本手册以高等数学的公式为主线，以简洁的形式分门别类地详细介绍了高等数学的主要公式、定义、定理、图形以及各种题型的解题方法和技巧，除了高等数学教材中的基本内容和公式、常见解题方法和技巧外，本手册还大量收集了一般教材中没有的，但在解题中有用的公式、特殊的解题方法和技巧。
使用本手册可以帮助读者迅速复习、回忆和掌握高等数学的公式、解题方法和技巧，以提高高等数学的学习效率、解题能力和考试成绩。
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目录
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第1章 函数 极限 连续性 1
1.1 集合 映射 函数 1
1.1.1 几个常用的逻辑符号 1
1.1.2 数集的记号 1
1.1.3 集合及其运算 2
1.1.4 直积与关系 3
1.1.5 映射与函数 4
1.1.6 常见函数的定义域 5
1.1.7邻域 5
1.1.8 几个重要的分段函数 6
1.1.9 函数的奇偶性 7
1.1.10 函数的有界性 9
1.1.11 函数的周期性 13
1.1.12 反函数 13
1.1.13 复合函数 15
1.1.14 基本初等函数 16
1.1.15 初等函数 21
1.1.16 双曲函数 22
1.2 数列的极限 23
1.2.1 数列的概念 23
1.2.2 数列的极限 24
1.2.3 一些重要的数列极限 25
1.2.4 数列极限的斯托尔茨定理 26
1.2.5 数列极限的性质 27
1.2.6 数列与子数列的敛散性关系 27
1.2.7 数列收敛的两个准则 28
1.2.8 数列极限的运算法则 29
1.2.9 数列敛散性的若干性质 30
1.3 函数的极限 30
1.3.1 函数极限lim f(x)x→x0=A 30
1.3.2 单侧极限 31
1.3.3 函数在x=0处的单侧极限和极限 32
1.3.4 函数极限lim f(x)x→x0=A 33
1.3.5 一些单向极限存在但极限lim f(x)x→x0不存在的函数 35
1.3.6 函数极限的6种定义 36
1.3.7 函数极限的性质 36
1.3.8 函数极限与数列极限的关系 37
1.4 无穷小与无穷大 38
1.4.1 无穷小 38
1.4.2 无穷小的运算性质 38
1.4.3 无穷大 39
1.4.4 无穷大定义一览表 40
1.4.5 无穷大的运算性质 41
1.4.6 无穷大与无穷小的倒数关系 41
1.4.7 无穷大与无界函数的关系 42
1.5 极限的运算法则 44
1.5.1 极限的四则运算法则 44
1.5.2 一些基本极限 44
1.5.3 多项式函数与有理函数的极限 44
1.6 函数极限存在准则 两个重要极限 46
1.6.1 函数极限存在的两个准则 46
1.6.2 重要极限 47
1.6.3 重要极限 48
1.6.4 其他重要极限 49
1.7 无穷小的比较 49
1.7.1 无穷小比较的定义 49
1.7.2 高阶无穷小的运算律 50
1.7.3 无穷小的阶的运算律 51
1.7.4 等价无穷小的性质 51
1.7.5 常见的等价无穷小 52
1.7.6 更高阶的等价无穷小 52
1.7.7 等价无穷小代换定理 53
1.7.8 在加减项之间进行等价无穷小代换 53
1.7.9 几个有用的等价无穷小代换 54
1.7.10 无穷大的比较 55
1.8 函数的连续性与间断点 55
1.8.1 函数的连续性 55
1.8.2 间断点的分类 56
1.8.3 连续函数的运算 57
1.8.4 幂指函数的极限 59
1.8.5 幂指函数极限中的等价无穷小代换 60
1.8.6 初等函数的连续性 61
1.8.7 闭区间上连续函数的性质 62
第2章 导数与微分 63
2.1 导数概念 63
2.1.1 导数的定义 63
2.1.2 导数的各种形式 63
2.1.3 单侧导数 64
2.1.4 导数的几何意义 65
2.1.5 可导与连续的关系 66
2.1.6 导数模型一览表 67
2.1.7 基本初等函数的导数公式 68
2.1.8 双曲函数和反双曲函数的导数公式 69
2.2 函数的求导法则 69
2.2.1 导数的四则运算法则 69
2.2.2 反函数的求导法则 70
2.2.3 复合函数的求导法则：链式法则 71
2.2.4 隐函数的求寻法则 73
