数学是中国古代最为发达的基础科学学科之一，约公元前3世纪至公元14世纪初领先于世界先进水平。中国传统数学是当时世界数学发展的主流。中国传统数学的思想和方法既可用于现今的中小学数学教学，也对当前的数学研究有某些启迪作用。
本书根据对原始文献的深刻研究，以重新划分的中国数学发展各阶段为序，试图系统论述远古至清末中国数学的主要成就、思想、理论贡献以及重要的数学典籍、杰出的数学家，并探讨其产生的社会经济、政治、思想和文化背景，是对截止到21世纪初中国数学史研究成果的最新全面总结。
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总序 卢嘉锡 i
前言 iii
第一编中国数学从兴起到形成一门学科——原始社会到西周时期的数学
第一章 中国数学的兴起——原始社会的数学 3
第一节 图形观念的形成 3
一图形观念的产生 3
二从方位观念看图形观念 5
三原始的作图工具一规矩准绳 6
第二节 数概念的形成与原始的记数方法 7
一数概念的产生 7
二原始的记数方法 8
第三节 传说中的数学人物 12
一伏義 12
二黄帝和隶首 12
三尧、舜、禹和倕 13
第四节 从原始社会晚期的社会结构看当时数学的发展 14
第二章 数学形成一门学科——夏、商、西周三代的数学 16
第一节 十进位值制记数法的形成 16
一甲骨文和金文中的数字 16
二十进位值制记数法 21
第二节 数学成为一门学科 22
一社会管理和工作的需要与数学的发展 22
二数学进人教学科目 24
三商高及其所掌握的数学知识 24
第二编中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学
第三章 春秋至汉代数学概论 29
第一节 春秋战国秦汉数学与社会及文化背景 29
一春秋战国数学与社会及文化背景 29
二秦汉数学与社会及文化背景 30
第二节 算法式数学在春秋战国时期达到高峰 32
一整数四则运算在春秋时期的普及 32
二分数、比和比例的广泛使用 36
三从先秦文献看春秋战国时代的算法化数学一“九数” 38
四先秦时期的其他数学知识 44
第三节 理论思辨倾向一春秋战国数学的新动向 49
一墨家与数学 50
二名家的数学思想 59
三先秦道家等学派的无限思想 63
四春秋战国时期的理性思辨与数学 64
第四节 秦简《数》与汉简《算数书》 65
一秦简《数》 65
二《算数书》的体例、表达方式及特点 66
三《算数书》的编纂 71
四《算数书》的内容及其在中国数学史上的地位 72
第五节 《周碑算经》和陈子 73
一《周髀算经》 73
二陈子 76
第六节 《九章算术》和张苍、耿寿昌 77
一《九章算术》的内容 77
二《九章算术》的体例和编纂 77
三《算数书》与《九章算术》 84
四《九章算术》的特点与弱点及其在世界数学史上的地位 86
五《九章算术》的版本 87
六张苍和耿寿昌 93
第七节 其他数学家和数学著作 95
一许商和《许商算术》、《杜忠算术》 95
二尹咸和刘歆 95
三张衡和马续 96
第四章 分数、率与盈不足 98
第一节 分数及其四则运算法则 98
一分数及其表示 98
二分数四则运算法则 99
第二节 今有术与衰分术、均输术 106
一今有术 106
二衰分术 108
三均输术 111
第三节 盈不足术 112
一盈不足诸术 113
二盈不足术在一般数学问题中的应用 115
第五章 面积、体积、勾股与测望 119
第一节 面积 119
一直线形面积 119
二曲线形面积 121
三圆方与方圆 123
四曲面形面积 124
第二节 体积 125
一多面体体积 125
二 圆体体积 135
第三节 勾股定理与解勾股形 137
一 勾股定理 137
二 解勾股形 138
三勾股数组 140
第四节 勾股容方、容圆 142
一勾股容方 142
二勾股容圆 142
第五节 测望 142
一一次测望 143
二重差的萌芽 143
第六章 开方术、正负术、方程术与数列 145
第一节 开方术 145
一开平方术 146
二开立方术 149
第二节 方程术与正负术 151
一方程和方程术 151
