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常微分方程


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常微分方程
  • 书号：9787030855916
    作者：房少梅,王霞
  • 外文书名：
  • 装帧：平装
    开本：B5
  • 页数：179
    字数：237000
    语种：zh-Hans
  • 出版社：科学出版社
    出版时间：2026-05-01
  • 所属分类：
  • 定价： ￥49.00元
    售价： ￥38.71元
  • 图书介质:
    纸质书

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常微分方程是数学系学生重要的基础课程之一，本书是作者总结多年教学经验反复打磨而成的。全书共7章，主要介绍常微分方程的基本理论和解法，并深入探究微分方程的核心理论。内容包括：一阶微分方程的初等积分法；一阶微分方程解的基本理论，含解的存在唯一性定理、解的延拓等；高阶微分方程、线性微分方程组的求解方法；非线性微分方程的稳定性、分支与混沌等；微分方程的数值解与近似解。同时每章给出相应的实际例子，并介绍了在常微分发展过程中做出卓越贡献的科学家。
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    前言
    第1章 基本概念 1
    1.1 常微分方程实例 1
    1.2 常微分方程解的概念与性质 3
    1.2.1 常微分方程基本概念 3
    1.2.2 常微分方程解的几何意义 6
    1.3 微分方程的发展史 8
    习题1 11
    第2章 初等积分法 12
    2.1 可分离变量方程 12
    2.2 一阶线性微分方程 16
    2.3 恰当方程 19
    2.4 一阶隐式微分方程 25
    2.5 几类特殊的方程 28
    2.5.1 齐次方程 28
    2.5.2 伯努利方程 33
    2.5.3 黎卡提方程 34
    2.6 可降阶的二阶方程与特殊的高阶方程 35
    2.6.1 可降阶的二阶方程 35
    2.6.2 特殊的高阶方程 36
    2.7 一阶微分方程的应用 38
    数学家小传——伯努利 41
    习题2 42
    第3章 一阶微分方程解的基本理论 44
    3.1 解的存在唯一性定理 44
    3.2 解的延拓 50
    3.3 解对初值与参数的连续依赖性和可微性 53
    3.3.1 解对初值的连续依赖性 53
    3.3.2 解对初值的可微性 55
    3.3.3 解对参数的连续依赖性和可微性 57
    3.4 奇解和包络 58
    3.5 克莱罗微分方程 60
    数学家小传——皮卡 62
    习题3 62
    第4章 高阶微分方程 64
    4.1 线性微分方程的一般理论 64
    4.1.1 齐次线性微分方程的解 64
    4.1.2 非齐次线性微分方程 65
    4.2 常系数线性微分方程 66
    4.2.1 复值函数与复值解 67
    4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程 67
    4.2.3 非齐次线性微分方程: 比较系数法与拉普拉斯变换法 71
    4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数解法 76
    4.3.1 可降阶的一些方程类型 76
    4.3.2 二阶线性微分方程的幂级数解法 78
    4.4 高阶微分方程的应用 82
    数学家小传——朗斯基 87
    习题4 87
    第5章 线性微分方程组 89
    5.1 线性微分方程组的一般理论 89
    5.1.1 存在唯一性定理 90
    5.1.2 齐次线性微分方程组 91
    5.1.3 非齐次线性微分方程组 95
    5.2 常系数线性微分方程组 97
    5.2.1 矩阵指数exp A的定义和性质 97
    5.2.2 基解矩阵 98
    5.2.3 常系数齐次线性微分方程组的解 98
    5.2.4 常系数非齐次线性微分方程组的解 105
    5.3 微分方程组的应用 111
    数学家小传——庞加莱 112
    习题5 113
    第6章 非线性微分方程 115
    6.1 基本概念 115
    6.1.1 常微分方程组的存在唯一性定理 115
    6.1.2 驻定方程组、相空间与轨线 116
    6.2 稳定性 119
    6.2.1 李雅普诺夫稳定性 119
    6.2.2 按线性近似决定稳定性 121
    6.3 V函数方法 123
    6.3.1 李雅普诺夫定理 123
    6.3.2 二次型V函数的构造 128
    6.4 奇点与极限环 130
    6.4.1 奇点 131
    6.4.2 极限环 140
    6.5 结构稳定、分支与混沌 144
    6.5.1 结构稳定性定理 144
    6.5.2 微分方程单参数分支 145
    6.5.3 微分方程中的混沌 149
    数学家小传——李雅普诺夫 151
    习题6 152
    第7章 微分方程数值解与近似解 155
    7.1 引言 155
    7.2 欧拉方法 156
    7.2.1 显式欧拉方法 156
    7.2.2 隐式欧拉方法 157
    7.3 龙格-库塔方法 162
    7.3.1 R-K方法的定义 162
    7.3.2 R-K方法的构造 163
    7.4 数学建模案例分析 169
    数学家小传——柯西 172
    习题7 173
    习题答案 175
    参考文献 180
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