本书是在作者多年讲授数学分析课程讲义的基础上编写而成的，是作者多年授课经验与教学心得的总结。全书分上、下两册。
上册分三部分。先感性认识与论述初等一元微积分:函数、极限与连续性、定积分、导数，微积分学基本定理，简单常微分方程及一些经典应用。接着是微积分学严格化:实数的公理化定义和极限理论，据此论证一元函数的极限、连续性和Riemann积分的理论。然后叙述级数理论、多元函数的极限与连续性、空间定向、空间解析几何简介。
下册分三部分。先讲述多元函数的微分学与积分学及场论初步。然后论述微分流形上的微积分，包括欧氏空间中的微分形式和积分公式、积分的连续性、广义重积分、微分流形、流形上的微积分等。附录介绍微积分学中若干基本问题的延伸与发展。
本书的内容安排力图符合微积分体系的认识论规律、贴近微积分学发展脉络，力求在逻辑上清楚，作者会不时将个人的一些看法采用评注或评议写出，便于读者理解。
本书最后五讲比较难，属于现代化的分析学，希冀对有兴趣的读者有些帮助。
样章试读
目录
- 目录
前言
第1讲 函数的极限和连续性 1
1.1 集合 1
1.2 实数 2
1.3 函数 3
1.4 极限 4
1.5 函数的连续性 8
1.6 关于函数记号的评议 9
第2讲 定积分 11
2.1 求积类典型例子 11
2.2 定积分概念 13
2.3 定积分的基本性质 15
第3讲 定积分应用与计算初步 18
3.1 定积分概念应用举例 18
3.2 定积分概念应用的一般程式 19
3.3 定积分计算举例 20
3.4 对数函数ln x 23
第4讲 导数.27
4.1 求导类典型问题 27
4.2 导数概念 29
4.3 导数的运算法则 31
4.4 导数概念举例 32
第5讲 求导法则和基本公式34
5.1 两个重要求导法则 34
5.2 基本初等函数求导公式之推导 38
5.3 基本初等函数求导公式 42
5.4 高阶导数 43
第6讲 略论导数与定积分之关系 （微积分学基本定理） 45
6.1 微积分学基本定理 45
6.2 原函数和不定积分 47
6.3 变上限的定积分与原函数的存在性 49
第7讲 微分中值定理与Taylor公式 51
7.1 Lagrange中值定理 51
7.2 Cauchy中值定理 54
7.3 Taylor公式.55
第8讲 微分与无穷小 58
8.1 微分概念 58
8.2 微分的运算法则和计算公式 59
8.3 高阶微分 60
8.4 微分应用于近似方法 61
8.5 无穷小与无穷大概念 63
8.6 阶的比较 64
8.7 待定式和 L’Hospital法则 67
第9讲 积分法初步 69
9.1 求积运算法则和求积基本公式 69
9.2 积分的变量替换 71
9.3 分部积分法 78
9.4 有理函数的积分 83
第10讲 一阶常微分方程 87
10.1 一般概念 87
10.2 一阶可分离变量的方程 89
10.3 可化为变量分离的某些一阶方程 91
10.4 一阶线性方程 93
第11讲 二阶常微分方程 99
11.1 可降阶的二阶常微分方程 99
11.2 二阶线性常微分方程简论 102
11.3 常系数二阶线性方程 106
11.4 一些经典微分方程模型及其应用 111
第12讲 实数 119
12.1 数的简史 119
12.2 自然数的Peano公理系统 120
12.3 实数的公理化定义 121
12.4 数轴 123
12.5 实数的拓扑 124
12.6 演绎推理模式简述 127
第13讲 实数序列的极限 129
13.1 序列的极限概念 129
13.2 序列极限的重要性质 132
13.3 区间套原理与聚点原理 136
13.4 单调序列 139
13.5 Cauchy原理 140
13.6 确界原理 142
第14讲 一元函数的极限和连续性再论 143
14.1 函数的极限概念 143
14.2 单侧过程和无穷过程之极限概念 146
14.3 函数的连续性概念 147
14.4 闭区间上连续函数的性质 148
14.5 一致连续性 151
14.6 有限覆盖定理 154
第15讲 Riemann积分的理论 156
15.1 定积分概念 156
15.2 可积的一个必要条件.157
15.3 Darboux和 158
15.4 可积的充要条件 161
15.5 常见的可积函数类 164
15.6 定积分的基本性质 167
15.7 再论导数与定积分之关系 171
第16讲 数项级数、广义积分和无穷乘积 175
16.1 级数定义 175
16.2 基本性质和重要例题.178
16.3 常用的正项级数收敛判别法 183
16.4 一般项级数 187
16.5 广义积分 190
16.6 无穷乘积 193
第17讲 函数级数 196
17.1 函数序列和函数级数的一致收敛性 196