二损益术 154
三正负术 156
第三节 数列 160
第三编中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶的数学
第七章 东汉末至唐中叶数学概论 165
第一节 汉末魏晋开始的社会变革与汉末至唐中叶的数学 165
一汉末魏晋的社会变革与传统数学理论的奠基 165
二南北朝的社会与数学 170
三隋至唐中叶的社会与数学 171
第二节 徐岳《数术记遗》和赵爽《周髀算经注》 172
一刘洪、徐岳与《数术记遗》 172
二赵爽与《周髀算经注》 177
第三节 刘徽与《九章算术注》、《海岛算经》 178
一刘徽 178
二《九章算术注》 180
三《海岛算经》 183
第四节 南北朝的数学著作和数学家 184
一关于《九章算术》的研究 184
二《孙子算经》 185
三《夏侯阳算经》 188
四《张丘建算经》 189
五祖冲之、祖？之与《缀术》 191
六甄鸾及其数学著作 194
七其他数学家 198
第五节 隋至唐中叶的数学著作和数学家 200
一刘焯 200
二王孝通与《缉古算经》 201
三李淳风等整理十部算经 203
四一行与《大衍历》 205
五边冈 206
第六节 隋唐算学馆和明算科 206
一算学馆 206
二明算科 207
第七节 大数进法和改进计算工具的尝试 208
一大数进法 208
二改进计算工具的尝试 209
第八章 率与齐同原理 210
第一节 率的定义和性质 210
一率的定义 210
二率的求法和性质 210
第二节 今有术的推广与齐同原理 211
一今有术的推广 211
二齐同原理 213
第三节 算术趣题和最小公倍数 216
一算术趣题 217
二直接求解数学难题 218
三最大公约数与最小公倍数的应用 219
第九章 勾股、测望和重差 220
第一节 解勾股形诸公式的证明 220
一赵爽、刘徽对勾股定理的证明 220
二赵爽、刘徽对解勾股形诸公式的证明 221
三刘徽对勾股数组公式的证明 226
四王孝通对解勾股形问题的拓展 226
第二节 勾股容方、容圆公式的证明 228
一借助出入相补原理的证明 228
二借助勾股相与之势不失本率原理的证明 229
第三节 重差术 230
一重差诸术 230
二制图六体与数学 234
第四节 其他测望问题 235
一《张丘建算经》中的测望问题 235
二《数术记遗注》中的测望问题 236
第十章 开方术、方程术的改进、不定问题和数列 238
第一节 开方术的几何解释和改进 238
一刘徽关于开方术的几何解释 238
二刘徽和王孝通关于开方式的造术 240
三开方术的改进 242
四刘徽“求微数”与根的近似值 245
五祖冲之的开差幂和开差立 246
六一行的求根公式 247
第二节 方程术的进展 247
一刘徽的方程术理论 247
二互乘相消法 248
三方程新术 249
四《孙子算经》和《张丘建算经》中的方程术 251
第三节 不定问题 253
一五家共井 253
二物不知数问题 254
三百鸡术 255
第四节 等差数列和等比数列 256
一等差数列 256
二等比数列 258
第十一章 无穷小分割和极限思想 259
第一节 割圆术 259
第二节 刘徽原理 260
第三节 祖暅之原理与圆体体积 263
一祖暅之原理 263
二牟合方盖与球体积 265
第四节 极限思想在近似计算中的应用 267
一圆周率 267
二 圆率和方率 271
三弧田密率 271
第五节 刘徽的面积、体积的推导系统 273
一刘徽的面积推导系统 273
二对多面体体积公式的证明 275
三刘徽的体积推导系统 279
第六节 刘徽的极限思想在数学史上的地位 281
一刘徽的无穷小分割思想 与先秦墨家、名家、道家 281
二刘徽的极限和无穷 小分割思想与古希脂的比较 282
第十二章 刘徽的逻辑思想和数学理论体系 284
第一节 刘徽的都与理、类、故 284
一 理 284
二类 285
三故 285
第二节 定义 286
第三节 类比和归纳 287
一类比 287
二归纳推理 287
第四节 刘徽的演绎推理 288
一三段论和关系推理 289
