佳逼近 54
2.7.1 正交系与正交基 54
2.7.2 最佳逼近 56
2.7.3 最佳逼近向量求法和法方程组 58
2.7.4 矛盾方程组的最小二乘解法 61
2.8 MATLAB 程序设计精要 62
2.8.1 MATLAB 源程序的组成方式 63
2.8.2 源程序文件名的命名规则 63
2.8.3 M-脚本文件 63
2.8.4 M-函数文件 64
2.8.5 子函数 69
2.8.6 关于 MATLAB 编程的几点说明 69
习题 2 69
第3章 非线性方程求解 71
3.1 非线性方程求解概述与二分法 71
3.1.1 基本概念与求解思想 71
3.1.2 根的隔离 72
3.1.3 二分法 73
3.1.4 MATLAB 分分钟代码实现 75
3.2 迭代法 80
3.2.1 迭代原理 80
3.2.2 迭代法的收敛条件 83
3.2.3 两个误差公式的意义 86
3.2.4 迭代过程的收敛速度 87
3.2.5 改进和加速收敛 88
3.3 Newton 法与弦截法 92
3.3.1 局部线性化思想 92
3.3.2 Newton 法 93
3.3.3 Newton 法的收敛性 94
3.3.4 MATLAB 分分钟代码实现 97
3.3.5 Newton 法的改进 98
3.3.6 重根加速收敛法 102
3.3.7 求复根 103
3.3.8 用 MATLAB 秒解方程 103
习题 3 105
第4章 线性方程组的直接解法 107
4.1 消元法 107
4.1.1 Gauss 消元法 107
4.1.2 主元消元法 111
4.1.3 Gauss-Jordan 消元法 112
4.1.4 运算量估计与比较 114
4.2 矩阵三角分解法 115
4.2.1 Gauss 消元过程的矩阵表示 115
4.2.2 三角分解 116
4.2.3 三角分解法的几点说明 121
4.3 平方根法和追赶法 122
4.3.1 正定矩阵的分解 122
4.3.2 改进的平方根法 125
4.3.3 追赶法 127
4.4 用 MATLAB 解方程组 130
4.4.1 一般解法代码.130
4.4.2 LU 分解法代码 131
4.4.3 追赶法求解代码 133
4.5 方程组的性态和条件数 134
4.5.1 性态和条件数产生的背景 135
4.5.2 病态方程组的讨论 136
4.5.3 病态方程组的判断及求解措施 141
4.5.4 条件数用于误差估计 142
4.5.5 残解校正法 142
习题 4 144
第5章 线性方程组的迭代解法 146
5.1 迭代法及其构建 146
5.1.1 方程组的迭代法 146
5.1.2 Jacobi 迭代法 147
5.1.3 Gauss-Seidel 方法 150
5.1.4 MATLAB 分分钟代码实现 151
5.1.5 两种方法的比较 154
5.2 迭代法的收敛条件 154
5.2.1 迭代收敛的充要条件 155
5.2.2 迭代收敛的充分条件 158
5.2.3 松弛法 161
5.3 共轭梯度法 163
5.3.1 二次函数极值与线性方程组解的关系 163
5.3.2 椭型函数等值面的几何意义 164
5.3.3 最速下降法 166
5.3.4 共轭梯度法的朴素思想 167
5.3.5 共轭梯度法的几何描述 169
5.3.6 共轭梯度法的递推算式 172
5.3.7 MATLAB 分分钟代码实现 175
5.3.8 共轭梯度法的理论依据与应用 177
习题 5 178
第6章 插值法 181
6.1 插值问题背景综述 181
6.1.1 两类经常遇到的实际问题 181
6.1.2 插值问题和插值法 182
6.2 Lagrange 插值 182
6.2.1 n 次多项式插值问题 182
6.2.2 插值多项式的存在性和唯一性 183
6.2.3 Lagrange 插值多项式 184
6.2.4 简单的线性插值和抛物插值 185
6.2.5 插值余项和误差估计 186
6.2.6 Lagrange 插值优劣分析 189
6.2.7 MATLAB 分分钟代码实现 189
6.3 Newton 插值 191
6.3.1 差商 191
6.3.2 Newton 插值多项式及其余项 192
6.3.3 MATLAB 分分钟代码实现 196
6.4 等距节点插值多项式 198
6.4.1 差分 198
6.4.2 等距节点插值公式 199
6.5 高次插值的缺陷与改进对策 203
6.5.1 多项式插值的缺陷 203
6.5.2 分段多项式插值 205
6.5.3 分段插值的余项及收敛性和稳定性 206
6.6 Hermite 插值 207
6.6.1 Hermite 插值问题的一般形式 208
6.6.2 简单 Hermite 插值问题 208
6.6.3 一阶 Hermite 插值多项式 211
6.6.4 MATLAB 分分钟代码实现 214
6.6.5 Hermite 插值法小结和优缺点分析 217
6.7 样条插值 218
6.7.1 样条曲线和三次样条 218
6.7.2 三次样条的三弯矩求解方法 220
6.7.3 三次样条的三转角确定法 225
6.7.4 样条插值示例 228
6.7.5 MATLAB 分分钟代码实现 229
6.7.6 三次样条插值的理论结果 232
6.7.7 保形插值 234
6.7.8 插值法小结 235
6.8 二元多项式插值 236
6.8.1 一般插值的共有问题 236
6.8.2 二元函数插值 238
6.8.3 插值问题的进一步推广 242
习题 6 242
第7章 曲线拟合和函数逼近 245
7.1 曲线拟合问题 245
7.1.1 实际问题的需求 245
7.1.2 曲线拟合概念 246
7.2 最小二乘法和多项式拟合 248
7.2.1 曲线拟合的最小二乘法 248
7.2.2 线性最小二乘法 249
7.2.3 MATLAB 分分钟代码实现 257
