本书以有限群论和点集拓扑为基础，系统阐述微分流形的概念、性质，以及其上的各种微分运算和重要基本定理。结合典型Lie群与Lie代数，详细介绍二者的基本概念、相互关系、（余）伴随表示、Lie群对微分流形的作用、Lie群与Lie代数的分类。书中还细致讨论微分流形的同伦群、同调群、流形上的积分与deRham上同调群，以及vanEst同调群基础；深入分析主丛（标架丛)和矢量丛上的Ehresmann联络、Cartan结构方程、主丛的和乐群、切丛中的Koszul联络及其曲率与挠率。最后介绍现代微分几何学在分析力学中的重要应用。
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序
前言
第1章 有限群理论基础 1
1.1 群的基本概念 1
1.1.1 群的有关定义及实例 1
1.1.2 群的同构与同态 7
1.1.3 群直积 8
1.2 有限群的表示 9
1.2.1 群表示的定义 9
1.2.2 群代数与正则表示 12
1.2.3 可约表示和既约表示 14
1.3 群表示的基本定理 17
1.3.1 Schur引理 17
1.3.2 正交性定理 18
1.3.3 完备性定理 21
1.4 置换群 23
1.4.1 置换群概念及其性质 23
1.4.2 置换群与有限群的关系 29
第2章 拓扑学基础 31
2.1 拓扑空间的基本概念 31
2.1.1 拓扑空间的定义 31
2.1.2 闭包 内部 边界 33
2.2 连续映射与同胚映射 36
2.2.1 连续映射 36
2.2.2 同胚映射 38
2.3 子空间 积空间 商空间 39
2.3.1 拓扑空间的子空间 39
2.3.2 拓扑空间的积空间 40
2.3.3 拓扑空间的商空间 42
2.4 拓扑空间的性质 44
2.4.1 拓扑空间的连通性 44
2.4.2 拓扑空间的可数性 47
2.4.3 拓扑空间的分离性 48
2.4.4 拓扑空间的紧致性 50
第3章 微分流形 54
3.1 球极平面投影的坐标实现 54
3.2 流形的微分结构 57
3.2.1 R？上的C？-类映射 57
3.2.2 局部Euclid空间 57
3.2.3 C？-类微分流形 58
3.2.4 微分流形的性质 63
3.3 可微映射及其微分 64
3.3.1 可微映射 64
3.3.2 切矢量与映射的微分 67
3.3.3 特殊映射的微分 72
3.4 反函数定理与隐函数定理 75
3.4.1 映射的秩 75
3.4.2 反函数定理 75
3.4.3 隐函数定理 78
3.5 浸入子流形和嵌入子流形 80
第4章 切丛与余切丛的微分结构 82
4.1 微分流形的切丛 82
4.1.1 切丛的微分结构 82
4.1.2 切丛的丛结构 84
4.2 微分流形的余切丛 86
4.2.1 余切丛的微分结构 86
4.2.2 余切丛的丛结构 87
4.3 矢量场的 Lie括号 88
4.3.1 矢量场与微分方程 88
4.3.2 矢量场的 Lie括号及其几何意义 93
第5章 流形上的微分形式 96
5.1 张量与外代数 96
5.1.1 张量积 96
5.1.2 张量的反对称化 98
5.1.3 外代数 102
5.2 微分形式 107
5.2.1 微分 1-形式 107
5.2.2 高阶微分形式 108
5.2.3 体积形式 112
5.3 微分形式的外积运算 113
5.4 Hodge星算子 114
5.4.1 s-形式与(n？s)-矢量的对应 114
5.4.2 s-形式与s-矢量的对应 115
5.4.3 s-形式与(n？s)-形式的转换 116
5.5 Hodge 星算子的应用 120
5.5.1 三维Euclid空间基形式的 Hodge 星算子 120
5.5.2 电磁场张量的Hodge星算子 122
第6章 流形上的微分运算 124
6.1 外微分算子 124
6.2 外微分在矢量分析与场论中的应用 126
6.2.1 梯度、旋度和散度的外微分表示 126
6.2.2 Maxwell电磁场方程的外微分形式 128
6.3 矢量场与微分形式的内积 131
6.4 微分映射的拉回映射 134