二假言推理、选言推理、联言推理和二难推理 290
三数学归纳法的雏形 292
第五节 数学证明 293
一综合法 293
二分析法 与综合法相结合 294
三反驳及刘徽的失误 294
第六节 刘徽的数学理论体系 295
第十三章 隋唐历法中的数学方法 298
第一节 隋唐历法的创造性转变 298
一张子信的发现及共意义 298
二隋唐历法计算结构的数学化 299
第二节 二次内捕算法 300
一《皇极历》 300
二刘焯二次内插算法及其算理分析 301
三唐代历法对二次内插算法的改进与发展 304
四相减相乘法 307
第三节 隋唐历法中若干典型数学方法 309
一刘焯《皇极历》定朔算法 309
二李淳凤《麟德历》暑影算法 313
三一行《大衍历》的九服器影算法 316
四边冈《崇玄历》对黄赤道差与月亮黄纬的计算 317
第十四章 隋唐时期中国和朝鲜、日本、印度的数学交流 322
第一节 中国和朝鲜的数学交流 322
第二节 中国和日 本的数学交流 324
一中国历算传入日本 324
二早期算学教育制度的引进 326
三隋唐时期传入日本的中算书与日本古代算学内容的遗存 329
第三节 中国和印度的数学交流 334
一印度数学传入中国 334
二中国数学对印度的影响 338
第四编中国传统数学的髙潮——唐中叶至元中叶的数学
第十五章 唐中叶至元中叶数学概论 341
第一节 传统数学的高潮与唐中叶开始的社会变革 341
一唐中叶开始的社会变革和数学的发展 341
二思想宽松是数学发展的必要条件 342
三社会需要是数学发展的强大动力 343
四宋元统治者重视数学 344
五宋元数学的特点 348
第二节 传本《夏侯阳算经》 351
一传本《夏侯阳算经》的年代与内容 351
二《夏侯阳算经》的版本 353
第三节 贾宪和《黄帝九章 算经细草》 354
一贾宪和他的老师楚衍 354
二《黄帝九章 算经细草》大部存世考 355
三《黄帝九章 算经细草》的数学成就和数学思想 357
第四节 刘益和《议古根源》 358
一刘益 358
二《议古根源》 358
第五节 秦九韶和《数书九章 》 359
一秦九韶的生平 360
二秦九韶人品辨 361
三《数书九章 》 363
第六节 李冶和《测圆海镜》、《益古演段》 364
一李冶 364
二洞渊九容和《测圆海镜》 367
三《益古集》和《益古演段》 370
第七节 杨辉和《详解九章 算法》、《杨辉算法》 372
一杨辉 372
二《详解九章 算法》 374
三《日用算法》和《杨辉算法》 375
第八节 朱世杰和《算学启蒙》、《四元玉鉴》 379
一朱世杰 379
二《算学启蒙》 379
三《四元玉鉴》 380
第九节 其他数学家和数学著作 382
一李籍和《九章算术音义》、《周髀算经音义》 382
二《谢察微算胫》 384
三沈括和《梦溪笔谈》的数学成就 384
四王恂、郭守敬和《授时历草》 386
五赵友钦和《革象新书》 388
六沙克什和《河防通议？算法门》 389
第十六章 计算技术的改进和珠算的发明 394
第一节 〇和十进小数 394
一〇和数码 394
二十进小数 396
第二节 计算技术的改进 400
一重因法、以加减代乘除与求一法 401
二留头乘法与九归、归除 404
第三节 珠算的产生 40
一珠算产生诸说 406
二珠算最迟产生于宋代 408
第十七章 勾股容圆和割圆术 409
第一节 勾股容圆 409
一洞渊九容 409
二圆城图式 411
三识别杂记 41
第二节 割圆术 417
一沈括的会圈术 417
二《授时历》的弧矢割圆术 417
三赵友钦的割圆术 419
第十八章 高次方程数值解法与天元术、四元术 422
第一节 高次方程数值解法 422
一立成释锁法 422
二贾宪三角 422
三增乘开方法 424
四益积术和减纵术 426
五正负开方术 427
第二节 天元术 435
一天元术的历史 435
二天元术的完善和应用 444
第三节 四元术 447
四元术的历史发展 447
二四元消祛 448
三二元术 449
四 三元术 451
五四元术 454
第十九章 垛积术、招差术 457
第一节 垛积术 457
一隙积术 457