2.2.5 对数求导法 74
2.2.6 由参数方程所确定的函数的导数 76
2.2.7 参数曲线的切线与法线 77
2.2.8 由极坐标方程所确定的函数的导数 77
2.2.9 相关变化率 78
2.3 一些特殊的求导方法 78
2.3.1 分段函数的导数 78
2.3.2 带绝对值的函数的导数 81
2.3.3 奇（偶）函数和周期函数的导数 83
2.4 高阶导数 84
2.4.1 高阶导数的定义 84
2.4.2 高阶导数的运算法则 84
2.4.3 一些重要的高阶导数公式 85
2.4.4 复合函数的二阶导数 85
2.4.5 由参数方程所确定的函数的高阶导数 86
2.4.6 隐函数的二阶导数 87
2.4.7 反函数的高阶导数 87
2.4.8 带绝对值的函数的高阶导数 88
2.5 微分 88
2.5.1 微分的概念 88
2.5.2 基本初等函数的微分公式 90
2.5.3 微分的运算法则 90
2.5.4 微分在近似计算中的应用 91
第3章 中值定理与导数的应用 93
3.1 中值定理 93
3.1.1 罗尔定理 93
3.1.2 罗尔定理的应用 93
3.1.3 拉格朗日中值定理 94
3.1.4 拉格朗日中值定理的应用 95
3.1.5 柯西中值定理 96
3.1.6 三个中值定理之间的关系 97
3.1.7 泰勒公式 97
3.1.8 一些重要的麦克劳林公式 99
3.2 洛必达法则 101
3.2.1 基本未定式 101
3.2.2其他未定式 102
3.2.3 使用洛必达法则的注意事项 103
3.3 函数的单调性 104
3.3.1 函数单调性的判定定理 104
3.3.2 求函数的单调区间的步骤 104
3.3.3 函数的单调性的应用 104
3.4 函数的极值与最值 106
3.4.1 极值的定义 106
3.4.2 极值的必要条件 106
3.4.3 极值的充分条件 106
3.4.4 求函数极值的步骤 108
3.4.5 函数的最值 108
3.5 曲线的凹凸性与拐点 110
3.5.1 曲线的凹凸性 110
3.5.2 拐点 112
3.5.3 利用凹凸性证明不等式 114
3.6 渐近线 114
3.6.1 渐近线的定义及类型 114
3.6.2 求渐近线的步骤 115
3.6.3 求渐近线的一些特殊方法 116
3.7 曲率 117
3.7.1 曲率的定义 117
3.7.2 曲率的计算公式 117
3.7.3 曲率半径与曲率圆 118
第4章 不定积分 119
4.1 不定积分的概念与性质 119
4.1.1 原函数的概念与性质 119
4.1.2 不定积分的概念与性质 119
4.1.3 分段函数的不定积分 120
4.2 不定积分公式 121
4.2.1 基本积分公式 121
4.2.2 其他常用的积分公式 122
4.2.3 6个三角函数的平方的积分公式 123
4.2.4 有关双曲函数的积分公式 124
4.3 换元积分法 124
4.3.1 第一类换元法（凑微分法） 124
4.3.2 第一类换元法常见类型 125
4.3.3 其他凑微分公式 126
4.3.4 第二类换元法 127
4.3.5 第二类换元法常见类型 127
4.4 分部积分法 130
4.4.1 分部积分法 130
4.4.2 常见的分部积分法类型 130
4.4.3 反函数的不定积分 133
4.5 有理函数的积分 133
4.5.1 有理函数的积分 133
4.5.2 三角有理函数的积分 134
4.5.3 一些“积不出”的不定积分 135
第5章 定积分 137
5.1 定积分的概念与性质 137
5.1.1 定积分的概念 137
5.1.2 定积分的性质 140
5.1.3 积分模型一览表 142
5.2 微积分基本公式 143
5.2.1 积分上限函数及其导数 143
5.2.2 微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式） 144
5.3 定积分的换元积分法和分部积分法 145
5.3.1 定积分的凑微分法 145
5.3.2 定积分的换元法 145
5.3.3 一些重要的定积分等式 146
5.3.4 一些含参数的积分等式 150
5.3.5 奇（偶）函数及周期函数的原函数与定积分 150
5.3.6 分段函数的定积分 153
5.3.7 定积分的分部积分法 153
