物理、化学、力学、生物、经济和社会学中建立的物质运动的数学模型通常用微分方程所定义的连续动力系统来描述。在某些确定的参数条件下，这些数学模型存在复杂的动力学行为——混沌性质。什么是严格的数学意义下的混沌，如何理解混沌现象？系统是如何随着参数的改变而发展为混沌行为的？有什么精确的数学方法和技巧检验混沌行为的存在？对上述问题，本书介绍已得到的精确的数学理解的结果。本书重点介绍检验Smale马蹄型混沌存在的Melnikov测量方法及其应用。
作为21世纪新的研究进展，本书第二版特别介绍了由WangQiudong等近年所发展的高阶Melnikov函数计算和判定分界线的指数小撕裂的严格的数学方法。
样章试读
目录
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《现代数学基础丛书》序
第二版前言
第一版前言
第1章 动力系统的基本概念 1
1.1 流和离散动力系统 1
1.2 基本定义和性质 3
1.3 拓扑共轭、结构稳定性与分枝 7
第2章 符号动力系统、有限型子移位和混沌概念 9
2.1 符号动力系统 9
2.2 有限型子移位 11
2.3 Li-Yorke定理和Sarkovskii序 12
2.4 混沌概念的推广 17
第3章 二阶周期微分系统与二维映射 20
3.1 二阶周期微分系统的谐波解 20
3.2 脉冲激励系统的Poincaré映射 22
3.2.1 单位跳跃函数与δ-函数 22
3.2.2 具有脉冲作用的线性微分方程组的解矩阵 24
3.2.3 脉冲参数激励系统 26
3.3 Poincaré映射的线性近似与周期解的稳定性 28
3.4 二维线性映射 31
3.5 二维映射的Hopf分枝与Arnold舌头 36
第4章 Smale马蹄与横截同宿环 43
4.1 Smale的马蹄映射 43
4.2 Moser定理及其推广 48
4.3 二维微分同胚的双曲不变集、跟踪引理和Smale-Birkhoff定理 56
4.3.1 二维微分同胚的双曲不变集 56
4.3.2 跟踪引理 63
4.3.3 Smale-Birkhoff定理与混沌运动 67
4.4 Rm上的Cr-微分同胚的不变集与双曲性 70
4.5 分枝到无穷多个汇 77
4.6 Hénon映射的Smale马蹄 79
第5章 平面Hamilton系统和等变系统 85
5.1 二维可积系统与作用-角度变量 85
5.2 等变动力系统的定义和例子 91
5.3 几类对称系统的周期轨道族与同宿轨道 99
5.4 周期解族周期的单调性 107
第6章 Melnikov方法:扰动可积系统的混沌判据 113
6.1 由更替法导出的Melnikov函数 113
6.2 次谐波分枝的存在性及其与同宿分枝的关系 119
6.3 次谐波解的稳定性 124
6.4 周期扰动系统的Melnikov积分 129
6.5 周期扰动系统的次谐波Melnikov函数 135
6.6 慢变振子的周期轨道 139
6.7 慢变振子的同宿轨道 152
第7章 Melnikov方法：应用 162
7.1 软弹簧Duffing系统的次谐与马蹄 162
7.1.1 次谐分枝到马蹄的途径 163
7.1.2 混沌带的存在 168
7.1.3 有限次次谐分枝导致混沌的可能性 170
7.1.4 超次谐分枝的存在性 172
7.2 Josephson结的I-V特性曲线 174
7.2.1 马蹄的产生 176
7.2.2 次谐的存在性 178
7.2.3 次谐分枝轨道的稳定性 180
7.2.4 平均值的性质 181
7.3 两分量Bose-Einstein凝聚态系统的混沌与分枝 185
7.3.1 系统(7.3.3)的分枝集和相图 186
7.3.2 扰动系统(7.3.4)的Melnikov分析及数值结果 192
7.4 大Rayleigh数Lorenz方程的周期解和同宿分枝 194
附录 Jacobi椭圆函数有理式的Fourier级数 207
第8章 非自治受迫激励的微分方程的混沌性质 221
8.1 引言 221
8.2 定理的叙述 224
8.3 随机受迫激励系统的混沌性质 232