17.2 一致收敛的判别法 199
17.3 一致收敛的函数序列与函数级数的性质 200
17.4 幂级数 204
17.5 Taylor级数 209
17.6 连续函数的多项式逼近 215
第18讲 Fourier级数 219
18.1 三角级数 219
18.2 Fourier级数定义 220
18.3 Fourier级数的敛散性 222
18.4 收敛定理的证明 225
18.5 例题 228
18.6 物理解释 232
18.7 Gibbs现象 233
18.8 推广 234
第19讲 多元函数的极限和连续性 237
19.1 空间Rn的拓扑 237
19.2 Rn中的序列极限 240
19.3 多元函数的极限 242
19.4 多元函数的连续性 245
19.5 线性映射空间 246
第20讲 平面和空间的定向及由向量所张的面积和体积 253
20.1 R2中两个向量所张的面积 253
20.2 R3中的向量积 254
20.3 R2和R3中的定向 255
20.4 R3中的混合积和三个向量所张的体积 257
第21讲 空间解析几何简介 259
21.1 平面方程 259
21.2 直线方程 261
21.3 R2中的二次曲线 263
21.4 二次曲面 267
第22讲 多元微分学的基本概念 1
22.1 偏导数和方向导数 1
22.2 全导数和梯度 2
22.3 复合求导和逆映射求导 8
22.4 高阶导数 11
第23讲 多元微分学的基本定理 16
23.1 中值定理 16
23.2 Taylor公式 17
23.3 隐函数定理 20
23.4 反函数定理 24
第24讲 多元微分学的应用 26
24.1 曲线的切线和法线或法平面 26
24.2 梯度与曲面的切面和法线 29
24.3 极值 29
24.4 条件极值的Lagrange乘子法 32
24.5 函数相关 35
24.6 齐次函数的Euler公式 36
第25讲 曲线积分 39
25.1 曲线的弧长 39
25.2 曲线积分概念和典型实例 44
25.3 曲线积分的实例 46
25.4 曲线积分的计算 49
25.5 Rn中的曲线积分 50
第26讲 重积分 52
26.1 平面集合的面积概念 52
26.2 二重积分概念 62
26.3 二重积分的可积性 65
26.4 二重积分化为累次积分 69
26.5 二重积分化为累次积分（续） 72
26.6 变量替换的应用 75
26.7 Jacobi行列式的几何意义 78
26.8 二重积分应用举例 80
26.9 三重及更高重积分 81
26.10 关于二重积分的评议 81
第27讲 曲面积分 83
27.1 曲面概念 83
27.2 曲面的定向 85
27.3 曲面的面积 87
27.4 曲面积分概念 90
第28讲 多元积分公式 95
28.1 Green公式 95
28.2 Gauss公式 100
28.3 Stokes公式 101
28.4 重积分变量替换公式的证明 （C2条件下） 103
第29讲 场论初步 112
29.1 数量场的梯度 112
29.2 通量与散度 112
29.3 环量与旋度 114
第30讲 欧氏空间中的微分形式和积分公式 117
30.1 *中微分形式的引入 117
30.2 对偶空间 120
30.3 反变的和共变的 122
30.4 *是反变的,*是共变的 125
30.5 应用于积分概念 129
30.6 积分基本公式 130
第31讲 积分的连续性 133
31.1 定积分的连续性 133
31.2 线积分的连续性 134
31.3 重积分的连续性 137
31.4 曲面积分的连续性 138
31.5 积分号下取极限 141
31.6 磨光法的应用 147
31.7 重积分变量替换公式证明完成（C1条件下） 151
第32讲 广义重积分 160
32.1 广义二重积分概念 160
32.2 收敛性蕴涵绝对收敛性 161
32.3 典型例子与收敛定理 164
32.4 化为累次积分 166
第33讲 微分流形 174
33.1 拓扑空间 174
33.2 连通性、紧性、分离性和可分性 177
33.3 微分流形 180
33.4 单位分解 184
第34讲 流形上的微积分 185
34.1 回顾欧氏空间中重积分变量替换公式 185
34.2 Rn中在给定点处的 （切）向量 186
34.3 微分流形的切向量和余切向量 188
34.4 可微映射的导射 189
34.5 外代数 194
34.6 切丛的微分结构 196
34.7 流形上的微分形式 198
34.8 单形和链 202
34.9 流形上的积分 207
34.10 流形上的 Stokes定理 208
附录 212
京公网安备 11010102004214号