本书是《认识数学》系列数学科普书的第四卷，由9篇文章组成，作者均是中国科学院数学与系统科学研究院的科研人员。文章的标题有对称，尺规作图，超越数，从丢番图方程到BSD猜想，实数探微，三角形与椭圆——从斯坦纳到彭赛列，数学看打结，平行的深意，有趣的概率等。
样章试读
目录
- 目录
序
1 对称 席南华
参考文献 36
2 尺规作图 郑维喆
2.1 游戏规则 38
2.2 线段的算术 42
2.3 判定准则.44
2.4 三个古典作图问题 48
2.4.1 倍立方体 49
2.4.2 三等分角 50
2.4.3 化圆为方 52
2.5 正多边形作图 53
2.6 代数方程的根和对称 61
参考文献 66
3 超越数 胡永泉
3.1 超越数 69
3.1.1 代数数 69
3.1.2 最有名的超越数：圆周率π 71
3.1.3 最早的“非构造”超越数：e 74
3.1.4 “人造的” 超越数：刘维尔数 78
3.1.5 关于超越数的猜想 80
3.2 超越数的多少 82
4 从丢番图方程到BSD猜想 万昕 项征御
4.1 丢番图方程 87
4.1.1 丢番图方程和丢番图其人 87
4.1.2 古希腊“代数之父”何以冠名“丢番图几何” 93
4.2 同余：从丢番图方程到互反律102
4.2.1 同余小历史：从欧几里得、秦九韶、欧拉、勒让德到高斯 102
4.2.2 从高斯二次互反律到朗兰兹纲领 112
4.3 p-进数和二次型121
4.3.1 p-进数和局部域 121
4.3.2 亨泽尔、亨泽尔引理和局部解 124
4.3.3 哈塞、二次型和局部–整体原则 125
4.3.4 局部–整体原则的失效 130
4.4 椭圆曲线和BSD猜想.130
4.4.1 从三次丢番图方程到椭圆曲线 130
4.4.2 椭圆曲线的模p解和局部信息 139
4.4.3 椭圆曲线的局部–整体原则和BSD猜想 143
参考文献.148
5 实数探微 田一超
5.1 从数的定义说起 149
5.2 数的历史 152
5.3 实数的构造 156
5.4 丢番图逼近 167
参考文献 172
6 三角形与椭圆——从斯坦纳到彭赛列 付保华
6.1 引言 174
6.2 三角形的内切椭圆 176
6.2.1 什么是椭圆 176
6.2.2 内切椭圆知多少 178
6.2.3 从放牛娃到综合几何的创建者 180
6.2.4 面积最大的内切椭圆 182
6.2.5 斯坦纳内切椭圆的焦点 185
6.2.6 还能进一步吗 188
6.3 椭圆的外切三角形 190
6.3.1 圆盘的自同构 190
6.3.2 布拉施克积函数 192
6.3.3 布拉施克积函数的几何内涵 194
6.3.4 椭圆的外切三角形 196
6.4 彭赛列的巅峰之作 197
6.4.1 从战俘到射影几何大家 197
6.4.2 彭赛列闭合定理：从三角形开始 198
6.4.3 多边形的彭赛列闭合定理 200
6.4.4 本福特定律与盖尔范德问题 202
6.4.5 迈向更高维度 204
6.5 附录：方钉问题 205
6.5.1 三角形的内接多边形 206
6.5.2 方钉猜测 207
6.5.3 三角钉问题 208
6.5.4 默比乌斯带、射影平面与克莱因瓶 210
6.5.5 矩形钉问题 211
6.5.6 多边形钉问题 213
参考文献.214
7 数学看打结 方明 苏阳
7.1 结的数学呈现——纽结图 222
7.2 纽结的数学表达 230
7.2.1 Conway表达 231
7.2.2 Dowker表达 234
7.2.3 辫子表达 236
7.3 纽结不变量 239
7.3.1 Alexander多项式 243
7.3.2 Bracket多项式和Jones多项式 244
7.3.3 HOMFLY多项式 246
参考文献 248
8 平行的深意 许大昕
8.1 欧氏几何 249
8.2 非欧几何与平行公理 251
8.3 球面几何 253
8.4 双曲几何 258
8.5 总结 262
8.6 高维空间 264
参考文献.267
9 有趣的概率 范晨捷
9.1 引子 268
9.2 布朗运动 271
9.3 正态分布 273
9.4 布朗运动和处处不可微的连续函数 276
9.5 随机游走 278
9.6 马尔可夫链 282
9.7 蒲丰投针和随机计算 285
9.8 偏微分方程中的随机初值理论 286
9.9 尾声 288
参考文献 290
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