5.3.8 反函数的定积分 154
5.4 广义积分 156
5.4.1 无穷限的广义积分的定义 156
5.4.2 几个重要的无穷限的广义积分 156
5.4.3 无穷限的广义积分的计算方法 158
5.4.4 无界函数的广义积分（瑕积分）的定义 158
5.4.5 几个重要的无界函数的广义积分 159
5.4.6 无界函数的广义积分的计算方法 159
5.4.7 Γ函数 161
第6章 定积分的应用 162
6.1 平面图形的面积 162
6.1.1 直角坐标情形 162
6.1.2 极坐标情形 163
6.1.3 参数曲线情形 163
6.2 体积 165
6.2.1 平行截面面积为已知的立体的体积 165
6.2.2 旋转体的体积 165
6.3 平面曲线的弧长 旋转曲面的面积 167
6.3.1 弧微分公式 167
6.3.2 平面曲线的弧长 168
6.3.3 旋转曲面的面积 169
6.4 定积分在物理学中的应用 170
6.4.1 变力沿直线所做的功 170
6.4.2 抽水做功 170
6.4.3 水压力 171
第7章 空间解析几何与向量代数 173
7.1 向量及其线性运算 173
7.1.1 向量的概念 173
7.1.2 向量的线性运算 173
7.1.3 空间直角坐标系 175
7.1.4 利用坐标进行向量的线性运算 176
7.2 数量积 向量积 混合积 177
7.2.1 数量积 177
7.2.2 数量积的坐标运算 178
7.2.3 向量积 179
7.2.4 向量积的坐标运算 180
7.2.5 混合积 181
7.2.6 混合积的坐标运算 182
7.3 曲面及其方程 183
7.3.1 曲面方程的类型 183
7.3.2 球面 184
7.3.3 旋转曲面 184
7.3.4 一些旋转曲面 186
7.3.5 旋转曲面的参数方程 187
7.3.6 一般旋转曲面的求法 187
7.3.7 柱面 189
7.3.8 一些柱面 190
7.3.9 一般柱面的求法 190
7.3.10 锥面 191
7.3.11 一些二次曲面 193
7.4 空间曲线及其方程 194
7.4.1 空间曲线方程的类型 194
7.4.2 一些重要的空间曲线 195
7.4.3 空间曲线在坐标面上的投影曲线 195
7.5 平面及其方程 196
7.5.1 平面方程 196
7.5.2 具有特殊位置的平面 197
7.5.3 两平面之间的位置关系 198
7.5.4 三平面之间的位置关系 199
7.6 空间直线及其方程 201
7.6.1 空间直线方程 201
7.6.2 两直线之间的位置关系 202
7.6.3 直线与平面之间的位置关系 203
7.6.4 距离公式 204
7.6.5 平面束 206
第8章 多元函数微分法及其应用 207
8.1 多元函数的基本概念 207
8.1.1 多元函数的概念 207
8.1.2 多元函数的极限 208
8.1.3 多元函数的连续性 209
8.2 偏导数 21o
8.2.1 偏导数的定义 210
8.2.2 求偏导数的方法 211
8.2.3 多元函数可偏导与连续性的关系 211
8.2.4 高阶偏导数 212
8.3 全微分 213
8.3.1 全微分的定义 213
8.3.2 多元函教可微的必要条件和充分条件 213
8.3.3 多元函数可微、可偏导、连续和有极限之间的关系 214
8.3.4 全微分的计算公式 214
8.3.5 全微分在近似计算中的应用 215
8.4 多元复合函数的微分法 215
8.4.1 多元复合函数的求导法则：链式法则 215
8.4.2 多元复合函数的二阶偏导数 217
8.4.3 复合函数的全微分——全微分形式不变性 218
8.4.4 偏导数的变量代换 219
8.5 隐函数的微分法 220
8.5.1 由一个方程所确定的隐函数的导数和偏导数 220
8.5.2 隐函数求偏导数的方法 221
8.5.3 由方程组所确定的隐函数的导数和偏导数 222
8.5.4 反函数组的雅可比行列式 224
8.6 多元函数微分学的几何应用 225
8.6.1 空间曲线的切线与法平面 225
8.6.2 曲面的切平面与法线 226
8.6.3 二次曲面的切平面的简便求法 226
8.7 方向导数与梯度 227
8.7.1 方向导数和梯度的定义 227
8.7.2 方向导数的计算公式 228
8.7.3 梯度的运算律 229
