在国家自然科学基金委员会天元基金领导小组委托西安交通大学理学院举办的“西部与周边地区高等学校非数学类数学教师培训班”上，12位教授应邀联合开设了“从大学数学走向现代数学”的系列讲座，本书即为该系列讲座的集成。书中各篇从大学数学中的某些基本概念与原理出发，以简短的篇幅阐明这些基本概念、原理如何发展到近代数学的相关分支与内容，使读者能更清楚地了解大学数学与现代数学的联系，从而能从更高的观点和更全面的视角理解大学数学内容。主要内容包括：从代数运算到代数结构、从有限维空间到无限维空间、从函数到算子、从序列收敛到网收敛、从导数到广义导数、从Newton-Leibniz公式到Stokes公式、从Taylor公式到学习理论、从矩阵的特征值到算子的谱、从微分方程到动力系统、从随机变量到随机过程、从数学应用题到数学建模、从Stirling公式到积分的渐近逼近、从平坦的欧氏空间到弯曲的黎曼壁间。全书各章内容自成体系。
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第一章 从代数运算到代数结构 1
1.1 代数运算和代数结构 1
1.1.1 什么是代数运算 1
1.1.2 代数运算的规律 3
1.1.3 什么是代数结构 4
1.1.4 关于运算的同余关系 6
1.2 群 8
1.2.1 对称与群 8
1.2.2 群的定义与性质 12
1.2.3 子群与商群 14
1.3 环、域 l6
1.3.1 环的定义、性质与类型 16
1.3.2 子环与商环 19
1.3.3 域 20
1.4 模 22
1.4.1 模、子模、商模 22
1.4.2 自由模 24
1.5 同态与同构 24
1.5.1 同态与同构 24
1.5.2 同态基本定理 27
1.5.3 对代数体系的分类 28
第二章 从有限维空间到无限维空间 30
2.1 为什么要引入无限维空间 30
2.1.1 n维Euclid空间 30
2.1.2 无限维空间 36
2.2 度量空间中的收敛性、完备性和紧性 40
2.2.1 度量空间及其中点列的收敛性 40
2.2.2 空间的完备性与完备化 42
2.2.3 列紧性与紧性 46
2.3 赋范线性空间与Hahn-Banach定理 47
2.3.1 赋范线性空间 48
2.3.2 等价范数与有限维赋范线性空间的特征 50
2.3.3 有界线性算子与有界线性泛函 51
2.3.4 Hahn-Banach定理与对偶空间 54
2.3.5 各种收敛性 57
2.4 Hilbert空间与Fourier展开 58
2.4.1 Hilbert空间与正交投影 59
2.4.2 Hilbert空间的正交系与Fourier展开 62
2.4.3 可分Hilbert空间的同构性与Hilbert空间的自共轭性 66
第三章 从函数到算子 68
3.1 函数概念发展的历史简述 68
3.2 从函数到映射与算子 7l
3.3 广义函数（分布） 88
第四章 从序列收敛到网收敛 95
4.1 数列与序列 95
4.2 度量空间中的序列 96
4.2.1 度量空间中序列的极限 97
4.2.2 度量所诱导的拓扑 100
4.2.3 用序列描述闭集和开集 102
4.2.4 连续映射 103
4.2.5 紧度量空间 105
4.3 拓扑空间中的网 110
4.3.1 从Riemann积分的定义看序列概念的局限性 110
4.3.2 拓扑空间 112
4.3.3 拓扑空间的若干基本性质 113
4.3.4 拓扑空间上的连续映射 115
4.3.5 乘积拓扑空间 116
4.3.6 定向集与网 117
4.3.7 用网描述拓扑空间中的基本概念 119
第五章 从导数到广义导数 122
5.1 从微积分中的导数谈起 122
5 1.1 微秋分中的导数 l22
5.1.2 导数概念的一种最直接和自然的推广 l24
5.2 广义函数与广义导数 125
5.3 导子 130
5.4 切从与向量从 137
第六章 从Newton-Leibniz公式到Stokes公式 144
6.1 Newton-Leibniz公式及其在高维的推广 144
6.2 外微分式和外微分 146
6.2.1 微分的意义 146
6.2.2 外形式 l48
6.2.3 外微分式 150
