Table des matières 序 i 前言 iii Préface et remerciements v Chapitre 1 équations différentielles 1 1.1 Généralités sur les équations différentielles 2 1.2 Rappels et compléments sur les équations différentielles linéaires 4 1.2.1 Définition d’une équation différentielle linéaire, théorème de Cauchy- Lipschitz linéaire 4 1.2.2 Wronskien et méthode de variation des constantes 6 1.2.3 équations différentielles linéaires à coefficients constants 14 1.2.4 Exemples de résolution d’équations différentielles 14 1.2.4.a équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1 14 1.2.4.b équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 2 16 1.2.4.c Systèmes différentiels 21 1.3 équations différentielles non linéaires 23 1.3.1 Théorème de Cauchy-Lipschitz non linéaire et conséquences 23 1.3.2 Cas particulier des équations à variables séparées 26 1.3.3 Exemples d’équations différentielles se ramenant à une équation différentielle linéaire 27 1.3.4 équations autonomes 27 1.3.5 Exemples d’études “qualitatives” 30 1.4 Annexe 33 1.4.1 Démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire 33 Chapitre 2 Intégration 39 2.1 Intégration des fonctions positives 40 2.1.1 Fonction positive intégrable et intégrale d’une fonction positive 40 2.1.2 Propriétés de l’intégrale 41 2.1.3 Lien avec la convergence de l’intégrale généralisée 47 2.1.4 Exemples de référence 50 2.1.5 Critères d’intégrabilité pour les fonctions positives 51 2.1.6 Intégration des relations de comparaisons 55 2.2 Intégration des fonctions à valeurs réelles ou complexes 59 2.2.1 Définition de l’intégrabilité et de l’intégrale 59 2.2.2 Propriétés de l’intégrale 63 2.2.3 Espaces L1(I) et L2(I) 65 2.2.4 Intégration des relations de comparaisons 69 2.3 Outils pour prouver l’intégrabilité et/ou calculer une intégrale 72 2.3.1 Critères simples 72 2.3.2 Domination 74 2.3.3 Intégration par parties 74 2.3.4 Changement de variable 75 2.3.5 Comparaison série et intégrale 79 2.4 Suites de fonctions et intégrales 81 2.4.1 Exposé du problème 81 2.4.2 Cas où l’intervalle est un segment 81 2.4.3 Théorème de convergence monotone et théorème de Beppo-Levi 82 2.4.4 Théorème de convergence dominée de Lebesgue 84 2.4.5 Intégration d’une série de fonctions sur un intervalle quelconque 85 2.5 Intégrales à paramètre 86 2.5.1 Notion de domination et principe des démonstrations 86 2.5.2 Continuité et dérivabilité d’une intégrale à paramètre 87 2.5.3 Fonction . d’Euler 99 2.6 Intégration des fonctions de deux variables 104 2.6.1 Théorème de Fubini sur un produit de deux segments 104 2.6.2 Intégration des fonctions positives sur un pavé quelconque 106 2.6.3 Intégration des fonctions à valeurs réelles ou complexes sur un pavé quelconque 108 2.6.4 Théorèmes de Fubini 109 2.6.5 Exemples de calculs d’intégrales doubles 113 2.6.6 Changement de variable dans les intégrales doubles 114 Chapitre 3 Probabilités 116 3.1 Notion de tribu et définition d’une mesure de probabilité (rappels) 117 3.1.1 Tribus et propriétés des tribus 117 3.1.2 Mesure de probabilité 121 3.2 Variable aléatoire réelle, fonction de répartition et loi de probabilité 125 3.2.1 Variables aléatoires réelles 125 3.2.2 Fonction de répartition et loi d’une variable aléatoire réelle 128 3.3 Variable aléatoire réelle à densité 132 3.3.1 Définition et exemples 132 3.3.2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire à densité et premier théorème de transfert 133 3.3.3 Espérance, propriétés de l’espérance et second théorème de transfert 139 3.3.4 Variance et écart-type 142 3.3.5 Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev 145 3.4 Lois de probabilités continues usuelles 147 3.4.1 Loi uniforme 147 3.4.2 Loi exponentielle 148 3.4.3 Lois normales 151 3.4.4 Variable aléatoire de loi Gamma 156 3.5 Indépendance 159 3.5.1 Rappels des principales définitions et propriétés concernant l’indépendance 159 3.5.2 Densité de la somme de deux variables aléatoires indépendantes et à densité 163 3.6 Convergences 169 3.6.1 Convergence presque s.re et convergence en probabilité 169 3.6.2 Loi des grands nombres 174 3.6.3 Convergence en loi 177 3.6.4 Comparaison des différents modes de convergence 179 3.6.5 Théorème “central limit” ou de la limite centrée 182 3.6.6 Approximation de variables aléatoires