6.4.1 拉回映射的定义及其性质 134
6.4.2 拉回映射的 Jacobi 矩阵表示 135
6.5 Lie导数 138
6.5.1 微分形式的Lie导数 138
6.5.2 矢量场的Lie导数 143
第7章 Poincaré引理和Frobenius可积性定理 149
7.1 Poincaré引理及其逆命题 149
7.1.1 Poincaré引理 149
7.1.2 同伦映射与空间的可缩性 151
7.1.3 Poincaré引理的逆命题及其简单应用 152
7.2 Frobenius可积性定理 156
7.2.1 问题的提出 156
7.2.2 可积性的矢量场表述 159
7.2.3 可积性的微分形式表述 163
7.2.4 流形的叶层结构与Carathéodory不可达性定理 167
7.3 Frobenius可积性定理在几何力学中的应用 169
7.3.1 Liouville可积系统的几何构造 169
7.3.2 非完整约束子流形上的分布 171
第8章 Lie群与Lie代数的基本概念 175
8.1 Lie群的定义与最简单实例 176
8.1.1 Lie群的定义 176
8.1.2 Lie群的线性表示 177
8.1.3 Lie群的最简单实例 178
8.2 Lie代数的定义与最简单实例 186
8.2.1 Lie代数的定义 186
8.2.2 Lie代数的最简单实例 187
8.2.3 高维非可交换 Lie代数 191
8.3 Lie群上的不变矢量场 191
8.3.1 左不变矢量场和右不变矢量场 191
8.3.2 左-右不变矢量场之间的关系 198
第9章 Lie群与Lie代数的基本关系 201
9.1 单参数Lie群与指数映射 201
9.1.1 单参数Lie群 201
9.1.2 指数映射及性质 203
9.2 Lie群同态与Lie子群 208
9.2.1 Lie群同态 208
9.2.2 Lie子群与Lie子代数 213
9.3 单连通Lie群 214
9.4 Maurer-Cartan结构方程 217
9.4.1 Lie代数作为Lie群上的可积分布 217
9.4.2 Lie群上的不变微分形式 218
9.4.3 Maurer-Cartan结构方程的导出 220
9.5 Maurer-Cartan形式在刚体定点转动中的应用 222
第10章 典型Lie群与Lie代数 226
10.1 一般线性群和特殊线性群 226
10.1.1 一般线性群 226
10.1.2 特殊线性群 227
10.2 正交群和特殊正交群 228
10.2.1 正交群 228
10.2.2 特殊正交群 228
10.3 辛矢量空间与辛群 232
10.3.1 有限维辛矢量空间 232
10.3.2 矢量空间的复结构 235
10.3.3 辛空间的三元结构 236
10.3.4 复矢量空间上的 Hermite 空间 239
10.3.5 无限维辛矢量空间 241
10.3.6 辛群 243
10.4 Hermite空间的酉群 246
10.4.1 酉群 246
10.4.2 特殊酉群 249
10.5 Lorentz群 251
10.5.1 Minkowski时空及其变换群 251
10.5.2 Lorentz群的拓扑结构 254
10.5.3 正时正常Lorentz群的确定 256
10.5.4 Lorentz群的Lie代数 258
10.5.5 Lorentz群的表示简介 262
10.5.6 二维特殊复线性群 263
10.6 Poincaré群和 Galileo群简介 266
10.6.1 Poincaré群的概念 266
10.6.2 Poincaré群的拓扑结构与Lie代数 267
10.6.3 Galileo群 268
第11章 Lie群与Lie代数的(余)伴随表示 270
11.1 Lie群与Lie代数的伴随表示 270
11.1.1 Lie群的内自同构群 270
11.1.2 Lie群的伴随表示 270
11.1.3 Lie代数的伴随表示 273
11.1.4 Lie代数伴随表示矩阵 275
