本书是作者基于十余年复旦大学概率论课程的教学实践,融合科研体悟与教学反思,打磨而成的本科教材。作者以“概率建模”为核心视角重构初等概率论体系,回顾历史发展脉络,利用物理建模思维,搭建直观认知与公理化框架之间的桥梁,助力初学者入门初等概率论,学好、用好概率论。全书共12章,内容包括：随机现象与概率论,从古典概率模型、几何概率模型到概率论的公理,经典条件概率与事件独立性,Lebesgue积分理论简介,随机变量及其分布律（I、II、III）,数学期望与分布律,条件数学期望与条件分布律,随机变量列的收敛与大数律,特征函数及其应用,概率建模的有关讨论与检验。附录涵盖测度论拓展内容,兼顾课堂讲授与自主学习的需求。每章配备历史注记、人物侧写,通过案例演示,培养“发现问题—构建模型—实证检验”的完整研究思维。全书精心配置了丰富的案例和习题,部分习题解答与高清图片可以通过扫描相应二维码获取。
样章试读
目录
- 目录
序
前言与导读
常用数学符号说明表
第1章 随机现象与概率论 1
1.1 随机现象、随机事件与随机试验 1
1.2 频率与概率 4
1.3 概率论简史 6
习题1 19
第2章 从古典概率模型、几何概率模型到概率论的公理 23
2.1 事件与集合 23
2.2 古典概率模型 27
2.2.1 古典概率模型简介 28
2.2.2 计数方法简介 29
2.2.3 古典概率模型应用实例：(1)Pólya坛子模型 30
2.2.4 古典概率模型应用实例：(2)同生日问题 32
2.2.5 古典概率模型应用实例：(3)唱票问题与反射原理 34
2.2.6 古典概率模型应用实例：(4)图论中的染色问题 36
2.3 几何概率模型 38
2.3.1 几何概率模型简介 38
2.3.2 几何概率模型应用实例 39
2.3.3 Bertrand 悖论 41
2.4 公理化的概率模型及其性质 43
2.4.1 概率的公理 43
2.4.2 概率的基本性质 45
2.4.3 Jordan 公式 46
2.5 本章小结与学习建议 48
习题2 49
第3章 经典条件概率与事件独立性 58
3.1 条件概率空间与经典条件概率的定义 58
3.2 乘积概率空间与事件独立性 65
3.2.1 乘积概率空间 65
3.2.2 事件独立性的定义 68
3.3 经典条件概率与事件独立性的简单应用 71
3.3.1 应用 1：乘法公式 71
3.3.2 应用 2：全概率公式 73
3.3.3 应用 3：Bayes公式 80
3.3.4 应用 4：(无穷)重复试验与条件试验 88
3.4 讨论：事件的概率、条件概率及其概率值大小 90
3.4.1 易混淆概念：特定语境中的概率与条件概率 91
3.4.2 小概率原理及现实世界与概率(统计)建模之间的接口 92
3.5 本章小结与学习建议 97
习题3 97
第4章 Lebesgue积分理论简介 105
4.1 可测集与可测函数 105
4.1.1 Borel与一般可测集 105
4.1.2 Borel可测函数与一般的可测映射 106
4.2 Lebesgue测度与一般可测空间中的非负测度 107
4.2.1 测度、符号测度、预测度与外测度的定义 107
4.2.2 符号测度的Hahn分解与Jordan分解 110
4.2.3 Carathéodory扩张与 Lebesgue测度 113
4.2.4 特殊测度空间 118
4.3 欧氏空间中的Lebesgue积分 119
4.3.1 Lebesgue积分的定义 119
4.3.2 Lebesgue积分与极限的交换 121
4.3.3 Lebesgue积分与 Riemann积分 124
4.3.4 微积分基本定理的探讨 129
4.3.5 重积分与累次积分——Fubini定理 131
4.4 抽象测度的Lebesgue积分 132
4.4.1 抽象测度的Lebesgue积分的定义 132
4.4.2 抽象测度的Lebesgue积分的极限交换问题 133
4.4.3 微积分基本定理的推广：Radon-Nikodym 定理 135
4.5 本章小结与学习建议 139
习题4 139
第5章 随机变量及其分布律 (I) 142
5.1 随机变量、随机向量及其分布律 143
5.1.1 随机变量与随机向量的定义 143
5.1.2 随机变量与随机向量的分布律 146
5.1.3 随机变量/向量之间的相互独立性 148
5.2 离散型分布 151
5.2.1 离散型随机变量的定义 151
5.2.2 常见离散型分布 152
5.3 离散型分布的应用 157
5.3.1 应用(I)：真假随机性的判断 157
5.3.2 应用(II)：两个极大似然估计的例子 160
5.4 本章小结与学习建议 162
习题5 162
第6章 数学期望与分布律 166
6.1 数学期望的定义 166
6.2 数学期望的性质与简单应用 171
6.2.1 数学期望的基本性质及有关极限交换定理 171
6.2.2 常见数学期望不等式 172
6.2.3 数学期望的简单应用 175
6.3 基于分布律的数学期望计算公式 178
6.3.1 数学期望的计算公式(I)178
6.3.2 概率空间的同态、同构及其应用 181
6.3.3 数学期望的计算公式 (II) 184
6.4 矩与无偏估计 185
6.4.1 方差、协方差与独立性 185
6.4.2 统计量与无偏估计简介 188
