本书以数值分析原理为纲,以算法设计为本,基于Python语言,详细介绍了原理分析到“自编码”算法设计与应用的过程和思想,旨在提升学生的数值计算和实践编码能力,其数值算法设计思想可迁移到机器学习和深度学习,为学术深造和应用研究奠定科学计算和自编码基础.本书共包含数值分析的12个领域,教师可以根据不同的学习对象和教学目的选择相应的章节.书中计算方法均结合数学原理独立设计算法,并结合经典数值算例辅助学习和理解,且配备了实验题目,使理论与实践、学习与提升相辅相成.
样章试读
目录
- 前言
第1章Python与科学计算基础1
1.1Python语言概述及开发环境1
1.1.1Python语言概述1
1.1.2Python开发环境2
1.2Python基本语法与数值运算4
1.2.1Python基本数值运算4
1.2.2Python控制流程与开方运算迭代法6
1.2.3Python数据结构.10
1.3Python模块化设计与面向对象设计11
1.3.1Python函数与递推计算11
1.3.2Python面向对象的程序设计16
1.4Python面向数组的编程20
1.4.1ndarray对象及矢量化计算20
1.4.2索引与切片25
1.4.3矩阵和向量运算26
1.4.4*单层神经网络示例28
1.5Python符号计算34
1.5.1SymPy符号表达式的定义与操作35
1.5.2SymPy符号微积分与方程求解38
1.5.3SymPy线性代数41
1.6实验内容43
1.7本章小结43
1.8参考文献44
第2章数据插值45
2.1多项式插值46
2.1.1拉格朗日插值46
2.1.2龙格现象51
2.1.3牛顿差商插值与牛顿差分插值53
2.1.4埃尔米特插值58
2.2分段插值60
2.2.1分段线性插值60
2.2.2分段三次埃尔米特插值61
2.3三次样条插值.65
2.4三次均匀B样条插值77
2.5二维插值86
2.5.1分片双线性插值86
2.5.2*二元三点拉格朗日插值91
2.6实验内容96
2.7本章小结97
2.8参考文献98
第3章函数逼近与曲线拟合.99
3.1正交多项式逼近100
3.1.1切比雪夫多项式零点插值逼近100
3.1.2切比雪夫级数逼近104
3.1.3勒让德级数逼近108
3.2最佳逼近多项式111
3.2.1最佳一致逼近多项式111
3.2.2最佳平方多项式逼近117
3.3三角多项式逼近与快速傅里叶变换120
3.3.1三角多项式逼近120
3.3.2快速傅里叶变换124
3.4自适应逼近126
3.4.1自适应分段线性逼近126
3.4.2自适应三次样条逼近130
3.5曲线拟合的最小二乘法133
3.5.1多项式最小二乘曲线拟合133
3.5.2正交多项式最小二乘拟合138
3.6帕德有理分式逼近141
3.7实验内容144
3.8本章小结145
3.9参考文献145
第4章数值积分147
4.1牛顿–科茨积分公式148
4.2复合求积公式150
4.3龙贝格求积公式156
4.4自适应积分方法158
4.5高斯型求积公式161
4.5.1高斯–勒让德求积公式161
4.5.2高斯–切比雪夫求积公式162
4.5.3高斯–拉盖尔求积公式164
4.5.4高斯–埃尔米特求积公式165
4.6离散数据积分167
4.6.1平均抛物插值离散数据积分法167
4.6.2*样条函数插值离散数据积分法169
4.7多重数值积分173
4.7.1自适应复合辛普森多重积分(矩形区域)173
4.7.2高斯–勒让德法求解多重积分(矩形区域)179
4.7.3一般区域的多重积分182
4.8*一般区间的蒙特卡罗高维数值积分法187
4.9实验内容195
4.10本章小结196
4.11参考文献197
第5章数值微分198
5.1有限差分法198
5.1.1中点公式法.198
5.1.2函数形式的三点公式与五点公式法202
5.1.3离散数据形式的三点公式与五点公式法205
5.1.4数值微分的隐式格式208
5.2三次样条函数数值微分211
5.2.1三次样条插值离散数据数值微分法211
5.2.2*三次均匀B样条函数数值微分法.214
5.2.3*自适应三次均匀B样条函数数值微分法218
5.3理查森外推算法220
5.4二阶数值微分224
5.4.1多点公式二阶数值微分法224
5.4.2三次样条插值离散数据二阶数值微分法227
5.4.3*三次均匀B样条函数二阶数值微分法228
5.5实验内容231
5.6本章小结231
5.7参考文献232
第6章解线性方程组的直接方法233
6.1高斯消元法235
6.2矩阵三角分解法243
6.2.1杜利特尔分解(不选主元)243
6.2.2选主元的三角分解法244
6.3平方根分解法248
6.3.1对称正定矩阵的LLT分解法249
6.3.2对称正定矩阵的LDLT分解法249
6.4追赶法253
6.4.1三对角矩阵的高斯消元法254
6.4.2三对角矩阵的杜利特尔分解254
6.4.3三对角矩阵的克劳特分解255
6.5QR分解法259
6.5.1Schmidt正交化法260
6.5.2Householder正交变换法260
6.5.3Givens正交变换法262
6.6实验内容267
6.7本章小结268
6.8参考文献269