8.8 多元函数的极值 230
8.8.1 多元函数极值的必要条件 230
8.8.2 二元函数极值的充分条件 231
8.8.3 求二元函数极值的步骤 231
8.8.4 多元函数极值的充分条件 232
8.8.5 条件极值 拉格朗日乘数法 233
第9章 重积分 236
9.1 二重积分的概念与性质 236
9.1.1 二重积分的概念 236
9.1.2 二重积分的性质 237
9.2 二重积分的计算 238
9.2.1 利用直角坐标计算二重积分 238
9.2.2 计算二重积分的步骤 240
9.2.3 交换积分次序 241
9.2.4 利用对称性化简二重积分 242
9.2.5 利用极坐标计算二重积分 244
9.2.6 二重积分的变量替换 247
9.3 二重积分的应用 250
9.3.1 二重积分的几何应用 250
9.3.2 二重积分的物理应用 251
9.4 三重积分的概念与计算 253
9.4.1 三重积分的概念与性质 253
9.4.2 利用直角坐标计算三重积分 253
9.4.3 三重积分的“先二后一”积分法 254
9.4.4 利用对称性化简三重积分 255
9.5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 257
9.5.1 柱面坐标 257
9.5.2 利用柱面坐标计算三重积分 259
9.5.3 球面坐标 260
9.5.4 利用球面坐标计算三重积分 262
9.5.5 选择适当的坐标计算三重积分的方法 263
9.5.6 三重积分的变量替换 264
9.5.7 三重积分的物理应用 265
第10章 曲线积分与曲面积分 266
10.1 对弧长的曲线积分 266
10.1.1 对弧长的曲线积分的概念 266
10.1.2 对弧长的曲线积分的性质 267
10.1.3 对弧长的曲线积分的计算 267
10.1.4 对弧长的曲线积分化为定积分的步骤 268
10.1.5 利用对称性化简对弧长的曲线积分 269
10.1.6 对弧长的曲线积分的应用 271
10.1.7 对弧长的曲线积分的其他物理应用 271
10.2 对坐标的曲线积分 272
10.2.1 对坐标的曲绒积分的概念 272
10.2.2 对坐标的曲线积分的性质 273
10.2.3 对坐标的曲线积分的计算 274
10.2.4 对坐标的曲线积分化为定积分的步骤 275
10.2.5 对坐标的曲线积分的应用 275
10.2.6 两类曲线积分之间的联系 276
10.3 格林公式 276
10.3.1 格林公式 276
10.3.2 利用格林公式计算对坐标的曲线积分 277
10.4 平面上曲线积分与路径无关的条件 279
10.4.1 曲线积分与路径无关的等价条件 279
10.4.2 曲线积分的基本定理 279
10.4.3 利用曲线积分与路径无关的条件计算曲线积分 280
10.4.4 二元函数的全微分求积 281
10.4.5 选择对坐标的曲线积分的计算方法 281
10.5 对面积的曲面积分 282
10.5.1 对面积的曲面积分的概念与性质 282
10.5.2 对面积的曲面积分的计算 283
10.5.3 对面积的曲面积分化为二重积分的步骤 284
10.5.4 利用对称性化简对面积的曲面积分 284
10.5.5 对面积的曲面积分的应用 286
10.6 对坐标的曲面积分 286
10.6.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 286
10.6.2 对坐标的曲面积分的计算 288
10.6.3 计算对坐标的曲面积分的“三合一”公式 288
10.6.4 对坐标的曲面积分的应用 289
10.6.5 两类曲面积分之间的联系 290
10.7 高斯公式 290
10.7.1 高斯公式 290
10.7.2 利用高斯公式计算对坐标的曲面积分 291
10.7.3 选择对坐标的曲面积分的计算方法 292
10.8 散度与旋度 斯托克斯公式 292
10.8.1 散度与旋度 292
10.8.2 散度和旋度的运算法则 293
10.8.3 梯度+散度、旋度的二阶运算 294
10.8.4 斯托克斯公式 294
第11章 无穷级数 296
11.1 常数项级数的概念与性质 296
1.1.1 无穷级数的收敛与发散 296
11.1.2 无穷级数的性质 296