11.2 Lie群和 Lie代数的余伴随表示 276
11.2.1 Lie群的余伴随表示 276
11.2.2 Lie代数的余伴随表示 278
11.3 SO(3)群及其Lie代数的伴随和余伴随表示 280
11.3.1 SO(3)和so(3)的伴随表示 280
11.3.2 SO(3)和so(3)的余伴随表示 281
11.4 低维Euclid群及其 Lie代数的(余)伴随表示 282
11.4.1 一维空间上的仿射群及其 Lie代数的(余)伴随表示 282
11.4.2 SE(2)群及其Lie代数的(余)伴随表示 284
11.4.3 SE(3)群及其Lie代数的(余)伴随表示 286
第12章 Lie群对微分流形的作用 291
12.1 Lie群对微分流形作用的生成元 291
12.1.1 Lie群左作用及其生成元 291
12.1.2 Lie群右作用及其生成元 295
12.2 Lie群作用的分类 296
12.2.1 迷向子群 296
12.2.2 Lie群的可递、自由与有效作用 297
12.3 Lie群作用轨道的几何结构 299
12.3.1 Lie群作用轨道 299
12.3.2 余伴随轨道及其切空间 300
12.3.3 余伴随轨道的辛结构 303
12.4 Euclid变换群SE(3)的余伴随轨道 308
12.4.1 SE(3)群的余伴随轨道及其空间约化 308
12.4.2 SE(3)群余伴随轨道的辛结构 311
12.5 Lie群直积与Lie代数直和 313
12.6 Lie群半直积与Lie代数半直和 316
12.6.1 Lie群的半直积 316
12.6.2 Lie代数的半直和 318
12.6.3 半直积Lie群的 Lie代数 320
第13章 Lie群与Lie代数的分类 324
13.1 Lie群与Lie代数的可解性 324
13.1.1 不变Lie子代数与不变Lie子群 324
13.1.2 导出Lie群与导出Lie代数 327
13.1.3 可解Lie代数与可解Lie群 329
13.2 (半)单Lie代数与(半)单Lie群 333
13.2.1 Killing-Cartan度规 333
13.2.2 (半)单Lie代数及其 Lie群 337
13.2.3 一般Lie代数的分解 342
第14章 同伦群 344
14.1 基本群 344
14.1.1 同伦映射 344
14.1.2 闭合道路的同伦 347
14.1.3 基本群及其性质 348
14.1.4 常见流形的基本群 350
14.2 基本群的计算 352
14.2.1 单形与边缘算子 352
14.2.2 复形与三角剖分 354
14.2.3 基本群的计算定理 356
14.3 高维同伦群 358
14.3.1 圈与第n-同伦群 358
14.3.2 第n同伦群的性质 360
第15章 同调群 362
15.1 有限生成Abel群 362
15.1.1 整数Z的剩余类群 362
15.1.2 自由Abel群 364
15.1.3 有限生成Abel群的构造 367
15.2 单纯同调群及其例子 368
15.2.1 单纯复形的链群 368
15.2.2 闭链和边缘链 369
15.2.3 单纯同调群 372
15.3 Euler示性数 377
15.4 单纯同调群的性质 378
15.4.1 同调群的拓扑不变性 378
15.4.2 Kunneth公式 379
15.4.3 同调群的Abel性质 379
15.4.4 同调群的几何意义 381
15.4.5 同调群与同伦群的关系 381
15.5 相对同调群与奇异同调群简介 382
15.5.1 相对同调群 382
15.5.2 奇异同调群 383
第16章 流形上的积分理论与de Rham上同调群 386
16.1 可定向流形 386
16.1.1 矢量空间的定向 386
16.1.2 微分流形的定向 387
16.2 微分流形上的积分理论 390
16.2.1 微分流形上的积分与Stokes定理 390
16.2.2 可微链上的积分与Stokes定理 396
16.3 de Rham上同调群 398