7.2.4 非线性最小二乘拟合 258
7.2.5 带权线性拟合 263
7.2.6 最小二乘法的短处 264
7.3 基于正交系的最小二乘拟合 264
7.3.1 正交拟合的萌发 264
7.3.2 离散正交系下的最小二乘法 265
7.3.3 正交与非正交拟合的比较 268
7.4 函数的最佳平方逼近 271
7.4.1 函数距离和正交函数系 271
7.4.2 最佳平方逼近 272
7.4.3 MATLAB 分分钟代码实现 273
7.4.4 基于正交系的最佳平方逼近 275
7.5 正交多项式系 277
7.5.1 正交多项式的共性 277
7.5.2 正交多项式系构造法 278
7.5.3 最佳平方逼近多项式的误差与收敛性 279
7.5.4 最佳平方逼近的例子 280
7.5.5 Legendre 正交多项式 282
7.5.6 Chebyshev 多项式 286
7.5.7 其他正交多项式和正交系 288
7.6 最佳一致逼近多项式 288
7.6.1 最佳一致逼近问题 288
7.6.2 Chebyshev 最小偏差多项式 292
7.6.3 Chebyshev 多项式的应用 294
7.7 周期函数逼近 300
7.7.1 最佳平方逼近三角多项式 301
7.7.2 正交基下拟合和插值的关系 303
7.7.3 周期函数的最小二乘三角多项式 306
7.7.4 三角插值与三角拟合的关系 309
7.8 快速 Fourier 变换 311
7.8.1 复正交基函数下的三角插值与拟合 311
7.8.2 离散快速 Fourier 变换 312
7.8.3 MATLAB 分分钟代码实现 313
习题 7 319
第8章 数值积分与微分 321
8.1 数值积分的基本概念 321
8.1.1 构造数值求积公式的基本思想 321
8.1.2 代数精度 323
8.1.3 插值型求积公式 325
8.2 Newton-Cotes 公式 327
8.2.1 Newton-Cotes 公式的一般形式 327
8.2.2 几种低阶 N-C 求积公式的余项 331
8.2.3 数值求积公式的收敛性与稳定性 334
8.3 复化求积公式 336
8.3.1 复化梯形求积公式 336
8.3.2 复化 Simpson 公式 337
8.3.3 复化 Cotes 公式 339
8.3.4 复化公式的收敛性和数值稳定性 339
8.3.5 变步长方法 340
8.3.6 MATLAB 分分钟代码实现 342
8.4 Romberg 求积法与 Richardson 外推法 344
8.4.1 Romberg 求积法 344
8.4.2 各种复化求积法代数精度的比较 345
8.4.3 MATLAB 分分钟代码实现 346
8.4.4 Richardson 外推加速法 348
8.5 Gauss 型求积公式 351
8.5.1 最高代数精度 351
8.5.2 Gauss 型求积公式的构建 352
8.5.3 Gauss 型求积系数的获取 354
8.5.4 Gauss 型求积公式的误差与收敛性 355
8.5.5 常用 Gauss 型求积公式 355
8.5.6 MATLAB 分分钟代码实现 359
8.5.7 二重、三重数值积分的解决之道 361
8.6 数值微分 361
8.6.1 插值型数值微分 362
8.6.2 数值微分的外推法 363
8.6.3 需要注意的事项 364
习题 8 364
第9章 常微分方程的数值解法 367
9.1 初值问题与其数值解 367
9.1.1 初值问题的解与数值解 367
9.1.2 数值解法的简单分类 368
9.2 Euler 法 369
9.2.1 Euler 法的几何意义 369
9.2.2 Euler 法数值解 370
9.2.3 Euler 法的误差 372
9.2.4 数值解法的收敛性 375
9.2.5 数值方法的稳定性 377
9.3 梯形法与改进的 Euler 方法 379
9.3.1 从数值积分看初值问题数值解法 379
9.3.2 改进的 Euler 方法 381
9.3.3 MATLAB 分分钟代码实现 384
9.3.4 建立数值解法的途径 384
9.4 Runge-Kutta 方法 386
9.4.1 Runge-Kutta 方法的基本思想 386
9.4.2 Runge-Kutta 方法的迭代格式 387
9.4.3 常用的四阶 Runge-Kutta 方法 390
9.4.4 MATLAB 分分钟代码实现 392
9.4.5 变步长的 Runge-Kutta 方法 393
9.4.6 Runge-Kutta 方法优劣分析 395
9.5 线性多步法 395
9.5.1 线性多步法的一般形式 395
9.5.2 Adams 显式多步法 396
9.5.3 Adams 隐式多步法 399
9.5.4 四阶预报校正式的 Adams 法 400
9.5.5 其他常用多步法 401
9.5.6 MATLAB 分分钟代码求数值解 404
9.6 一阶微分方程组初值问题数值解 405
9.6.1 一阶微分方程组初值问题 405
9.6.2 一阶微分方程组数值解法 405
9.6.3 高阶微分方程初值问题数值解 407
9.6.4 MATLAB 分分钟代码求数值解 407
习题 9 412
第10章 矩阵特征值计算 414
10.1 幂法与反幂法 415
10.1.1 幂迭代法 415
10.1.2 幂法的改进 417
10.1.3 幂法加速法 419
10.1.4 反幂法 421
10.2 求特征值的 Jacobi 方法 423
10.2.1 正交变换对角化与保长性 423
10.2.2 矩阵对角化的旋转变换 425
10.2.3 Jacobi 方法 428
10.2.4 MATLAB 分分钟代码实现 431
习题 10 434
参考文献 435
京公网安备 11010102004214号