Table des matières Préface et remerciements Chapitre 1 Groupes, anneaux et corps 1 1.1 Groupes 2 1.1.1 Loi de composition interne 2 1.1.2 Définition d’un groupe et règles de calcul 7 1.1.3 Sous-groupes 13 1.1.4 Opérations sur les sous-groupes 15 1.1.5 Morphismes de groupes 17 1.2 Anneaux et corps 23 1.2.1 Définitions 23 1.2.2 Sous-anneaux et sous-corps 25 1.2.3 Règles de calcul dans un anneau 28 1.2.4 Opérations sur les sous-anneaux et sous-corps 32 1.2.5 Morphismes d’anneaux (ou de corps) 33 1.3 Exercices 37 Chapitre 2 Relations, ensembles N, Z, Q et R 44 2.1 Relations 45 2.1.1 Généralités sur les relations 45 2.1.2 Relation d’ordre 47 2.1.3 Relation d’équivalence 58 2.2 Ensemble N et principe de récurrence 59 2.2.1 Définition de l’ensemble N 59 2.2.2 Principe de récurrence 60 2.3 Ensemble Z et valeur absolue 67 2.3.1 Ensemble Z et structure d’anneau 67 2.3.2 Valeur absolue dans Z 69 2.4 Ensembles des nombres réels 69 2.4.1 Corps des nombres rationnels 69 2.4.2 Corps des nombres réels et relation d’ordre 70 2.4.3 Valeur absolue 70 2.4.4 Propriétés de la borne supérieure et de la borne inférieure 73 2.4.5 Partie entière 77 2.4.6 Caractérisation des intervalles de R 79 2.4.7 Droite numérique achevée 82 2.4.8 Densité de Q et de R n Q 82 2.4.9 Valeurs décimales approchées d’un nombre réel 85 2.5 Exercices 86 2.6 Annexe 93 2.6.1 Construction de Z 93 2.6.2 Ensembles finis et dénombrements 103 Chapitre 3 Suites de nombres réels ou complexes 125 3.1 Suites de nombres réels 126 3.1.1 Généralités 126 3.1.2 Opérations sur les suites 129 3.1.3 Suites extraites 134 3.2 Suites définies par une relation de récurrence 135 3.2.1 Suites arithmétiques et géométriques 136 3.2.2 Notations et Ⅱ 137 3.2.3 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants 142 3.3 Limite d’une suite 150 3.3.1 Convergence vers un réel l: définition et propriétés 150 3.3.2 Convergence et signe 154 3.3.3 Divergence d’une suite 155 3.3.4 Opérations sur les suites convergentes 158 3.3.5 Compatibilité du passage à la limite avec la relation d’ordre 164 3.3.6 Convergence et suites extraites 169 3.3.7 Caractérisation de la densité par les suites 173 3.4 Théorèmes d’existence de limite 174 3.4.1 Théorèmes de convergence et de divergence monotone 174 3.4.2 Application du théorème de la limite monotone aux séries à termes positifs 178 3.4.3 Théorème des suites adjacentes et théorème des segments embo.tés 187 3.4.4 Théorème de Bolzano-Weierstrass 190 3.5 Relations de comparaison 192 3.5.1 Suites dominées ou négligeables par rapport à une autre 192 3.5.2 Suites équivalentes 193 3.5.3 Comparaison des suites de référence 198 3.5.4 Développement asymptotique d’une suite 199 3.6 Suites à valeurs complexes 202 3.6.1 Définitions et convergence d’une suite complexe 202 3.6.2 Lien avec les parties réelle et imaginaire 204 3.7 Exercices 204 Chapitre 4 Espaces vectoriels et applications linéaires 215 4.1 Espaces vectoriels 216 4.1.1 Définition et exemples usuels 216 4.1.2 Règles de calcul dans un espace vectoriel 219 4.1.3 Sous-espaces vectoriels 222 4.2 Opérations sur les espaces vectoriels 226 4.2.1 Intersection et sous-espace engendré par une partie 226 4.2.2 Somme de sous-espaces vectoriels 233 4.2.3 Sommes directes et sous-espaces vectoriels supplémentaires 237 4.2.4 Produit cartésien de deux espaces vectoriels 242 4.3 Sous-espaces affines 245 4.3.1 Translations et groupes des translations d’un espace vectoriel 245 4.3.2 Définition d’un sous-espace affine 246 4.3.3 Parallélisme 249 4.3.4 Intersection de deux sous-espaces affines 250 4.4 Applications linéaires 251 4.4.1 Définition et exemples 251 4.4.2 Noyau et image d’une application