第7章解线性方程组的迭代法270
7.1雅可比迭代法与高斯–赛德尔迭代法272
7.2超松弛迭代法278
7.2.1逐次超松弛迭代法278
7.2.2块迭代法.281
7.3共轭梯度法287
7.3.1最速下降法.288
7.3.2共轭梯度法.291
7.3.3预处理共轭梯度法295
7.4*二维泊松方程边值问题稀疏矩阵迭代求解300
7.5实验内容305
7.6本章小结306
7.7参考文献307
第8章非线性方程求根308
8.1区间分割法309
8.2不动点迭代法和加速迭代法313
8.2.1不动点迭代法313
8.2.2艾特肯加速法314
8.2.3斯特芬森加速法314
8.3牛顿法318
8.3.1牛顿法.318
8.3.2牛顿下山法.320
8.3.3重根情形.320
8.4弦截法与抛物线法325
8.4.1弦截法.326
8.4.2抛物线法.328
8.5*代数方程求根的劈因子法331
8.6*逐次压缩牛顿法求解代数方程全部零点334
8.7实验内容337
8.8本章小结338
8.9参考文献339
第9章非线性方程组的数值解法340
9.1迭代初始值的选择问题342
9.2不动点迭代法345
9.3牛顿法347
9.3.1牛顿法与牛顿下山法347
9.3.2离散牛顿法.353
9.3.3牛顿–SOR类方法356
9.4*拟牛顿法360
9.4.1秩1校正拟牛顿法361
9.4.2秩2校正拟牛顿法365
9.5*Levenberg-Marquardt方法373
9.5.1高斯–牛顿法373
9.5.2阻尼最小二乘法376
9.5.3全局化LM法379
9.6*同伦延拓法384
9.7实验内容388
9.8本章小结389
9.9参考文献390
第10章矩阵特征值计算391
10.1求矩阵特征值和特征向量的迭代法391
10.1.1幂法391
10.1.2反幂法.392
10.1.3瑞利商加速幂法396
10.1.4原点平移反幂法399
10.1.5*收缩法求解矩阵全部特征值401
10.2求矩阵全部特征值的正交变换法404
10.2.1Schmidt正交分解QR法404
10.2.2用正交相似变换约化一般矩阵为上海森伯矩阵407
10.2.3上海森伯矩阵QR算法409
10.2.4位移上海森伯矩阵QR算法413
10.3实验内容416
10.4本章小结417
10.5参考文献417
第11章常微分方程初边值问题的数值解法.419
11.1欧拉法420
11.1.1显式欧拉法.420
11.1.2隐式欧拉法.421
11.1.3梯形公式法.422
11.1.4中点欧拉法.422
11.1.5改进的欧拉法423
11.2龙格–库塔方法429
11.2.1龙格–库塔公式430
11.2.2变步长的龙格–库塔方法433
11.3线性多步法.436
11.3.1五种常见线性多步法437
11.3.2预测–校正方法442
11.4*常微分方程边值问题的有限差分法448
11.4.1Dirichlet边值问题448
11.4.2导数边界值问题452
11.5一阶常微分方程组与刚性微分方程456
11.5.1一阶常微分方程组456
11.5.2刚性微分方程461
11.6*常微分方程边值问题的有限元法463
11.6.1Ritz-Galerkin方法464
11.6.2基于分片线性基函数的有限元法467
11.6.3基于三次B样条基函数的有限元法473
11.7实验内容479
11.8本章小结481
11.9参考文献481
第12章偏微分方程数值解法482
12.1双曲型偏微分方程483
12.1.1一阶一维常系数对流方程483
12.1.2一阶二维常系数对流方程489
12.1.3一维二阶齐次波动方程494
12.1.4一维二阶非齐次波动方程497
12.1.5*二维波动方程傅里叶解初探502
12.2抛物型偏微分方程505
12.2.1一维齐次热传导方程505
12.2.2一维非齐次热传导方程509
12.2.3对流扩散方程516
12.2.4二维热传导方程523
12.2.5*二维热传导方程傅里叶解初探531
12.3椭圆型偏微分方程535
12.3.1拉普拉斯方程超松弛迭代法求解535
12.3.2泊松方程超松弛迭代求解538
12.3.3泊松方程三对角块矩阵求解541
12.3.4*泊松方程的傅里叶解初探546
12.4实验内容547
12.5本章小结548
12.6参考文献549
第13章数值优化.550
13.1单变量函数的极值550
13.1.1黄金分割搜索550
13.1.2斐波那契搜索553
13.1.3求函数极值的逼近方法555
13.2Nelder-Mead方法和Powell方法561
13.2.1Nelder-Mead方法.561
13.2.2Powell方法565
13.3梯度法和牛顿法571
13.3.1梯度法.571
13.3.2牛顿法.574
13.4*拟牛顿法579
13.4.1DFP算法.579
13.4.2BFGS算法582
13.5*现代优化算法585
13.5.1模拟退火算法585
13.5.2遗传算法.590
13.5.3蚁群算法.598
13.6实验内容603
13.7本章小结604
13.8参考文献605
京公网安备 11010102004214号