本书针对各类具有多尺度特性的问题给出简化数学处理方法(平均化和均匀化)，该方法可用于求解偏微分方程、随机微分方程、常微分方程以及Markov链。
全书共分三部分，第一部分为背景资料；第二部分为扰动展开，给出此类问题的共性；第三部分阐述了一些证明扰动方法的理论。每章结束部分的讨论和文献目录中均对本章的一些结论进行了推广和扩展，并附上参考文献。除第1章外，所有章节均提供相应练习。
样章试读
目录
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译者的话
第1章 引言 1
1.1 概述 1
1.2 启发例子 1
1.2.1 例Ⅰ：复合材料中的稳态热传导问题 1
1.2.2 例Ⅱ：对流扩散方程的均匀化 2
1.2.3 例Ⅲ：平均化、均匀化及动力系统 4
1.2.4 例Ⅳ：动力系统中降维 5
1.3 平均化对均匀化 6
1.3.1 线性系统的平均化 6
1.3.2 线性系统的均匀化 7
1.4 讨论和参考 9
第一部分 背景
第2章 分析 13
2.1 结构 13
2.2 记号 13
2.3 Banach空间和Hilbert空间 15
2.3.1 Banach空间 16
2.3.2 Hilbert空间 17
2.4 函数空间 18
2.4.1 连续函数空间 18
2.4.2 Lp空间 18
2.4.3 Sobolev空间 20
2.4.4 Banach空间值空间 22
2.4.5 周期函数的Sobolev空间 23
2.5 双尺度收敛 24
2.5.1 稳态问题的双尺度收敛 24
2.5.2 时变问题的双尺度收敛 27
2.6 Hilbert空间中的方程 28
2.6.1 Lax-Milgram定理 28
2.6.2 Fredholm性质 29
2.7 讨论和参考 30
2.8 练习 32
第3章 概率论和随机过程 34
3.1 格局 34
3.2 概率论、期望和条件期望 34
3.3 随机过程 37
3.4 鞅和随机积分 42
3.4.1 鞅 42
3.4.2 Ito随机积分 44
3.4.3 Stratonovich随机积分 45
3.5 概率测度的弱收敛 46
3.6 讨论和参考 50
3.7 练习 51
第4章 常微分方程 53
4.1 格局 53
4.2 存在性和唯一性 53
4.3 生成子 56
4.4 遍历性 59
4.5 讨论和参考 64
4.6 练习 65
第5章 Markov链 66
5.1 格局 66
5.2 离散时间Markov链 66
5.3 连续时间Markov链 67
5.4 生成子 69
5.5 存在唯一性 72
5.6 遍历性 73
5.7 讨论和参考 75
5.8 练习 76
第6章 随机微分方程 77
6.1 格局 77
6.2 存在唯一性 77
6.3 生成子 79
6.4 遍历性 84
6.5 讨论和参考 90
6.6 练习 91
第7章 偏微分方程 93
7.1 格局 93
7.2 椭圆型偏微分方程 93
7.2.1 Dirichlet问题 94
7.2.2 周期问题 96
7.2.3 Fredholm性质 96
7.2.4 极大值原理 102
7.3 抛物型偏微分方程 103
7.3.1 有界域 103
7.3.2 极大值原理 104
7.3.3 无界域：Cauchy问题 106
7.4 双曲偏微分方程 106
7.5 半群 109
7.6 讨论和参考 110
7.7 练习 111
第二部分 扰动展开
第8章 常微分方程的不变流形 115
8.1 引言 115
8.2 完全方程 115
8.3 简化方程 116
8.4 推导 117
8.5 应用 118
8.5.1 线性快速动力学 118
8.5.2 长时间动力学 118
8.5.3 中心流形 119
8.6 讨论和参考 120
8.7 练习 122
第9章 Markov链的平均化 123
9.1 引言 123
9.2 完全方程 123
9.3 简化方程 125
9.4 推导 125
9.5 应用 127
9.6 讨论和参考 128
9.7 练习 128
第10章 常微分方程和随机微分方程的平均化 130
10.1 引言 130
10.2 完全方程 130
10.3 简化方程 131
10.4 推导 131
10.5 确定性问题 132
10.6 应用 134
10.6.1 不对称积随机微分方程 134
10.6.2 Hamiltonian原理 135
10.7 讨论和参考 138
10.8 练习 139
第11章 常微分方程、随机微分方程的均匀化 141
11.1 引言 141
11.2 完全方程 141
11.3 简化方程 143
11.4 推导 144
11.5 简化方程的性质 146
11.6 确定性问题 146
11.7 应用 149
11.7.1 快速Ornstein-Uhlenbeck噪声 149
11.7.2 快速混沌噪声 152
11.7.3 Stratonovich修正 152
11.7.4 Stokes定理 154
11.7.5 Green-Kubo公式 156
11.7.6 非Ito，Stratonovich情形 157
11.7.7 Levy面积修正 159
11.8 讨论和参考 160
11.9 练习 163
第12章 椭圆型偏微分方程的均匀化 165
12.1 引言 165
12.2 完全方程 165
12.3 简化方程 166
12.4 推导 167
12.5 简化方程的性质 170
12.6 应用 172
12.6.1 一维情形 172
12.6.2 层状材料 174
12.7 讨论和参考 176
12.8 练习 180
第13章 抛物型偏微分方程的均匀化 183
13.1 引言 183
13.2 完全方程 183
13.3 简化方程 185
13.4 推导 186
13.5 简化方程的性质 187
13.6 应用 189
13.6.1 梯度向量场 189
13.6.2 无散场 194
13.7 随机微分方程的联系 200
13.8 讨论和参考 201
13.9 练习 203
第14章 线性双曲型和抛物型偏微分方程的平均化 206
14.1 引言 206
14.2 完全方程 206
14.3 简化方程 207
14.4 推导 208
14.5 运输方程：D=0 209
14.5.1 一维例子 210
14.5.2 无散度速度场 211
14.6 常微分方程和随机微分方程的联系 212
14.7 讨论和参考 214
14.8 练习 214
第三部分 理论
第15章 常微分方程的不变流形：收敛性定理 219
15.1 引言 219
15.2 定理 219
15.3 证明 221
15.4 讨论和参考 222
15.5 练习 223
第16章 Markov链的平均化：收敛性定理 224
16.1 引言 224
16.2 定理 224
16.3 证明 225
16.4 讨论和参考 226
16.5 练习 226
第17章 随机微分方程的平均化：收敛性定理 228
17.1 引言 228
17.2 定理 228
17.3 证明 229
17.4 讨论和参考 231
17.5 练习 232
第18章 随机微分方程的均匀化：收敛性定理 233
18.1 引言 233
18.2 定理 233
18.3 证明 235
18.4 讨论和参考 238
18.5 练习 239
第19章 椭圆型偏微分方程的均匀化：收敛性定理 240
19.1 引言 240
19.2 定理 240
19.3 证明：L2上的强收敛 241
19.4 证明：H1上的强收敛 245
19.5 讨论和参考 247
19.6 练习 248第20章 抛物型偏微分方程的均匀化：收敛性定理 250
20.1 引言 250
20.2 定理 250
20.3 证明 251
20.4 讨论和参考 254
20.5 练习 254
第21章 线性双曲方程和抛物型偏微分方程的平均化：收敛性定理 256
21.1 引言 256
21.2 定理 256
21.3 证明：D>0 257
21.4 证明：D=0 259
21.5 讨论和参考 261
21.6 练习 261
参考文献 263
《现代数学译丛》已出版书目 284
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