linéaire 255 4.4.3 équations linéaires 260 4.4.4 Ensembles des applications linéaires L(E, F) 261 4.4.5 Isomorphismes, automorphismes et groupe linéaire 265 4.4.6 Restriction et recollement 268 4.4.7 Hyperplans d’un espace vectoriel et formes linéaires 271 4.4.8 étude d’applications linéaires remarquables 274 4.5 Exercices 283 Chapitre 5 Arithmétique dans Z 291 5.1 Arithmétique dans Z 292 5.1.1 Diviseurs et congruences 292 5.1.2 Nombres premiers et décomposition en produit de facteurs premiers 295 5.1.3 Division euclidienne 298 5.1.4 Sous-groupes de (Z,+) 299 5.1.5 Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple 300 5.1.6 Théorème de Bézout et algorithme d’Euclide 303 5.1.7 Lemme d’Euclide et théorème de Gauss 307 5.2 Exercices 313 5.3 Annexe 316 5.3.1 Anneaux Z/nZ et quelques propriétés 316 5.3.2 Corps Z/pZ et éléments inversibles de Z/nZ 318 Chapitre 6 Fonctions réelles ou complexes d’une variable réelle 320 6.1 Généralités sur les fonctions d’une variable réelle 321 6.1.1 Ensemble F(I,K) et relation d’ordre 321 6.1.2 Ensemble B(I,K) 322 6.1.3 Fonctions périodiques 324 6.1.4 Fonctions paires et fonctions impaires 326 6.1.5 Fonctions lipschitziennes 327 6.1.6 Fonctions monotones 329 6.2 étude locale d’une fonction 330 6.2.1 Voisinage d’un point 331 6.2.2 Limite d’une fonction en un point et continuité en un point 332 6.2.3 Opérations algébriques sur les limites 343 6.2.4 Compatibilité du passage à la limite avec la relation d’ordre dans R 349 6.2.5 Composition de limites et caractérisation séquentielle de la limite 356 6.2.6 Théorème de la limite monotone 362 6.3 Relations de comparaisons 365 6.3.1 Fonctions dominées et fonctions négligeables par rapport à une autre au voisinage d’un point 365 6.3.2 Comparaison des fonctions usuelles 373 6.3.3 Fonctions équivalentes en un point 373 6.3.4 équivalents usuels 378 6.4 Continuité globale 382 6.4.1 Définition et premières propriétés 382 6.4.2 Composée de deux fonctions continues 384 6.4.3 Restriction et caractère local de la continuité 385 6.4.4 Prolongement par continuité 386 6.4.5 Théorème des valeurs intermédiaires 388 6.4.6 Image d’un segment par une fonction continue 392 6.4.7 Continuité de la bijection réciproque 394 6.4.8 Continuité uniforme et théorème de Heine 395 6.5 Bilan sur les différences entre fonctions à valeurs réelles ou complexes 400 6.6 Exercices 402 Chapitre 7 Polyn.mes et fractions rationnelles 408 7.1 Ensemble K[X] 409 7.1.1 Algèbres et morphisme d’algèbres 409 7.1.2 Définition d’un polyn.me 413 7.1.3 Opérations usuelles sur les polyn.mes 414 7.1.4 Dérivation sur l’ensemble des polyn.mes 421 7.2 Degré d’un polyn.me 424 7.2.1 Définition 424 7.2.2 Propriétés du degré 425 7.2.3 Conséquences fondamentales 427 7.3 Arithmétique dans K[X] 428 7.3.1 Divisibilité dans K[X] 428 7.3.2 Division euclidienne dans K[X] 432 7.3.3 Idéaux de K[X] 436 7.3.4 Polyn.mes premiers entre eux 438 7.3.5 Théorème de Bézout et théorème de Gauss 441 7.4 Racines d’un polyn.me 443 7.4.1 Fonction polynomiale associée à un polyn.me 443 7.4.2 Racines d’un polyn.me 444 7.4.3 Formule de Taylor et multiplicité d’une racine 446 7.4.4 Méthodes pour montrer que deux polyn.mes sont égaux 450 7.4.5 Polyn.mes scindés et relations entre racines et coefficients 451 7.5 Polyn.mes irréductibles et factorisation 453 7.5.1 éléments irréductibles dans C[X] 454 7.5.2 éléments irréductibles dans R[X] 455 7.6 Ensemble K(X) 457 7.6.1 Corps des fractions rationnelles K(X) 457 7.6.2 Dérivation et degré 458 7.6.3 Zéros et poles d’une fraction rationnelle 460 7.6.4 Décomposition en éléments simples 461 7.7 Exercices 463
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