6.2.4 外微分 150
6.2.5 积分 153
6.2.6 Stokes公式 155
6.3 微分流形上的Stokes公式 158
6.3.1 微分流形的概念 l58
6.3.2 外微分的形式不变性 l62
6.3.3 在光滑流形上外微分式的积分 164
6.3.4 微分流形上的Stokes公式 168
6.4 Stokes公式的意义 171
第七章 从Taylor公式到学习理论 173
7.1 Taylor公式及其发展 173
7 1.1 一元两数的Taylor公式 l73
7.1.2 多元函数的Taylor公式 l76
7.1.3 Banach空间上的Taylor公式 l77
7.2 从函数展开到Fourier分析 182
7.2.1 多项式展开 182
7 2.2 Hilbert空间理论 184
7.2.3 Fourier分析 187
7.2.4 Fourier变换 188
7.3 从函数近似到逼近论 192
7.3.1 用已知有限点信息的近似——数值逼近 l92
7.3.2 用简单函数的近似——函数逼近论 194
7.4 小波分析与神经网络 197
74.1 小波分析 197
7.4.2 神经网络 20l
第八章 从矩阵的特征值到算子的谱 207
8.1 从矩阵的特征值谈起 207
8.2 线性算子的谱 209
8.3 紧算子和对称算子的谱 212
8.3.1 紧算子的谱 212
8.3.2 对称算子的谱 213
8.4 自伴算子的谱分析 218
8.5 结束语 223
第九章 从微分方程到动力系统 225
9.1 动力系统 225
9 1.1 从微分方程到动力系统，结构稳定与分支的定义 225
9.1.2 奇点附近的局部结构，稳定和不稳定流形，中心流形 230
9.1.3 轨道的大范围性质，闭轨与极限集，Lyapunov稳定性 234
9.1.4 平面动力系统的极限环，Hilbert第16个问题 238
9.2 下面动力系统的结构稳定与分支现象 241
9.2.1 一个大范围的结构稳定性定理 241
9.2.2 平面系统的分支现象 242
第十章 从随机变量到随机过程 248
10.1 随机变量与随机向量 248
10.1.1 概率空间 248
10.1.2 随机变量 249
10.1.3 随机向量 251
10.2 随机过程的定义 352
10.3 随机过程的基本性质 253
10.3.1 可测性 253
10.3.2 可分性 254
10.3.3 样本函数的连续性 257
10.4 几类重要的随机过程 259
10.4.1 Brown运动 259
10.4.2 Markov过程 259
10.4.3 平稳过程 260
10.5 鞅 260
10.5.1 条件数学期望 260
10.5.2 鞅的定义 261
10.5.3 关于鞅的几个重要结果 263
第十一章 从数学应用题到数学建模 267
11.1 数学建模的基本过程与框架 267
11.2 数学模型必须接受实际检验 269
11.3 数据处理 278
11.4 模型的不断改进 286
11.5 层次分析法 295
11.6 针对不同的实际问题建立不同的数学模型 304
第十二章 从Stirling公式到积分的渐近逼近 306
12.1 渐近分析的故事 306
12.2 Bernoulli数 306
12.3 Bernoulli多项式 308
12.4 Euler-Maclaurin求和公式 309
12.5 Euler-Maclaurin公式应用举例 311
12.6 Riemann ζ函数的初步介绍 313
12.7 Watson公式和Laplace公式 317
第十三章 从平坦的欧氏空间到弯曲的黎曼空间 320
13.1 从欧氏几何到非欧几何 320
13.2 从解析几何到微分几何 324
13.3 从欧拉的微分几何到高斯的微分几何 327
13.3.1 平面曲线的描述 327
13.3.2 空间曲线的描述 329
13.3.3 三维欧氏空间中曲面的描述 330
13.3.4 高斯曲率的内在意义 334
13.4 黎曼空间的几何 338
参考文献 340
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