本书是作者在新加坡国立大学、北京大学和中国科学院大学为本科高年级学生开设的数理逻辑选修课和在新加坡国立大学、中国科学院数学与系统科学研究院为研究生开设的专业课程所写讲义基础上整理出来的结果。本书主要由一阶逻辑的核心内容和有关数的逻辑探索和分析两大部分组成，其中包括完备性、紧致性、同质缩小、型省略等基本定理；有关数的经典理论的完全性和可定义性分析；哥德尔不完全性定理、丘奇不可判定性定理、塔尔斯基自然数标准模型真相不可定义性定理以及巴黎-哈灵顿不完全性定理。
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《现代数学基础丛书》序
序言
第0章 引言 1
第1章 命题逻辑 10
1.1 基本问题 10
1.2 命题表达式 12
1.3 逻辑赋值与可满足性 14
1.4 布尔函数可表示性 16
1.5 可证明性与一致性 19
1.6 形式证明的几组例子 22
1.7 完备性 28
1.8 第一完备性证明 30
1.9 命题逻辑紧致性 34
1.10 命题范式 35
1.11 命题逻辑与布尔代数 38
1.12 练习 40
第2章 一阶语言和一阶结构 43
2.1 一组经典例子 43
2.2 一阶语言 44
2.2.1 符号 44
2.2.2 项 45
2.2.3 表达式 47
2.2.4 自由变元和受囿变元 50
2.2.5 替换与可替换性 51
2.3 一阶结构 52
2.3.1 项赋值 53
2.3.2 满足关系 54
2.3.3 局部确定性定理 55
2.3.4 替换定理 59
2.3.5 缩写表达式 68
2.4 几个一阶语言和结构的例子 69
2.5 数与数的集合 79
2.5.1 自然数 81
2.5.2 整数 84
2.5.3 有理数 85
2.5.4 实数 86
2.5.5 复数 91
2.6 练习 91
第3章 一阶结构之同构、同样与同质 93
3.1 预备知识：可数与不可数 93
3.2 一阶结构之同构与同样 95
3.2.1 有理数轴 95
3.2.2 同构 100
3.2.3 同样 103
3.3 可定义性 104
3.3.1 可定义性 104
3.3.2 不变性 107
3.3.3 实数轴区间定理 108
3.4 同质子结构 110
3.4.1 子结构、扩充结构与裁减结构 110
3.4.2 结构元态与全息图 112
3.4.3 同质子结构 112
3.4.4 同质与同样 113
3.4.5 塔尔斯基判定准则 114
3.4.6 实数轴同质子轴 116
3.4.7 同质缩小定理 117
3.4.8 稠密线性序 120
3.4.9 嵌入与同质嵌入 120
3.5 练习 123
第4章 逻辑推理与逻辑结论 128
4.1 逻辑推理 128
4.1.1 逻辑公理 128
4.1.2 推理 129
4.2 推理细致分析定理 130
4.2.1 演绎定理 130
4.2.2 全体化定理 133
4.2.3 常元省略定理 133
4.2.4 等式定理 136
4.3 逻辑结论 138
4.3.1 可满足性 138
4.3.2 真实性与模型 138
4.3.3 逻辑结论 140
4.3.4 基本问题 141
4.3.5 范例 141
4.4 一阶逻辑系统之完备性 149
4.4.1 可靠性定理 149
4.4.2 哥德尔完备性定理 152
4.4.3 极大一致性 152
4.4.4 自显存在特性 153
4.4.5 可满足性定理 155
4.4.6 扩展定理 164
4.4.7 节省常元方法 166
4.5 LA-哥德尔完备性定理 168
4.5.1 谓词符省略引理 169
4.5.2 函数符省略引理 169
4.5.3 无关符号忽略定理 170
4.5.4 前束范式 171
4.6 练习 176
第5章 同质放大模型 178
5.1 紧致性定理 178
5.1.1 关于有限之概念 178
5.1.2 关于秩序之概念 182
5.2 同质放大定理 182
5.3 第二紧致性定理 184
5.4 超积和超幂 186
5.4.1 超滤子存在定理 186
5.4.2 超积与超幂 187
5.4.3 超积基本定理 189
5.4.4 超积构造六例 191
5.5 同质放大链 193
5.6 练习 199
第6章 完全性与模型完全性 202
6.1 完全性 202
6.1.1 等势同构 205
6.1.2 有理数区间代数理论 206
6.1.3 可数广集模型 209
6.2 量词消去 210
6.2.1 完全性充分条件 213
6.2.2 Todl适合量词消去 214
6.3 子结构完全性 222
6.3.1 Todl具备子结构完全性 226
6.3.2 TdBA具备子结构完全性 227
6.4 模型完全性 228
6.4.1 量词简化 231
6.4.2 模型完全性与*2-理论 236
6.5 练习 237
第7章 可数模型 240
7.1 类型排斥定理 240