11.1.3 几个重要的级数 298
11.2 正项级数的审敛法 299
1.2.1 正项级数的收敛定理 299
11.2.2 比较审敛法 299
1.2.3 常用来进行比较的正项级数 302
1.2.4 比值审敛法 303
1.2.5 根值审敛法 304
1.2.6 积分审敛法 305
1.2.7 正项级数的一些性质 305
11.3 任意项级数的敛散性 306
11.3.1 绝对收敛与条件收敛 306
11.3.2 绝对收敛的审敛法 307
11.3.3 绝对收敛（条件收敛）级数的运算性质 308
1.3.4 交错级数及其审敛法 308
11.3.5 级数的重排 绝对收敛与条件收敛的区别 309
1.3.6 判断级数敛散性的一般步骤 311
11.3.7 利用级数收敛的必要条件证明数列极限limunn→∞=0 311
11.3.8 一些无穷级数的和 312
11.4 幂级数 312
1.4.1 幂级数及其收敛性 312
1.4.2 幂级数的收敛半径和收敛区间 314
1.4.3 求幂级数的收敛半径和收敛域的步骤 315
1.4.4 幂级数的运算 316
1.4.5 和函数的分析性质 316
1.4.6 几个常见的幂级数的和函数 317
11.5 函数展开成幂级数 318
1.5.1 泰勒级数 318
1.5.2 一些函数的麦克劳林级数 319
1.5.3 函数展开成幂级数的方法 319
1.6 傳里叶级数 320
1.6.1 傅里叶级数 320
1.6.2 傅里叶级数的收敛定理 321
1.6.3 奇（偶）函数的傅里叶级数 322
11.6.4 周期函数展开成傅里叶级数的步骤 322
1.6.5 如何写出函数的傅里叶级数的和函数 323
1.6.6 周期延拓与奇（偶）延拓 323
1.6.7 周期为2z的周期函数的傅里叶级数 324
第12章 微分方程 326
12.1 微分方程的基本概念 326
12.1.1 微分方程 326
12.1.2 微分方程的解 326
12.1.3 微分方程的初值问题 326
12.2 一阶微分方程 327
12.2.1 简单的一阶微分方程 327
12.2.2 可分离变量的微分方程 327
12.2.3 齐次方程 328
12.2.4 一阶线性微分方程 329
12.2.5 伯努利方程 330
12.2.6 全微分方程（恰当方程） 331
12.3 可降阶的高阶微分方程 332
12.3.1 y(n)=f(x)型的微分方程 332
12.3.2 两种特殊的二阶微分方程 332
12.4 高阶线性微分方程 333
12.4.1 齐次线性微分方程的通解结构 333
12.4.2 函数组的线性相关性 334
12.4.3 非齐次线性微分方程的通解结构 334
12.4.4 非齐次线性微分方程的解的叠加原理 335
12.4.5 二阶常系数齐次线性微分方程 336
12.4.6 二阶常系数非齐次线性微分方程 337
12.4.7 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法 338
12.4.8 二阶常系数非齐次线性微分方程的复数解法 339
12.4.9 欧拉方程 340
参考文南 342
附录A 常用初等数学公式 343
A.1 初等代数 343
A.1.1 乘法和因式分解 343
A.1.2 一元二次方程 343
A.1.3 不等式 343
A.1.4 指数 344
A.1.5 对数 344
A.1.6 复数 345
A.1.7 数列 345
A.1.8 行列式 346
A.1.9 线性方程组的解（克拉默法则） 346
A 2 初等几何 347
A.2.1 平面图形 347
A.2.2 立体图形 348
A 3 三角函数 349
A.3.1 弧度和度的关系 349
A.3.2 三角函数的定义 349
A.3.3 三角函数的基本关系 349
A.3.4 诱导公式 350
A.3.5 特殊的三角函数值 350
A.3.6 和差公式 351
A.3.7 倍角公式与半角公式 351
A.3.8 积化和差与和差化积公式 351
A.3.9 三角形的边角关系 351
A.4 解析几何 352
A.4.1 直线 352
A.4.2 二次曲线 353
A.4.3 参数方程 354
A.4.4极坐标 355
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