本书依据教育部高等学校数学类专业教学指导委员会关于数学基础课程的教学基本要求而编写. 全书共分六章: Lebesgue测度、Lebesgue可测函数与Lebesgue积分、度量空间、赋范线性空间及其线性算子、Hilbert空间及其线性算子、泛函分析的一些应用. 全书选材适当、结构合理, 侧重介绍实变函数与泛函分析的基础知识与方法, 例题和习题丰富, 每节均配置了习题, 大部分习题难易程度适中, 侧重于对所学知识和方法的理解与运用, 部分习题可开阔视野, 是对正文内容的补充. 书后附有习题答案与提示, 便于读者自学与检测学习效果.
样章试读
目录
- 第1章 Lebesgue测度 1
1.1 集合与实数集 1
1.1.1 集合及其运算 1
1.1.2 映射 3
1.1.3 可数集与不可数集 6
1.1.4 中的拓扑 10
习题1.1 16
1.2 Lebesgue测度与可测集 17
1.2.1 Lebesgue外测度 17
1.2.2 Lebesgue测度的定义及性质 20
1.2.3 Lebesgue可测集 23
习题1.2 28
1.3 Lebesgue不可测集 29
1.3.1 Lebesgue测度的平移不变性 29
1.3.2 Lebesgue不可测集的例 31
习题1.3 32
第2章 Lebesgue可测函数与Lebesgue积分 34
2.1 可测函数 34
2.1.1 可测函数的定义及其性质 34
2.1.2 可测函数列的收敛 38
2.1.3 可测函数与连续函数的关系 41
习题2.1 43
2.2 Lebesgue积分 43
2.2.1 Lebesgue积分的定义 43
2.2.2 Lebesgue积分的性质 48
2.2.3 函数序列积分的收敛定理 53
2.2.4 重积分与累次积分的关系 59
习题2.2 65
2.3 微分与不定积分 66
2.3.1 单调函数与有界变差函数 66
2.3.2 不定积分 72
2.3.3 绝对连续函数 74
2.3.4 积分的变量代换 78
习题2.3 84
第3章 度量空间 86
3.1 度量空间的定义与拓扑性质 86
3.1.1 度量空间的定义 86
3.1.2 开集、闭集与邻域 90
3.1.3 度量空间中点列的收敛性 92
3.1.4 映射的连续与一致连续性 95
习题3.1 98
3.2 完备性 99
3.2.1 完备性概念 99
3.2.2 常见的完备空间 101
3.2.3 完备性等价命题 度量空间的完备化 103
习题3.2 105
3.3 紧性与列紧性 106
3.3.1 紧性 106
3.3.2 列紧性与全有界性 108
3.3.3 紧集上连续泛函的性质 113
习题3.3 114
3.4 可分性 114
3.4.1 可分性概念 115
3.4.2 常见的可分空间 117
习题3.4 119
第4章 赋范线性空间及其线性算子 120
4.1 赋范线性空间与Banach空间 120
4.1.1 线性空间、线性算子与线性泛函 120
4.1.2 赋范线性空间与Banach空间的定义 124
4.1.3 赋范线性空间的基本性质 126
4.1.4 有限维赋范线性空间的性质与特征 128
习题4.1 132
4.2 有界线性算子 133
4.2.1 有界线性算子及其范数 134
4.2.2 有界线性算子的空间 140
4.2.3 紧算子 142
习题4.2 145
4.3 有界线性泛函 146
4.3.1 有界线性泛函与共轭空间 146
4.3.2 某些具体空间上有界线性泛函的表示 148
习题4.3 151
4.4 泛函分析的几个基本定理简介 152
4.4.1 Hahn-Banach保范延拓定理及其重要推论 152
4.4.2 共鸣定理 154
4.4.3 Banach逆算子定理 155
4.4.4 闭图像定理 157
习题4.4 158
4.5 共轭空间与Banach伴随算子 159
4.5.1 二次共轭空间与自反空间 159
4.5.2 Banach伴随算子及其性质 160
习题4.5 163
4.6 弱收敛与弱*收敛 163
4.6.1 点列的强收敛与弱收敛 163
4.6.2 泛函序列的强收敛与弱*收敛 165
习题4.6 167
4.7 有界线性算子谱理论初步 167
4.7.1 谱的概念及基本性质 167
4.7.2 Riesz-Schauder理论简介 173
习题4.7 175
第5章 Hilbert空间及其线性算子 176
5.1 Hilbert空间的几何学 176
5.1.1 定义与基本性质 176
5.1.2 正交分解与投影定理 181
5.1.3 内积空间中的正交系 184
5.1.4 可分Hilbert空间的模型 189
习题5.1 190
5.2 Hilbert空间上的有界线性泛函 191
习题5.2 193
5.3 Hilbert伴随算子和自伴算子 194
5.3.1 Hilbert伴随算子 194
5.3.2 自伴算子 197
习题5.3 199
5.4 Hilbert空间上的几种算子 200
5.4.1 投影算子 200
5.4.2 酉算子 202
5.4.3 正常算子 204
习题5.4 206
5.5 Hilbert空间上自伴算子的谱性质 206
习题5.5 213
第6章 泛函分析的一些应用 214
6.1 Banach压缩映射原理及其应用 214
6.1.1 Banach压缩映射原理 214
6.1.2 应用举例 216
习题6.1 222
6.2 不动点定理及其应用 223
6.2.1 Brouwer与Schauder不动点定理 223
6.2.2 应用举例 224
习题6.2 229
6.3 最佳逼近与投影定理的应用 230
6.3.1 最佳逼近的存在性与唯一性 230
6.3.2 C[a, b]中最佳逼近的唯一性与Chebyshev多项式 233
6.3.3 最佳多项式平方逼近 235
6.3.4 最小二乘解 237
习题6.3 238
6.4 泛函最优化问题与最优控制 239
6.4.1 Fréchet微分与Gateaux微分 239
6.4.2 泛函的极值 242
6.4.3 有约束泛函优化的Lagrange乘数法 243
6.4.4 连续时间系统最优控制的极小值原理 245
习题6.4 253
参考文献 254
习题答案与提示 25
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