7.1.1 类型 240
7.1.2 接纳与排斥 242
7.1.3 例子 246
7.1.4 根本型 248
7.1.5 局部排斥型 249
7.1.6 型排斥定理 251
7.2 可数等势同构类型特征 256
7.2.1 可数等势同构特征定理 256
7.2.2 可数模型的个数与Vaught猜想 261
7.3 类型空间 261
7.3.1 稳定性 263
7.3.2 型与超滤子 265
7.4 饱和模型 268
7.4.1 有理数轴饱和性 268
7.4.2 饱和结构 270
7.4.3 可数饱和模型 271
7.4.4 w1-饱和结构 277
7.5 基本模型 279
7.6 极度自同构模型 287
7.6.1 非刚性与无差别元集 287
7.6.2 自然数集合划分定理 289
7.6.3 无穷无差别元子集模型定理 293
7.6.4 内置斯科伦函数与斯科伦闭包 294
7.7 练习 298
第8章 代数封闭域理论 301
8.1 代数封闭域同构分类 301
8.2 代数封闭域适合消去量词 302
8.3 ACF子结构完全性 307
8.4 代数封闭域饱和特性 308
8.5 复数域与特征为素数的代数封闭域 310
8.6 练习 313
第9章 实封闭域理论 315
9.1 实数域公理化 315
9.2 实封闭域理论与有序实封闭域理论 320
9.3 有序实封闭域理论适合消去量词 323
9.4 实封闭域模型完全性 325
9.5 半代数子集 327
9.6 练习 334
第10章 有理数加法算术理论 336
10.1 有理数加法群理论 336
10.1.1 公理刻画Tdag 336
10.1.2 Tdag-完全性 337
10.1.3 Tdag强极小性 342
10.1.4 T1dag-理论 342
10.1.5 序可定义性问题 343
10.2 有理数有序加法群理论 345
10.2.1 公理刻画Todag 345
10.2.2 Todag-完全性 347
10.2.3 Todag-序极小性 349
10.3 练习 350
第11章 整数加法算术理论 352
11.1 多种整数加法算术理论 352
11.1.1 六个结构 352
11.1.2 三种公理化 353
11.2 强整数加法群理论 356
11.2.1 特征0模数同余加法群理论 356
11.2.2 整数序不可定义性 361
11.3 整数有序强加法群理论 362
11.3.1 有序模数同余加法群理论 362
11.4 普瑞斯柏格算术理论 369
11.4.1 初等整数有序加法理论TI 369
11.4.2 非标准模型Z0 370
11.4.3 普瑞斯柏格算术理论Tpr 371
11.4.4 Tpr之保守扩充 372
11.5 练习 378
第12章 自然数序理论与有序加法理论 381
12.1 自然数序理论 381
12.1.1 自然数序公理化 381
12.1.2 半整齐模型 384
12.1.3 自然数序之饱和模型 390
12.1.4 自然数序理论完全性 395
12.2 自然数有序加法理论 399
12.2.1 有序强加法幺半群理论 399
12.2.2 有序模数同余加法幺半群理论 400
12.2.3 保守扩充Toasg 411
12.3 练习 411
第13章 自然数算术理论 415
13.1 初等数论 416
13.1.1 初等数论之不完全性 416
13.1.2 TN与自然数*1真相 419
13.1.3 *1真相定理之形式证明 424
13.2 哥德尔第一不完全性定理 430
13.2.1 序列数 432
13.2.2 符号数与表示数 435
13.2.3 基本逻辑概念表示 437
13.2.4 逻辑公理谓词 439
13.2.5 可计算性与递归函数 443
13.2.6 有效公理化与可判定性 449
13.2.7 可表示性 451
13.2.8 哥德尔不动点引理 456
13.2.9 哥德尔第一不完全性定理 457
13.2.10 不可判定性与真相不可定义性 459
13.3 哥德尔第二不完全性定理 460
13.3.1 依定义扩充 461
13.3.2 皮阿诺算术理论递归扩充 468
13.3.3 TPA递归扩充之*1-完全性 477
13.3.4 PAf知道TPA之*1完全性 480
13.3.5 一个不可被TPA所证明的*1真语句 483
13.3.6 形式化PAf之证明 485
13.4 巴黎-哈灵顿划分原理之独立性 488
13.4.1 自然数压缩写像划分原理 488
13.4.2 拉姆齐有限划分定理 492
13.4.3 皮阿诺算术模型中无差别元子集 493
13.4.4 巴黎-哈灵顿划分原理独立于皮阿诺算术理论 497
13.5 练习 499
索引 502
《现代数学基础丛书》已出版书目 511
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