二垛积术 458
第二节 招差术 463
一《授时历》的招差术 463
二《四元玉鉴》的招差术 465
第二十章 大衍总数术与纵横图 469
一大衍总术 469
一大衍总数术的由来 469
二大衍总数术 470
第二节 纵横图 490
一河图、洛书与纵横图 490
二杨辉等的纵横图 492
三丁易东的纵横图 496
第二十一章 唐中叶至元的中外数学交流 500
第一节 中外数学交流概况 500
一9世纪之后伊斯兰地区的数学发展概况 500
二宋元时期中国与伊斯兰国家的数学交流 501
第二节 中国数学的外传 503
一中国数学对伊斯兰国家的影响 503
二中国数学对朝鲜和日本的影响 506
第三节 伊斯兰国家数学的传人 506
一数学著作的传人 506
二阿拉伯数码与纵横图 507
三土盘算法及格子算 510
第五编传统数学主流的转变与珠算的发展——元中叶至明末数学
第二十二章 元中叶至明末数学概论 513
第一节 明代数学的社会背景 513
第二节 古算著作与成果在明代的失传 515
一《永乐大典？算》与明初朝廷收藏的数学著作 515
二古算书的失传 517
三数学成果的失传 518
第三节 明代数学主流的转变 520
一明代数学著作概况 520
二明代数学的主流及杨辉的影响 522
第二十三章 元中叶至明末的主要数学家和数学著作 525
第一节 元中后期的数学家和数学著作 525
一《透帘细草》 525
二丁巨及其《丁巨算法》 526
三贾亨的《算法全能集》 528
四《详明算法》 529
第二节 明初的数学家和数学著作 530
一严恭及其《通原算法》 530
二刘仕隆及其《九章 通明算法》 531
三夏源泽的《指明算法》 533
四其他算书 533
第三节 筹珠并用的数学家和数学著作 534
一吴敬及其《九章算法比类大全》 534
二王文素及其《算学宝鉴》 536
三其他算书 540
第四节 理论数学研究的余绪 542
一唐顺之及其《数论》六篇 542
二顾应祥及其四部数学著作 543
三周述学及其《历宗算会》 547
四朱载堉及其《算学新说》和《嘉量算经》 550
第五节 珠算数学家和数学著作 552
一《算法统宗》以前的珠算著作 552
二程大位及其《算法统宗》和《算法纂要》 558
三其他珠算著作 561
第二十四章 数学的歌诀化与珠算的普及 562
第一节 数学的实用化与歌诀化 562
一数学的实用化、大众化与商业化 562
二数学的歌诀化 563
三元末以来的数学歌诀化算题 564
第二节 明代数学中的各种“杂法” 566
第三节 珠算的发展与普及 568
一元明时代几项珠算史料所反映的情况 568
二数学著作中对珠算的反映 569
三珠算的普及与筹算的消失 570
第二十五章 明代的若干数学工作 573
第一节 开方及方程的数值解法 573
一元中后期的增乘开方法 573
二《通原算法》的开方法 574
三吴敬、王文素等的开方法 575
四珠算开方法 577
五开带从方法 578
第二节 一次同余方程组与不定方程 580
一一次同余方程组的解法 580
二不定方程问题 584
第三节 勾股术、测圆术与弧矢术 587
一输术 587
二测圆术 589
三弧矢术 590
第四节 纵横图 593
第五节 九进位制与十进位制的小数换算 598
第二十六章 中国数学在朝鲜和日本的传播与影响 600
第一节 中国数学外传朝鲜半岛及其影响 600
一中国数学在李氏朝鲜初期的流传与影响 600
二17世纪朝鲜对中国历算著作的引进 601
三宋元明数学著作的流传与影响 602
第二节 中国数学在日本的传播与影响 605
一珠算与明代数学著作在日本的传播 605
二宋元数学著作在日本的传播 607
三宋元明著作对日本数学的影响 608
第三节 其他交流 609
第六编西方数学的传人与中西数学的会通——明末至清末的数学
第二十七章 明末清初西方数学的传人与清初的研究 613
第一节 明末西方数学的传人 613
一西方数学著作的编译 613
二《崇祯历书》中的数学 618
第二节 王锡阐与薛凤祚的数学工作 621
一王锡阐及其《圜解》 621
二薛凤祚及其《比例对数表》等著作 624
