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　　本书从常识性的平凡道理出发, 不用极限概念也不用无穷小概念, 直截了当地定义了函数的导数, 证明了导数的常用性质; 定义了定积分, 推出了微积分基本定理. 严谨而不失直观的推理, 颠覆了微积分必须以极限概念为基础的传统观点. 全书共 18 章, 前 10 章用作者发现的新方法构建了一元微积分的逻辑框架; 后 8 章阐述新方法与传统体系的关系和接轨的方案, 以及一些重要的微积分知识. 本书化解了传统微积分教学的若干最大难点, 为建立高中和大学的微积分新体系描绘了蓝图.

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• 目 录
  总序
  代序 努力掌握微积分思想的精髓
  前言 微积分发展过程回顾与展望
  第1章 微积分乌瞰 1
  1.1四类问题催生微积分 1
  1.2局部和总体的基本关系 2
  1.3切线问题初探 3
  1.4函数的增减与最值初探 5
  1.5抛物线弓形的面积 7
  1.6第1章 小结 10
  第2章 乙函数和导数 13
  2.1差分和差商 13
  2.2甲函数和乙函数 17
  2.3估值不等式的初步应用和发展 24
  2.4函数的导数和微分 29
  2.5第2章 小结 38
  第3章 导数应用初步 47
  3.1关于瞬时速度的思考 47
  3.2曲线的切线 51
  3.3函数的稳定点和极值点 55
  第4章 初等函数微分法 60
  4.1计算导数的法则 60
  4.2指数函数和对数函数的导数 64
  4.3第4章 小结 67
  第5章 导数的更多应用 69
  5.1函数曲线的凸性 69
  5.2参数方程曲线的切线 77
  第6章 微积分基本定理 81
  6.1积分系统和定积分 81
  6.2微积分基本定理 84
  6.3积分系统唯一性的讨论 85
  第7章 定积分的初步应用 88
  7.1面积和体积的计算 88
  7.2变力所做的功 90
  第8章 积分法初步 93
  8.1原函数和不定积分 93
  8.2基本积分表 94
  8.3求不定积分的分拆与分部方法 95
  8.4求不定积分的换元法 97
  8.5定积分换元积分法和分部积分法 100
  第9章 定积分的更多应用 104
  9.1一般曲线包围的面积 104
  9.2平面曲线的弧长 107
  第10章 泰勒公式 110
  10.1从微积分基本定理导出泰勒公式 110
  10.2用导数性质估计泰勒公式余项 113
  10.3泰勒公式的初步应用 114
  第11章 实数与连续性 118
  11.1实数系统的特性 118
  11.2反函数的存在性 121
  11.3定积分的存在性 124
  第12章 数列极限与无穷级数 130
  12.1数列的极限 130
  12.2无穷级数求和 137
  12.3无穷级数收敛判别法 139
  第13章 函数的极限 143
  13.1函数极限的概念 143
  13.2函数极限计算初步 150
  13.3广义积分 154
  13.4函数图像的渐近线 159
  第14章 点式连续与点式可导 162
  14.1函数在一点连续的概念 162
  14.2闭区间上点点连续函数的性质 165
  14.3函数在一点可导的概念 169
  14.4微分中值定理 175
  第15章 趋于无穷的量的比较 178
  15.1无穷大和无穷小的阶 178
  15.2洛必达法则 182
  第16章 函数项级数 186
  16.1函数项级数的概念和性质 186
  16.2幂级数的性质 193
  16.3三角级数 197
  第17章 黎曼积分与可积性 207
  17.1黎曼积分的概念和黎曼可积性 207
  17.2黎曼可积性与积分系统唯一性的关系 214
  第18章 初识微分方程 221
  18.1多元函数的微分和偏导数 221
  18.2微分方程的概念 226
  18.3简单的一阶常微分方程 227
  18.4简单的二阶常微分方程 231
  参考文献 235