本书系统介绍七类积分方程中的各个典型方程的数值算法。全书共8章,第1章是基础知识部分,第2章到第8章分别叙述多维Fredholm型积分方程、Volterra型积分方程、分数阶积微分方程、时滞积分方程、奇异积分方程、模糊积分方程、随机积微分方程的高精度算法。
样章试读
目录
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前言
符号说明
第1章 基础知识 1
1.1 三类积分的概念和性质 1
1.1.1 分数微分与积分 1
1.1.2 随机过程与It？积分 3
1.1.3 模糊数与模糊积分 5
1.2 积分算子与积分方程 10
1.2.1 Banach空间的紧集与紧算子 10
1.2.2 积分算子 11
1.2.3 积分方程 13
1.3 积分方程数值解概要 14
1.3.1 先验误差估计与后验误差估计基本定理 14
1.3.2 Galerkin方法与迭代Galerkin方法 15
1.3.3 配置法与迭代配置法 19
1.3.4 Nystr？m方法(求积法)与离散配置法 21
第2章 解第二类多维Fredholm积分方程的离散配置法 27
2.1 重心插值与求积公式 27
2.1.1 重心Lagrange插值 27
2.1.2 重心有理插值 32
2.1.3 求积公式 34
2.2 解第二类多维线性Fredholm积分方程的离散配置法 35
2.2.1 数值算法 35
2.2.2 理论分析 36
2.2.3 算法程序与数值算例 39
2.3 解第二类多维非线性Fredholm积分方程的离散配置法 42
2.3.1 数值算法 42
2.3.2 修正的Newton迭代法 44
2.3.3 收敛性分析与误差估计 44
2.3.4 算法程序与数值算例 48
第3章 解第二类多维弱奇异Volterra型积分方程的离散配置法 52
3.1 解第二类多维线性弱奇异Volterra型积分方程的离散配置法 52
3.1.1 原方程(组)解的存在唯一性 53
3.1.2 数值算法 57
3.1.3 数值解的存在唯一性 62
3.1.4 收敛性分析与误差估计 67
3.1.5 算法程序与数值算例 70
3.2 解第二类多维非线性弱奇异Volterra型积分方程的离散配置法 74
3.2.1 原方程解的存在唯一性 74
3.2.2 数值算法 75
3.2.3 数值解的存在唯一性 76
3.2.4 收敛性分析与误差估计 78
3.2.5 算法程序与数值算例 82
3.3 二维非线性Volterra-Fredholm积分方程的数值算法 85
3.3.1 原方程解的存在唯一性 85
3.3.2 数值算法 87
3.3.3 离散方程解的存在唯一性 89
3.3.4 收敛性分析与误差估计 89
3.3.5 数值算例 93
第4章 分数阶积分微分方程的数值算法 96
4.1 Galerkin方法解微分为分数阶的积分微分方程 96
4.1.1 预备知识 98
4.1.2 离散Galerkin方法 100
4.1.3 离散Galerkin方程解的存在唯一性 102
4.1.4 收敛性分析与误差估计 105
4.1.5 数值算例 108
4.2 积分为分数阶的积分方程的数值算法 110
4.2.1 求积法(Nystr？m法) 111
4.2.2 算法的收敛性分析 114
4.2.3 误差渐近展开式与分裂外推算法 117
4.2.4 数值算例 121
4.3 分数阶积分的积分微分方程的数值算法 123
4.3.1 时间变量的离散 124
4.3.2 空间变量的离散 129
4.3.3 算法程序与数值算例 136
4.4 二维分数阶Laplace问题的快速Q1有限元方法 139
4.4.1 有限元分析 140
4.4.2 误差分析 150
4.4.3 数值算例 152
第5章 时滞型积分方程的数值算法 157
5.1 弱奇异比例时滞Volterra型积分方程的求积法与分裂外推算法 157
5.1.1 原方程解的存在唯一性 158
5.1.2 求积法和线性插值 161
5.1.3 收敛性分析与误差估计 170
5.1.4 误差渐近展开式与分裂外推算法 174
5.1.5 数值算例 177
5.2 带空间变量的线性时滞Volterra型积分方程的求积法与分裂外推算法 178
5.2.1 原方程解的存在唯一性 179
5.2.2 线性插值与迭代算法 180
5.2.3 收敛性分析与误差估计 184
5.2.4 误差渐近展开式与分裂外推算法 188
5.2.5 数值算例 190
5.3 纯时滞型积分方程的Haar小波配置法 191
5.3.1 Haar小波 192
5.3.2 数值方法 193
5.3.3 数值算例 195