6.5 本章小结与学习建议 189
习题6 189
第7章 条件数学期望与条件分布律 196
7.1 条件数学期望的定义 196
7.1.1 数学期望的一个性质 197
7.1.2 从经典条件概率到经典条件数学期望 197
7.1.3 抽象的条件数学期望的定义 200
7.1.4 从条件数学期望*到条件概率* 203
7.2 条件数学期望的基本性质与常见不等式 204
7.2.1 条件数学期望的基本性质 204
7.2.2 条件数学期望的常见不等式 207
7.3 条件数学期望的计算 207
7.3.1 条件数学期望的积分变换公式 208
7.3.2 条件分布律与条件数学期望的计算公式 209
7.3.3 条件数学期望与独立性 212
7.4 条件数学期望的应用 214
7.5 本章小结与学习建议 216
习题7 218
第8章 随机变量及其分布律 (II) 221
8.1 连续型随机变量的有关基本概念 221
8.1.1 连续型分布与密度函数的定义 221
8.1.2 连续型随机变量的数学期望计算公式 223
8.1.3 边缘密度、条件密度与条件分布函数 223
8.2 概率微元法 226
8.2.1 光滑可逆变换情形 226
8.2.2 分片光滑可逆变换情形 227
8.3 常见连续型分布 229
8.4 本章小结与学习建议 245
习题8 245
第9章 随机变量及其分布律(III) 250
9.1 分布函数的刻画与随机数发生器的构造 250
9.1.1 分布函数的刻画 250
9.1.2 随机数发生器的构造 252
9.2 次序统计量 254
9.3 阅读材料：随机变量的分类 258
9.4 本章小结与学习建议 260
习题9 260
第10章 随机变量列的收敛与大数律 265
10.1 Chebyshev不等式 265
10.2 随机变量列的收敛性 268
10.2.1 各种收敛性的定义 268
10.2.2 几种收敛之间的关系 269
10.2.3 阅读材料：随机序与随机控制收敛定理 272
10.3 大数律简介 275
10.3.1 Borel-Cantelli第一、第二引理 275
10.3.2 从 Bernoulli弱大数律到Borel强大数律 283
10.3.3 从 Khintchine弱大数律到Kolmogorov强大数律 285
10.3.4 在二阶矩条件下Kolmogorov强大数律的加强 289
10.4 应用举例 291
10.5 本章小结与学习建议 295
习题10 296
第11章 特征函数及其应用 306
11.1 特征函数与分布测度 306
11.2 特征函数的三大定理 309
11.2.1 特征函数的唯一性定理 309
11.2.2 特征函数的连续性定理 313
11.2.3 特征函数的刻画定理 317
11.3 特征函数的几个重要应用 318
11.3.1 应用 1：Khintchine弱大数律 318
11.3.2 应用 2：中心极限定理 319
11.3.3 应用 3：随机变量的对称化方法简介 322
11.4 本章小结与学习建议 324
习题11 325
第12章 概率建模的有关讨论与检验 333
12.1 概率论视角下的“经验总结与外推” 334
12.1.1 关于赌徒佯谬与热手效应的讨论 334
12.1.2 Gibbs分布与Gibbs条件概率 336
12.2 大样本数据下模型的检验问题 342
12.2.1 对 (一维) 简单样本总体分布律的检验 343
12.2.2 对 (“二维”简单样本总体两维度间)独立性的检验 347
12.3 本章小结与学习建议 354
习题12 354
附录A 单调类定理与乘积概率测度的存在唯一性及其应用 357
A.1 集合类简介 357
A.2 单调类定理 359
A.3 乘积概率测度的存在唯一性 360
A.3.1 概率测度的有限乘积 360
A.3.2 概率测度的可列无穷乘积 363
A.3.3 概率测度的任意无穷乘积 366
A.4 随机变量相互独立性的刻画定理的补充证明 367
习题A 367
附录B 矩问题与Laplace变换 369
B.1 矩问题 369
B.1.1 Hausdorff矩问题 370
B.1.2 Hamburger矩问题：可解的条件 370
B.1.3 Hamburger矩问题：解的唯一性与不唯一性 372
B.1.4 矩问题有关理论的应用 374
B.2 Laplace变换 375
B.2.1 Laplace变换的定义与基本性质 375
B.2.2 Laplace变换的唯一性定理 377
B.2.3 Laplace变换的连续性定理 378
B.2.4 Laplace变换的刻画定理 379
B.2.5 Laplace变换的 Tauber 定理 380
习题B 384
附录C Kolmogorov定理的“证明” 387
C.1 Brown运动、Brown桥及其特征函数刻画 387
C.2 概率测度的弱收敛与泛函中心极限定理 389
C.2.1 欧氏空间与一般度量空间中概率测度的弱收敛 389
C.2.2 相对紧与胎紧：Prokhorov定理 390
C.2.3 泛函中心极限定理 391
C.3 Kolmogorov定理的“证明” 393
习题C 394
参考文献 395
索引 401
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