第三节 梅文鼎及其数学研究 627
一梅文鼎 627
二数学著作的内容概述 627
三立体几何与球面三角方面的创见 631
第四节 其他数学家的工作 637
一方中通及其《数度衍》 637
二李子金的数学工作 640
三陈厚耀对排列组合的研究 641
四陈世仁及其《少广补遗》 643
第二十八章 清初西方数学的传人 647
第一节 康熙帝与西方数学的再次传入 647
一康熙的数学学习 647
二安多和《算法纂要总纲》的编纂 649
第二节 《数理精蕴》 655
一蒙养斋算学馆与《数理精蕴》的编纂 655
二《数理精蕴》的内容及其西方数学来源 658
三《数理精蕴》的影响 667
第三节 西学中源说与康熙的数学地位 668
一借根方即天元术说 668
二康熙与符号代数传人的失败 669
三“西学中源”说及康熙的数学地位 670
第四节 康熙雍正时代传人的其他西方数学 671
一对数表的传人 671
二杜德美与杜氏三术 672
三年希尧《视学》与Pozzo原著的关系 673
第二十九章 清中叶传统数学著作的整理和研究 675
第一节 清中叶数学概述 675
一中国传统数学的复兴 675
二西方数学的研究与中、西数学知识的互动 676
第二节 传统数学著作的整理和校勘 678
一戴震与《四库全书》、《武英殿聚珍版丛书》中所收算书 678
二清中叶对汉唐算经的校勘与研究 682
三宋元数学书的传刻与研究 684
四《畴人传》及其续编 688
第三节 传统数学的研究与发展 692
一谈天三友和其他数学家 692
二方程论研究 694
三其他研究工作 706
第三十章 幂级数展开式的研究 729
第一节 明安图及其《割圜密率捷法》 729
一明安图 729
二《割圜密率捷法》 730
第二节 董祐诚、项名达、戴煦等的工作 731
一董祐诚及其《割圜连比例术图解》 731
二项名达及其《象数一原》 733
三戴煦及其《求表捷术》 735
第三节 李善兰及其尖锥术 738
一李善兰 738
二尖锥术 739
第四节 徐有壬、顾观光、邹伯奇等的研究工作 748
一徐有壬及其《割圆八线缀术》 748
二顾观光、邹伯奇的研究工作 750
第三十一章 清末西方数学的传入 753
第一节 清末西方数学传人概况 753
一李善兰的数学翻译工作 753
二华蘅芳及其数学翻译研究 754
第二节 几何、代数和三角学著作的翻译 757
一《几何原本》 757
二《代数学》和《代数术》 757
三《三角数理》及其他 758
第三节 微积分和概率论著作的翻译 759
一《代微积拾级》 759
二《微积溯源》 760
三其他有关微积分的著作 760
四《决疑数学》 761
第三十二章 清末数学研究 763
第一节 夏鸾翔、白芙堂诸子和其他数学家 763
一夏鸾翔及其数学著作 763
二白芙堂诸子及其数学著作 764
三刘彝程及其数学著作 767
四陈志坚、周达及其数学著作 769
第二节 数论的研究 771
一素数的研究 771
二整数勾股形的研究 772
三百鸡术和大衍总数术的研究 775
第三节 垛积术与招差术的研究 781
一李善兰的垛积术 781
二夏鸾翔的垛积招差研究 785
三刘彝程的垛积术研究 789
第四节 开方术的研究 792
一夏鸾翔对开方术的研究 792
二华蘅芳的数根开方术与积较开方术 794
第五节 对圆锥曲线和微积分的研究 798
一圆锥曲线作图 799
二二次曲线求积问题 800
三平圆容切与累圆 810
第三十三章 清末数学教育 817
第一节 清末数学教育概述 817
一数学教育的变革 817
二清末的数学教育观念 821
三清末的留学活动与数学留学生 822
第二节 晚清数学教育 824
一洋务学堂的数学教育 824
二书院的变革与数学教育 831
三教会学校的数学教科书 833
四癸卯学制的数学课程 834
第三节 数学丛书、数学社团与刊物 836
一数学丛书的编纂 836
二数学社团 837
三数学刊物 839
主要参考文献 843
后记 854
总跋 857
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