第6章 奇异积分方程的分裂外推与组合算法 197
6.1 第二类弱奇异Fredholm积分方程的求积法与组合算法 197
6.1.1 解第二类弱奇异Fredholm方程的Nystr？m方法 198
6.1.2 解第二类弱奇异Fredholm方程的积分法 203
6.1.3 求积法的组合技巧 204
6.1.4 数值算例 207
6.2 求积法与分裂外推算法解第一类边界积分方程 209
6.2.1 积分核和解的奇异性分析 210
6.2.2 求积法 212
6.2.3 误差渐近展开式与分裂外推算法 216
6.2.4 稳定性分析 217
6.2.5 数值算例 218
6.3 第二类Cauchy奇异积分方程的高精度组合算法 221
6.3.1 求积法 222
6.3.2 常系数方程的算法 223
6.3.3 变系数方程的算法 226
6.3.4 组合算法 229
6.3.5 数值算例 233
6.4 超奇异积分方程的数值算法 234
6.4.1 数值算法 235
6.4.2 解的存在唯一性 238
6.4.3 近似解的收敛性与误差估计 239
6.5 三维轴对称边界积分方程的求积法 240
6.5.1 第一类边界积分方程及解的存在唯一性 241
6.5.2 求积法 246
6.5.3 收敛性分析 252
6.5.4 误差渐近展开式与分裂外推算法 254
6.5.5 数值算例 255
6.6 三维轴对称非线性边界积分方程的求积法 257
6.6.1 非线性边界积分方程及解的存在唯一性 257
6.6.2 求积法及收敛性分析 259
6.6.3 牛顿迭代法与外推算法 264
6.6.4 数值算例 265
第7章 模糊积分方程的数值算法 267
7.1 模糊端点弱奇异时滞Volterra型积分方程数值算法 267
7.1.1 原方程解的存在唯一性 267
7.1.2 数值算法 270
7.1.3 收敛性分析与误差估计 274
7.1.4 算法程序与数值算例 280
7.2 二维非线性模糊Volterra型积分方程的数值算法 284
7.2.1 原方程解的存在唯一性 284
7.2.2 数值算法 286
7.2.3 收敛性分析与误差估计 289
7.2.4 算法程序与数值算例 295
7.3 模糊分数阶积微方程的数值算法 298
7.3.1 原方程解的存在唯一性 298
7.3.2 重心与广义重心Lagrange插值基函数 300
7.3.3 数值算法 302
7.3.4 收敛性分析与误差估计 304
7.3.5 数值算例 307
7.4 第二类模糊Fredholm积分方程的数值算法 309
7.4.1 函数的近似 309
7.4.2 数值算法 313
7.4.3 原方程解的存在唯一性 315
7.4.4 近似方程解的存在唯一性与收敛性分析 315
7.4.5 数值算例 318
7.5 第二类非线性模糊Fredholm积分方程的数值算法 319
7.5.1 模糊高斯求积公式 319
7.5.2 数值算法 322
7.5.3 收敛性分析 326
7.5.4 数值算例 328
第8章 随机积分微分方程的数值算法 331
8.1 线性随机It？-Volterra型积分方程的数值算法 331
8.1.1 最小二乘法 331
8.1.2 收敛性分析 336
8.1.3 算法程序与数值算例 338
8.2 非线性随机It？-Volterra型积分方程的数值算法 340
8.2.1 迭代算法 340
8.2.2 收敛性分析与误差估计 343
8.2.3 数值算例 351
8.3 分数阶布朗运动的随机Volterra型积微方程的数值算法 352
8.3.1 Haar小波函数与Block-pulse函数 353
8.3.2 积分运算矩阵与随机积分运算矩阵 356
8.3.3 Haar小波方法 358
8.3.4 近似方程解的存在唯一性 360
8.3.5 收敛性分析与误差估计 365
8.3.6 数值算例 368
8.4 弱奇异核的随机It？-Volterra型积分方程的数值算法 369
8.4.1 数值算法 369
8.4.2 收敛性分析与误差估计 371
8.4.3 数值算例 379
8.5 Caputo分数阶随机时滞积微方程的数值算法 380
8.5.1 Euler-Maruyama方法 381
8.5.2 Euler-Maruyama方法收敛性分析与误差估计 383
8.5.3 基于梯形法则的快速Euler-Maruyama方法 392
8.5.4 快速Euler-Maruyama方法收敛性分析与误差估计 396
8.5.5 数值算例 397
参考文献 401
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