本书详细介绍动力系统中的一维和多维小除数理论及其应用, 系统收录了作者二十余年的研究成果. 本书内容涉及 Diophantine 数及向量、Brjuno 数及向量、Liouville 数及向量的基本性质; 一维小除数理论在研究解析芽的线性化、平面映射的解析不变曲线、出现在量子力学和组合数论中的泛函微分方程的解析解、广义迭代根问题的诸多方面的应用; 多维小除数理论在研究圆周和环面上的拟周期驱动流的线性化、退化拟周期驱动系统的不变环面的存在性和拟周期分叉、具有拟周期驱动偏微分方程 Liouville 不变环面的保持性以及二维完全共振薛定谔方程拟周期解的构造方面的应用. 本书各章内容自相包含, 理论与应用并重, 便于读者阅读并且使读者尽快地借助小除数理论进入研究动力系统等学科的前沿.
样章试读
目录
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“现代数学基础丛书” 序
前言
第1章 引言 1
1.1 柱面映射的不变曲线 1
1.2 解析映射的线性化 3
1.3 哈密顿系统的不变环 4
第2章 无理数的连分数展开和经典的小除数条件 6
2.1 连分数展开 6
2.1.1 无理数的连分数展开 6
2.1.2 无理数的最佳有理逼近 9
2.2 经典的一维小除数条件 13
2.2.1 Diophantine 数 13
2.2.2 Brjuno 数 16
2.2.3 Pérez-Marco 数 20
2.2.4 条件 H 21
2.2.5 Siegel 引理和 Davie 引理 22
2.2.6 Liouville 数 32
2.2.7 CD-桥 33
2.3 经典的高维小除数条件 34
2.3.1 Diophantine 条件 34
2.3.2 Brjuno 条件 36
2.3.3 Liouville 向量 45
第3章 一维小除数理论的几个应用 49
3.1 解析同胚芽的线性化 49
3.1.1 Siegel 定理 50
3.1.2 Brjuno 定理 52
3.1.3 Yoccoz 定理 53
3.2 一个平面映射的解析不变曲线问题 55
3.2.1 问题的提出 55
3.2.2 辅助方程的解析解 57
3.2.3 解析不变曲线的存在性 62
3.3 Shabat 方程的解析解 64
3.3.1 问题的提出 64
3.3.2 方程(3.3.5) 的解析解 67
3.4 出现在组合数论中的迭代微分方程的解析解 76
3.4.1 问题的提出 76
3.4.2 方程(3.4.7) 的解析解 79
3.4.3 方程(3.4.6) 的解析解 88
3.5 广义迭代根问题的解析解 90
第4章 圆周和环面上拟周期流的线性化 98
4.1 Tm 上的拟周期驱动流的线性化 100
4.1.1 预备知识 100
4.1.2 主要结果及证明 102
4.1.3 主要结果的一个应用 120
4.1.4 附录 122
4.2 圆周上的拟周期驱动流的线性化 124
4.2.1 单频 Liouville 频率的情况 124
4.2.2 多维 Liouville 频率的情况 133
第5章 退化驱动系统的不变环面和拟周期分叉 149
5.1 拟周期驱动斜积映射的抛物不变环 149
5.1.1 预备知识 149
5.1.2 法向一维斜积映射的抛物不变环 152
5.1.3 法向高维斜积映射的抛物不变环 168
5.2 退化拟周期驱动系统的响应解和拟周期分叉 169
5.2.1 预备知识 170
5.2.2 一维退化系统的响应解 172
5.2.3 高维系统的响应解 184
5.2.4 一维系统的退化拟周期分叉 190
5.2.5 哈密顿系统的退化拟周期分叉 198
第6章 具有拟周期驱动偏微分方程的不变环面 212
6.1 不含一次项的驱动波动方程的不变环面 212
6.1.1 主要结果的叙述 212
6.1.2 一个常微分方程的拟周期解 214
6.1.3 波动方程的哈密顿函数设置 217
6.1.4 线性哈密顿系统(6.1.24) 的约化 223
6.1.5 部分 Birkhoff 正规形 245
6.1.6 一个无穷维 KAM 定理 258
6.1.7 主要定理的证明 261
6.2 具有非齐次项的驱动薛定谔方程的不变环面 266
6.2.1 主要结果的叙述 267
6.2.2 一个常微分方程的拟周期解 268
6.2.3 哈密顿函数设置和线性哈密顿系统的约化 274
6.2.4 扰动项的正则性 282
6.2.5 部分 Birkhoff 正规形 284
6.2.6 主要定理的证明 291
6.3 超越多维 Brjuno 频率的驱动梁方程的 Whiskered 环 294
6.3.1 预备知识 295
6.3.2 主要定理 6.3.2 的证明 299
6.3.3 主要结果的证明 320
6.3.4 附录 325
6.4 超越 Brjuno 频率的病态 Boussinesq 方程的响应解 327
6.4.1 预备知识 327
6.4.2 同调方程和它的解 332
6.4.3 KAM 步 342
6.4.4 KAM 步的动机 344
6.4.5 一个有限归纳 345
6.4.6 一个无限归纳 354
6.4.7 收敛性 357
6.4.8 测度估计 358
6.4.9 应用: 定理 6.4.1 的证明 359
6.4.10 附录 367
第7章 二维完全共振薛定谔方程拟周期解的构造 370
7.1 主要结果的叙述 370
7.1.1 切向位置的可容许集 370
7.1.2 主要结果 371
7.2 一个无穷维 KAM 定理 372
7.2.1 泛函知识的预备 372
7.2.2 KAM 定理 374
7.3 定理 7.2.1 的证明 377
7.3.1 KAM 步 378
7.3.2 测度估计 394
7.4 哈密顿公式和部分 Birkhoff 正规形 397
7.4.1 哈密顿公式 397
7.4.2 部分 Birkhoff 正规形 398
7.5 定理 7.1.1 的证明 408
7.5.1 验证(A1) 和(A2) 408
7.5.2 验证(A3) 409
7.5.3 验证(A4),(A5) 和(A6) 421
7.6 可容许集 S 的非空性 422
参考文献 424
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