discrètes 182 Chapitre 4 Séries entières et introduction à l’analyse complexe 190 4.1 Dérivation des fonctions d’une variable complexe 191 4.1.1 Définition et exemples 191 4.1.2 Lien entre C-dérivabilité et R2-différentiabilité, conditions de Cauchy- Riemann 194 4.1.3 Fonctions holomorphes et opérations sur les fonctions C-dérivables 197 4.2 Définition d’une série entière et du rayon de convergence 200 4.2.1 Définition d’une série entière et opérations sur les séries entières 200 4.2.2 Rayon de convergence 201 4.2.3 Calcul pratique du rayon de convergence 203 4.2.4 Opérations sur les séries entières et rayon de convergence 205 4.3 Propriétés de la somme d’une série entière 207 4.3.1 Somme d’une série entière et disque ouvert de convergence 207 4.3.2 Intégration et dérivation d’une série entière 208 4.4 Développement en série entière 217 4.4.1 Définition et lien avec la série de Taylor 217 4.4.2 Développements en série entière usuels 220 4.4.3 Autres méthodes de développement en série entière 223 4.4.4 Lien entre séries entières et séries de Fourier 224 4.4.5 Application à la recherche de solutions d’équations différentielles 224 4.4.6 Fonctions analytiques 225 4.5 Fonctions holomorphes et calculs d’intégrales 227 4.5.1 Intégration d’une fonction continue sur un chemin 227 4.5.2 Indice d’un point par rapport à un chemin 229 4.5.3 Théorème de Cauchy sur un ouvert convexe 232 4.5.4 Analycité des fonctions holomorphes 233 4.5.5 Principe des zéros isolés 234 4.5.6 Théorème des résidus 238 4.5.7 Exemples de calculs d’intégrales à l’aide de l’analyse complexe 243 4.5.8 Outils permettant de négliger certaines parties dans le calcul d’une intégrale sur un chemin fermé 249 4.5.9 Compléments : logarithmes complexes 255 Chapitre 5 Espaces préhilbertiens 265 5.1 Espaces préhilbertiens réels 266 5.1.1 Formes bilinéaires et formes bilinéaires symétriques 266 5.1.2 Produit scalaire sur un R-espace vectoriel 269 5.1.3 Identités remarquables 270 5.2 Espaces préhilbertiens complexes 273 5.2.1 Formes sesquilinéaires 273 5.2.2 Produit hermitien 277 5.2.3 Identités remarquables 278 5.3 Orthogonalité dans un espace préhilbertien 281 5.3.1 Définitions 281 5.3.2 Propriétés 283 5.3.3 Sommes directes orthogonales 285 5.3.4 Procédé d’orthonormalisation de Schmidt 288 5.3.5 Existence de bases orthonormées en dimension finie et projection sur un sous-espace de dimension finie 292 5.3.6 Espaces euclidiens et espaces hermitiens 295 5.4 Adjoint d’un endomorphisme d’un espace préhilbertien 297 5.4.1 Définition 297 5.4.2 Propriétés de l’adjoint 298 5.4.3 Cas de la dimension finie 299 5.5 Endomorphismes remarquables d’un espace euclidien ou hermitien 302 5.5.1 Endomorphismes symétriques ou auto-adjoints 302 5.5.2 Endomorphisme orthogonal ou unitaire 303 5.5.2.a Définitions et premières propriétés 303 5.5.2.b Caractérisation des endomorphismes unitaires (ou orthogonaux) 306 5.5.3 Matrices orthogonales ou unitaires 307 5.5.4 Caractérisation matricielle des opérateurs autoadjoints 312 5.5.5 Théorème fondamental : réduction des opérateurs auto-adjoints en dimension finie 313 5.6 Réduction des matrices symétriques réelles ou hermitiennes 316 5.6.1 Théorème fondamental 316 5.6.2 Endomorphismes ou matrices symétriques (ou hermitiennes) positives, définies positives 316 Chapitre 6 Séries de Fourier 321 6.1 Cadre pour la théorie des séries de Fourier 322 6.1.1 Espace préhilbertien D 322 6.1.2 Conséquences de la structure préhilbertienne 325 6.1.3 Application de l’inégalité aux fonctions holomorphes 327 6.1.4 Polyn.mes trigonométriques et approximation de fonctions par des polyn.mes trigonométriques 328 6.1.5 Fonctions régularisées 330 6.2 Coefficients de Fourier et série de Fourier associée à une fonction 332 6.2.1 Définition des coefficients de Fourier et de la série de Fourier 332 6.2.2 Propriétés des coefficients de Fourier 336 6.3 Convergence de la série de Fourier 341 6.3.1 Convergence en moyenne quadratique (ou dans D) 342 6.3.2 Convergence normale 345 6.3.3 Convergence simple 351 6.4 Brève extension au cas des fonctions T-périodiques 352 6.5 Annexe 353 6.5.1 Démonstrations des théorèmes d’approximations 353 6.5.2 Démonstration du théorème de Dirichlet 358
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