8.3.1 受静态随机过程扰动的方程的混沌性质 232
8.3.2 两个例子 234
8.4 对Duffing方程的应用 242
8.5 在延展的相平面上的Poincaré返回映射 247
8.5.1 局部线性化 247
8.5.2 围绕同宿圈的标准型 248
8.5.3 Poincaré截面Σ± 250
8.5.4 映射M:Σ→Σ+ 251
8.5.5 返回映射R 254
8.6 相关定理证明 255
8.6.1 定理8.2.1的证明 256
8.6.2 定理8.2.2的证明 256
8.6.3 定理8.2.3与定理 8.2.4的证明 257
8.6.4 定理8.2.5的证明 258
附录 命题 8.5.1和命题8.5.2的证明 259
第9章 高阶Melnikov积分 265
9.1 基本方程 265
9.2 主要结果 267
9.3 具体例子 267
9.4 高阶Melnikov积分推导 268
9.4.1 一阶变分方程 268
9.4.2 稳定解的微分方程与积分方程 270
9.4.3 定理9.2.1的证明 274
9.4.4 定理9.3.1中E1(t0)的计算 278
第10章 秩一吸引子的概念和混沌动力学 289
10.1 秩一吸引子的概念和混沌动力学理论 289
10.1.1 可允秩一映射族 289
10.1.2 秩一吸引子的存在性 290
10.1.3 好参数集的归纳构造 291
10.1.4 秩一吸引子的混沌动力学 292
10.2 在常微分方程中的应用 293
10.2.1 有同宿轨道的系统的周期扰动 293
10.2.2 具有超临界Hopf分枝的自治系统的周期脉冲参数激励 294
10.2.3 存在极限环的自治系统的周期脉冲参数激励 296
第11章 耗散鞍点的同宿缠结动力学 300
11.1 基本方程和返回映射 300
11.2 动力学结果 304
11.3 具体例子及数值结果 307
11.4 映射R的具体推导 312
附录 Melnikov函数(11.1.3)与Melnikov函数(6.4.21)的关系 318
第12章 耗散鞍点的异宿缠结动力学 321
12.1 基本方程和返回映射 321
12.2 动力学结果 327
12.3 具体例子及数值结果 336
12.4 返回映射F的推导 344
附录 的极限 353
第13章 分界线指数小撕裂的判据:直接法 354
13.1 问题和结果介绍 354
13.1.1 本章 的主要结果 354
13.1.2 高阶Melnikov积分 356
13.2 初等稳定解的递归式 357
13.2.1 第一变分方程 358
13.2.2 稳定解的微分方程 360
13.2.3 稳定解的积分方程 363
13.2.4 撕裂距离的递归推导 365
13.3 高阶Melnikov积分 367
13.3.1 核函数 367
13.3.2 高阶Melnikov积分的定义 371
13.3.3 作为高阶Melnikov积分的集合的撕裂距离 374
13.4 高阶Melnikov积分的预备知识 375
13.4.1 广义的和纯的Melnikov积分 375
13.4.2 复Melnikov积分 377
13.4.3 一个简单的例子 379
13.5 纯积分的处理 382
13.5.1 所有积分界的统一 382
13.5.2 移动到复平面 384
13.5.3 T(k,v)与T(k,ω)的结构树 387
13.5.4 纯积分的分解 390
13.6 分界线的指数小撕裂 392
13.6.1 在对称性基础上的删减 393
13.6.2 主要定理的证明 395
13.7 命题13.3.1的证明 400
13.8 命题13.6.1的证明 406
13.9 命题13.6.2的证明 414
13.9.1 有一棵零子树的积分 414
13.9.2 具有相互独立的零子树的纯积分 417
13.9.3 一般情况的证明 424
参考文献 430
《现代数学基础丛书》已出版书目 450
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