本书介绍了几种典型随机过程及其随机积分的定义与性质，讲述了随机动力系统的定义和判别方法，系统讲述了高斯过程、Lévy过程和分数布朗运动驱动的随机（偏）微分方程解生成的随机动力系统的理论，详细给出了几类随机发展方程的随机吸引子、测度吸引子、随机不变流形、Freidlin-Wentzell大偏差原理及占位测度大偏差原理，讲述了时空分数阶随机（偏）微分方程解的适定性及其生成的半动力系统的Caputo吸引子，最后讲述了均方随机动力系统及其均方随机吸引子、粗糙微分方程及其粗糙动力系统基础。本书配备了习题，读者可扫描章后二维码学习。
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前言
第一版前言
第1章 随机过程与随机积分 1
1.1 随机过程与条件期望 1
1.2 Wiener过程及其随机积分 9
1.2.1 无穷维Wiener过程 9
1.2.2 Banach空间中的鞅 15
1.2.3 随机积分的定义 16
1.2.4 柱面Wiener过程的随机积分 25
1.2.5 随机积分的性质 27
1.3 Lévy过程及其随机积分 34
1.3.1 Lévy过程 34
1.3.2 关于Cadlag平方可积鞅的随机积分的构造 37
1.3.3 随机积分的性质 41
1.3.4 关于一般Lévy过程的随机积分 42
1.4 分布布朗运动及其随机积分 45
1.5 附录：Nuclear算子和Hilbert-Schmidt算子 61
习题1 62
参考文献 62
第2章 随机动力系统 65
2.1 动力系统概述 65
2.2 可测动力系统 66
2.3 遍历理论 72
2.4 动力系统及整体吸引子 77
2.5 过程簇与非自治动力系统 81
2.5.1 非自治无穷维动力系统的一致吸引子 82
2.5.2 非自治无穷维动力系统的拉回吸引子 84
2.6 随机动力系统与随机吸引子 86
2.6.1 随机集与随机动力系统 87
2.6.2 随机动力系统的极限集 93
2.6.3 随机动力系统的吸引子 97
2.7 多值随机动力系统 103
习题2 105
参考文献 105
第3章 高斯噪声驱动的Navier-Stokes方程的动力学 108
3.1 基本概念和假设 108
3.2 加性高斯噪声驱动的随机Navier-Stokes方程 111
3.3 噪声模型与可测动力系统的生成 115
3.4 随机Navier-Stokes方程解的存在性与唯一性 127
3.5 随机Navier-Stokes方程生成随机动力系统 141
3.6 乘性高斯噪声驱动的随机Navier-Stokes方程 145
3.7 非自治随机动力系统的拉回指数吸引子 151
3.7.1 随机指数吸引子及随机拉回指数吸引子的定义 152
3.7.2 随机拉回指数吸引子与非自治随机拉回指数吸引子的存在性 155
习题3 162
参考文献 163
第4章 Lévy过程驱动的随机发展方程 167
4.1 α-稳定Lévy噪声及相应Ornstein-Uhlenbeck变换 167
4.2 Lévy过程驱动的常微分方程生成随机动力系统 169
4.3 Poisson噪声驱动的随机阻尼波方程解的存在唯一性 173
4.4 Lévy过程驱动的非Lipschitz系数的随机发展方程 181
4.5 Lévy过程驱动的随机Burgers方程的动力学 186
4.6 Lévy时空白噪声驱动的分数阶偏微分方程 190
4.7 一般Lévy噪声驱动的随机偏微分方程的随机吸引子 197
习题4 200
参考文献 200
第5章 分布布朗运动驱动的随机发展方程 202
5.1 加性分布布朗运动驱动的随机微分方程 202
5.2 乘性分布布朗运动驱动的随机微分方程的随机吸引子 206
5.3 乘性分布布朗运动驱动的随机发展方程的不稳定流形 214
5.3.1 Lyapunov-Perron变换 220
5.3.2 随机不稳定流形 225
习题5 228
参考文献 229
第6章 随机偏微分方程的大偏差原理 231
6.1 Freidlin-Wentzell大偏差原理 231
6.2 乘性高斯噪声驱动的Navier-Stokes方程的大偏差原理 234
6.3 加性Lévy噪声驱动的Navier-Stokes方程的大偏差原理 239
6.4 分布布朗运动驱动的随机偏微分方程的大偏差原理 248
6.5 Donsker-Varadhan大偏差原理 256
6.5.1 Donsker-Varadhan大偏差的速率函数 258
6.5.2 Markov过程的占位经验测度的大偏差 261
习题6 269
参考文献 269
第7章 随机偏微分方程的测度吸引子 272
7.1 测度吸引子的概念及其存在性 272
7.2 半线性随机发展方程的测度吸引子 278
7.3 随机Navier-Stokes方程的测度吸引子 281
7.4 具有Stratonovich导数形式Navier-Stokes方程的测度吸引子 286
7.5 非自治随机方程的拉回测度吸引子及一致测度吸引子 293
7.5.1 拉回测度吸引子 295
7.5.2 一致测度吸引子 301
习题7 310
参考文献 311
第8章 分数阶随机偏微分方程及其半动力系统 312
8.1 分数阶微积分基础 312
8.1.1 三种常用的分数阶微积分定义 312
8.1.2 分数阶Sobolev空间 317
8.1.3 交换子估计 319
8.2 分数阶Langevin方程 320
8.3 高斯噪声驱动的随机分数阶Burgers方程 323
8.3.1 Mild解的存在唯一性 323
8.3.2 不变测度的遍历性 327
8.4 Lévy过程驱动的随机分数阶Burgers方程 328
8.5 分布布朗运动驱动的随机分数阶偏微分方程 337
8.5.1 分布布朗运动驱动的分数阶抛物型方程 337
8.5.2 分布布朗运动驱动的分数阶随机Anderson模型 340
8.6 时空分数阶随机Ginzburg-Landau方程的适定性 345
8.7 分数阶微分方程生成的半动力系统 355
8.7.1 自治Caputo分数阶微分方程的算子半群 355
8.7.2 非自治Caputo分数阶微分方程的斜积半流 358
8.7.3 自治Caputo分数阶微分方程的Caputo吸引子 358
习题8 363
参考文献 363
第9章 均方随机动力系统及均方不变流形 365
9.1 均方随机动力系统的定义及存在性判据 365
9.2 非线性噪声驱动的几类随机发展方程的平均吸引子 369
9.2.1 带随机初值的反应扩散方程的平均随机吸引子 369
9.2.2 带随机初值的随机反应扩散方程的平均随机吸引子 371
9.2.3 非线性噪声驱动的二维随机Navier-Stokes方程的平均吸引子 374
9.2.4 非线性噪声驱动的随机Boussinesq方程的平均随机吸引子 376
9.3 非线性噪声驱动随机发展方程的均方不变流形与不变叶层 379
习题9 392
参考文献 393
第10章 粗糙微分方程与粗糙动力系统 394
10.1 粗糙路径积分的定义与性质 394
10.2 粗糙偏微分方程解的存在唯一性 401
10.3 粗糙反应扩散方程的随机吸引子 406
10.4 粗糙发展方程的粗糙中心流形 412
10.5 粗糙发展方程的不稳定流形 420
习题10 424
参考文献 424
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