本书主要介绍了现代随机过程理论中一些经典的理论, 内容包括预备知识、随机过程的基本概念、泊松过程、布朗运动、马尔可夫链、更新过程、鞅与停时、随机积分与随机微分方程以及它们在破产理论和金融衍生产品定价方面的应用. 本书选材精简实用, 内容安排得当, 论述简洁明了,语言自然流畅, 具有很好的可读性. 此外, 每小节之后基本都配有精选的练习题, 便于读者掌握和巩固知识, 每章还配有电子课件, 扫描二维码可以反复学习.
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目录
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前言
第1章 预备知识 1
1.1 概率及其基本性质 1
1.1.1 概率空间 1
1.1.2 概率连续性 3
1.1.3 条件概率及相关公式 5
习题1.1 6
1.2 随机变量及其数字特征 6
1.2.1 随机变量及其分布 6
1.2.2 黎曼–斯蒂尔切斯积分 10
1.2.3 数字特征 13
1.2.4 矩母函数与特征函数 15
习题1.2 17
1.3 条件数学期望 17
1.3.1 条件数学期望的概念 17
1.3.2 条件数学期望的性质 21
习题1.3 22
1.4 常用的极限定理 23
第2章 随机过程初步 26
2.1 随机过程的基本概念 26
2.1.1 随机过程的定义 26
2.1.2 有限维联合分布函数族和数字特征 27
2.1.3 平稳过程 29
2.1.4 独立平稳增量过程 30
2.1.5 马尔可夫过程 32
习题2.1 32
2.2 泊松过程 33
2.2.1 泊松过程的概念 33
2.2.2 指数流与泊松过程 37
2.2.3 指数流的条件分布 42
2.2.4 剩余寿命与年龄 45
2.2.5 泊松过程常见的推广 47
习题2.2 54
2.3 布朗运动 56
2.3.1 布朗运动的概念 .56
2.3.2 首中时 59
2.3.3 反正弦律 61
2.3.4 布朗运动的几种变化 62
习题2.3 65
第3章 马尔可夫链 66
3.1 马尔可夫链及其转移概率 66
3.1.1 基本概念 66
3.1.2 查普曼–科尔莫戈罗夫方程 68
习题3.1 71
3.2 状态的分类及其性质 72
3.2.1 互通 72
3.2.2 常返与非常返状态 73
3.2.3 周期性 77
3.2.4 正常返和零常返状态 78
习题3.2 80
3.3 状态空间的分解 81
3.3.1 闭集 81
3.3.2 分解定理 82
习题3.3 85
3.4 极限定理与平稳分布 86
3.4.1 极限定理 86
3.4.2 平稳分布 89
习题3.4 94
3.5 连续时间马尔可夫链 95
3.5.1 概念和基本性质 95
3.5.2 转移概率的性质 97
3.5.3 科尔莫戈罗夫向前–向后微分方程 99
习题3.5 101
第4章 更新过程 103
4.1 更新过程的概念 103
4.1.1 更新过程的定义 103
4.1.2 更新次数的极限 104
4.1.3 卷积及其性质 105
4.1.4 更新函数及其基本性质 107
习题4.1 109
4.2 更新方程和更新定理 109
4.2.1 更新方程及其基本性质 109
4.2.2 更新定理 112
习题4.2 117
4.3 更新过程的推广 118
4.3.1 交替更新过程 118
4.3.2 延迟更新过程 119
4.3.3 更新回报过程 120
习题4.3 123
第5章 鞅与停时 124
5.1 鞅的基本概念 124
5.1.1 鞅的概念与举例 124
5.1.2 上鞅与下鞅 128
5.1.3 鞅的分解定理 130
5.1.4 关于鞅的两个不等式 132
习题5.1 133
5.2 停时与停时定理 134
5.2.1 停时的概念 135
5.2.2 停时定理 135
5.2.3 停时定理的补充 140
习题5.2 141
5.3 鞅收敛定理 142
5.3.1 上穿不等式 142
5.3.2 鞅收敛定理 144
习题5.3 147
5.4 连续鞅初步 147
习题5.4 149
第6章 随机积分与随机微分方程 150
6.1 伊藤积分的定义 150
6.1.1 布朗运动轨道的性质 150
6.1.2 简单过程的伊藤积分 152
6.1.3 适应过程的伊藤积分 155
习题6.1 158
6.2 伊藤积分过程 158
6.2.1 伊藤积分的鞅性 159
6.2.2 伊藤积分的二次变差和协变差 160
6.2.3 伊藤积分与高斯过程 161
习题6.2 162
6.3 伊藤公式 163
6.3.1 关于布朗运动的伊藤公式 163
6.3.2 伊藤过程与随机微分 165
6.3.3 关于伊藤过程的伊藤公式 168
习题6.3 172
6.4 随机微分方程 173
6.4.1 随机微分方程的定义 173
6.4.2 随机指数和对数 176
6.4.3 线性随机微分方程的解 178
6.4.4 随机微分方程解的存在唯一性 180
习题6.4 181
第7章 随机过程在金融保险中的应用举例 182
7.1 破产理论 182
7.1.1 风险过程与破产概率的相关概念 182
7.1.2 安全负荷与调节系数 184
7.1.3 破产概率的估计 187
习题7.1 190
7.2 金融衍生产品的定价 190
7.2.1 金融术语和基本假定 190
7.2.2 定价方法 192
习题7.2 194
习题参考答案 195
参考文献 224
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