16.3.1 de Rham上同调群的构造 398
16.3.2 de Rham定理 399
16.4 典型流形的de Rham上同调群 402
16.5 de Rham上同调群的性质 407
16.5.1 Euler示性数 407
16.5.2 上同调群具有拓扑不变性和同伦不变性 407
16.5.3 Kunneth公式 408
16.5.4 Poincaré对偶 409
16.5.5 非紧致和不可定向流形与上同调群 411
16.6 映射度与螺旋度 411
16.6.1 映射度 411
16.6.2 螺旋度 414
16.7 微分形式空间的Hodge分解 415
16.7.1 上微分算子 416
16.7.2 Laplace-Beltrami算子 417
16.7.3 Hodge分解定理 418
第17章 van Est同调群 421
17.1 Lie群与Lie代数的van Est上同调 421
17.1.1 Lie群的上同调 421
17.1.2 Lie代数的上同调 425
17.2 Lie群与Lie代数的仿射表示 428
17.2.1 Lie群的仿射表示 428
17.2.2 Lie代数的仿射表示 430
第18章 纤维丛及其联络理论 435
18.1 纤维丛的概念及其基本性质 436
18.1.1 纤维丛的微分结构与结构群 436
18.1.2 主丛与纤维丛平凡条件 439
18.1.3 纤维丛底流形的可平行化问题 442
18.1.4 纤维丛的同伦收缩 443
18.2 主丛上的 Ehresmann联络 445
18.2.1 水平分布与Ehresmann联络 1-形式 445
18.2.2 协变导数及其曲率结构方程 448
18.2.3 局部联络 1-形式与规范场表示 452
18.3 和乐群 453
18.3.1 水平提升与平行移动 454
18.3.2 联络的完整群 455
18.4 标架丛上的联络 458
18.4.1 正则形式与挠率、Cartan结构方程 458
18.4.2 标架丛的底流形上的曲率和挠率 461
18.4.3 仿射标架丛上的联络 463
18.5 矢量丛上的Ehresmann联络 465
18.5.1 矢量丛上的联络形式和黏连形式 465
18.5.2 结构方程与Bianchi恒等式 469
18.5.3 矢量场和张量场的协变导数 472
18.6 切丛中的联络 474
18.6.1 Koszul意义下的联络 474
18.6.2 联络的曲率和挠率 477
18.6.3 Riemann-Christoffel联络 479
18.6.4 联络系数的构造 482
第19章 分析力学的辛几何方法 485
19.1 Lagrange系统的整体表述 485
19.1.1 切丛作为定常力学系统的状态空间 485
19.1.2 切丛的竖直自同态 487
19.1.3 Euler-Lagrange方程的整体形式 489
19.1.4 切触流形上的Lagrange系统 491
19.2 Noether对称性与Lie对称性 492
19.2.1 Lagrange系统的Noether对称性 492
19.2.2 运动微分方程的Lie对称性 495
19.3 辛流形上的Hamilton系统 498
19.3.1 Hamilton方程的整体形式 498
19.3.2 辛流形与Darboux 定理 500
19.3.3 Poisson结构 502
19.3.4 辛同胚与正则变换 504
19.3.5 Poincaré-Cartan积分不变量Liouville定理 508
19.4 动量映射 510
19.4.1 辛流形上的动量映射 511
19.4.2 等变动量映射 516
19.4.3 等变动量映射的Poisson映射性质 518
19.5 Marsden-Weinstein约化 519
19.5.1 辛流形的辛点约化方法 519
19.5.2 辛流形上的动力学约化 522
19.5.3 Lie-Poisson约化 524
19.5.4 电磁学的Kaluza-Klein构造 526
参考文献 531
索引 539
京公网安备 11010102004214号