本书以力学分析中的对称性和守恒律为中心，从基本概念出发，结合实际应用，系统地、深入浅出地介绍了对称性和守恒律的主要内容。本书首先由变分原理和Euler-Lagrange方程引出对称性和守恒律中常用的微分算子，作为后续分析的预备知识。后续内容主要分为三部分：第一部分详细介绍了微分方程（组）中Lie对称、Noether守恒律和Ibragimov守恒律的基本知识；第二部是第一部分的推广，研究了扰动微分方程（组）的近似Lie对称性、近似Noether守恒律和近似Ibragimov守恒律，此外还简要介绍了势对称和近似势对称；第三部分通过大量应用实例，介绍了对称性和守恒律在弹性力学、流体力学、一般力学和数学物理方程等领域中的应用。
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丛书序
前言
第1章 变分原理、Euler-Lagrange方程与微分算子 1
1.1 变分原理与泛函 1
1.2 Euler-Lagrange方程 2
1.2.1 一阶泛函的驻立值问题 2
1.2.2 高阶泛函的驻立值问题 4
1.3 微分算子 6
1.3.1 全微分算子 6
1.3.2 Euler-Lagrange算子 7
第2章 常微分方程的Lie 对称分析 10
2.1 单参数Lie变换群及其延拓 10
2.1.1 单参数Lie变换群 10
2.1.2 无穷小生成元 14
2.1.3 正则坐标 16
2.1.4 对称性 17
2.1.5 无穷小生成元的延拓 18
2.2 Lie代数 24
2.2.1 Lie代数与Lie括号 24
2.2.2 Lie代数的性质 25
2.2.3 可解Lie代数 28
2.3 正则变量方法求解微分方程 29
2.3.1 正则变量方法 29
2.3.2 求解微分方程步骤 30
2.4 微分方程的对称性 34
2.4.1 微分方程的对称性定理 34
2.4.2 一阶微分方程的决定方程 35
2.4.3 二阶微分方程的决定方程 37
2.5 Lie-B.cklund算子 41
2.6 Lie-B.cklund代数 45
2.7 Lie-B.cklund对称性.50
2.7.1 扩展标架 50
2.7.2 Lie-B.cklund对称性表达式 51
2.8 多参数Lie变换群及其延拓 56
2.8.1 多参数Lie变换群及其无穷小生成元 56
2.8.2 双参数Lie变换群无穷小生成元的延拓 57
2.9 基于符号计算系统的Lie对称分析 60
2.9.1 符号计算系统 60
2.9.2 常用符号计算软件 61
第3章 偏微分方程组的Lie对称分析 63
3.1 单参数Lie变换群及其延拓 63
3.1.1 单参数Lie变换群 63
3.1.2 无穷小生成元 66
3.1.3 无穷小生成元的延拓 68
3.2 方程组的对称性 77
3.3 微分方程组的对称性 80
3.4 Lie-B.cklund算子与代数 83
3.4.1 Lie-B.cklund算子 83
3.4.2 Lie-B.cklund代数 86
3.5 Lie-B.cklund对称性 87
3.6 多参数Lie变换群及其延拓 94
3.6.1 多参数Lie变换群及其无穷小生成元 94
3.6.2 双参数Lie变换群无穷小生成元的延拓 95
第4章 Noether守恒律 99
4.1 具有单变量的物理系统的Noether守恒律 100
4.1.1 单变量情形下的Euler-Lagrange方程 100
4.1.2 单变量情形下的Noether守恒律及其证明 100
4.2 具有多变量的物理系统的Noether守恒律 114
4.2.1 多变量情形下的Euler-Lagrange方程 114
4.2.2 多变量情形下的Noether守恒律及其证明 115
4.2.3 关于部分/全表面边界条件的讨论 130
4.3 双参数变换群条件下的Noether守恒律 132
4.3.1 双参数单变量Noether定理 132
4.3.2 双参数多变量Noether定理 135
第5章 Ibragimov守恒律140
5.1 伴随算子与伴随方程（组） 140
5.1.1 伴随算子 140
5.1.2 伴随方程——线性微分方程 142
5.1.3 伴随方程组——非线性微分方程组 148
5.2 伴随方程（组）的对称性 150
5.2.1 微分方程情形 150
5.2.2 微分方程组情形 155
5.3 Ibragimov守恒律表达式156
5.4 双参数变换群条件下的Ibragimov守恒律 159
第6章 近似Lie对称性 164
6.1 近似Lie代数 164
6.1.1 近似Lie代数的定义 164
6.1.2 近似对称的代数性质 165
6.1.3 近似不变量 167
6.2 近似算子与算子近似阶次确定 168
6.2.1 近似Lie算子与近似Lie-B.cklund算子 168
6.2.2 算子近似阶次确定 169
6.3 微分方程（组）近似Lie对称的性质 174
6.4 方程组的近似Lie对称性 176
6.5 微分方程组的近似Lie对称性 179
6.5.1 微分方程组近似Lie对称性证明 179
6.5.2 近似Lie算子的延拓 183
6.6 近似Lie-B.cklund算子与对称性 185
6.6.1 近似Lie-B.cklund算子的延拓 186
6.6.2 近似Lie-B.cklund对称性 186
第7章 近似Noether守恒律 194
7.1 近似Noether算子与算子近似阶数确定 194
7.1.1 近似Noether算子 194
7.1.2 算子近似阶次确定 195
7.2 近似Noether守恒律及其求解方法 199
7.2.1 部分Lagrange函数 199
7.2.2 近似Noether守恒律表达式 200
7.2.3 求解方法总结 201
第8章 近似Ibragimov守恒律 202
8.1 伴随方程（组）的对称性 202
8.1.1 伴随方程组 202
8.1.2 微分方程情形 203
8.1.3 微分方程组情形 206
8.2 近似Ibragimov守恒律表达式 209
第9章 势对称与近似势对称 212
9.1 势对称含义 212
9.2 微分方程的势对称 212
9.2.1 偏微分方程的势对称 213
9.2.2 常微分方程的势对称 218
9.2.3 原方程和辅助系统的Lie对称变换 220
9.2.4 守恒形式 220
9.3 微分方程的近似势对称 221
第10章 弹性力学中的应用 224
10.1 杆的平衡方程的守恒律 224
10.2 梁的平衡方程的守恒律 226
10.3 平面问题的位移法方程的对称性和守恒律 229
10.3.1 Lie对称性 230
10.3.2 Noether守恒律 234
10.4 三维问题的位移法方程的对称性 237
10.5 疲劳裂纹扩展方程的对称性和守恒律 246
10.5.1 Lie对称性 247
10.5.2 Lie-B.cklund对称性 248
10.5.3 Noether守恒律 250
10.5.4 Ibragimov守恒律 250
10.6 功能梯度材料的路径无关积分与裂纹扩展力 251
10.6.1 均质材料平面问题的守恒律 252
10.6.2 功能梯度材料的路径无关积分 254
10.6.3 裂纹扩展力 256
10.7 物理平面上解析函数的守恒积分及其应用 257
10.7.1 解析函数的守恒积分 257
10.7.2 关于守恒积分的讨论 262
10.7.3 平面弹性体裂纹的守恒积分 263
10.8 V型平面缺口问题中的守恒积分及其应用 265
10.8.1 基于平面弹性力学复势理论的Lagrange函数 266
10.8.2 基于Noether定理的守恒律 269
10.8.3 在V型缺口问题中的应用 271
10.9 纵向剪切问题中V型缺口的守恒积分及其应用 276
10.9.1 Lie对称分析 277
10.9.2 守恒积分 281
10.9.3 在尖锐V型缺口问题中的应用 283
第11章 流体力学中的应用 292
11.1 KdV方程的变分对称性 292
11.2 KdV方程的高阶对称性 294
11.2.1 伴随方程与Lagrange函数 294
11.2.2 守恒律 295
11.3 扰动KdV方程的高阶近似对称性 301
11.4 mKdV方程的Ibragimov守恒律 305
11.4.1 Ibragimov守恒律 305
11.4.2 微分Lagrange算子方法 .308
11.5 Maxwell分布的Ibragimov守恒律 310
11.6 Navier-Stokes系统的Ibragimov 守恒律 312
第12章 一般力学中的应用 316
12.1 三维情况质点系统的守恒定律 316
12.1.1 时间平移不变性——能量守恒 321
12.1.2 空间平移不变性——动量守恒 321
12.1.3 空间旋转不变性——角动量守恒 322
12.2 自由落体运动的守恒律 323
12.3 一维阻尼振子的守恒律 325
12.4 一维运动方程的Ibragimov守恒律 325
12.5 两质点系统扰动方程的近似对称性和守恒律 327
12.5.1 近似Lie对称性 328
12.5.2 近似Noether对称性 331
12.5.3 近似Ibragimov守恒律 333
12.6 含扰动结构动力响应方程的近似对称性和守恒律 334
12.6.1 近似Lie对称性 335
12.6.2 近似Noether守恒律 343
12.7 非线性振动方程的对称性和守恒律 348
12.7.1 一般形式非线性振动方程的对称性和守恒律 348
12.7.2 Duffing振动方程的对称性和守恒律 356
12.7.3 Duffing振动方程的分叉现象 362
12.7.4 Duffing振动方程的守恒律和分叉现象的关系 364
12.8 颤振方程的对称性和守恒律 364
12.8.1 线性气动力和力矩 365
12.8.2 非线性气动力和力矩 374
第13章 数学物理方程中的应用 380
13.1 热传导方程的Ibragimov守恒律 380
13.1.1 伴随方程与Lagrange函数 380
13.1.2 守恒律 381
13.2 非线性热传导方程的Ibragimov守恒律 385
13.2.1 伴随方程与Lagrange函数 385
13.2.2 守恒律 390
13.3 非线性热传导方程的势对称 393
13.4 Burger方程的势对称 394
13.5 非均匀介质中波动方程的势对称 395
13.6 非均匀介质中扰动波动方程的近似势对称 398
13.7 带有扰动对流项的非线性扩散方程的近似势对称 401
13.8 Duffing方程的Lie对称性 404
13.8.1 确定性外力 405
13.8.2 均值为0的随机外力 408
13.9 Van der Pol方程的Lie对称性 411
13.9.1 确定性外力 412
13.9.2 均值为0的随机外力 414
13.10 布朗运动的Lie对称性 418
13.10.1 无其他外力 419
13.10.2 特殊外力 422
13.11 扰动线性波方程的近似守恒律 425
13.11.1 近似Noether守恒律 425
13.11.2 近似Ibragimov守恒律 429
13.12 扰动非线性波方程的近似Noether守恒律 433
参考文献 438
索引 447
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