本书是系统地介绍各类多维奇异积分的高精度算法的专著.全书共5章：第1章介绍面型与点型奇异积分（包括弱奇异、Cauchy强奇异、Hadamard超奇异积分）的概念与存在条件及一些基本性质，并介绍各类奇异积分算子的定义和基本性质；第2章简略介绍正常积分的数值方法和加速收敛方法；第3章主要论述一维各类奇异积分与含参数的奇异积分的高精度算法以及各类奇异积分的加速收敛方法,同时给出了外推的稳定性分析；第4章主要论述各类多维奇异积分与含参的奇异积分的高精度算法以及各类奇异积分的加速收敛方法；第3、4章是本书的核心内容；第5章介绍奇异积分与奇异积分算子的渐近展开式.本书取材新颖，算例翔实，所提供的算法具有计算复杂度低、精度高、并行度高和拥有后验误差估计等特点.
样章试读
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第1章 奇异积分与奇异积分算子 1
1.1 奇异积分 1
1.1.1 无穷限广义积分 1
1.1.2 无界函数广义积分 5
1.1.3 含参变量的广义积分 7
1.1.4 一维Cauchy强奇异主值积分 16
1.1.5 多维Cauchy强奇异主值积分 21
1.1.6 一维Hadamard超奇异积分与Hadamard意义下的有限部分 23
1.1.7 多维Hadamard超奇异积分的有限部分 26
1.2 积分变换 28
1.2.1 Fourier变换与Fourier积分 28
1.2.2 Laplace变换与逆变换 33
1.2.3 Mellin变换与逆变换 35
1.3 奇异积分算子 36
1.3.1 有界算子和紧算子 36
1.3.2 弱奇异积分算子 38
1.3.3 Volterra型积分算子 42
1.3.4 一维Cauchy强奇异积分算子 44
1.3.5 多维Cauchy强奇异积分算子 47
1.3.6 Hadamard超奇异积分算子 55
1.3.7 拟微分算子(PDO)中的变量替换 59
第2章 数值积分 63
2.1 一维积分的数值算法 63
2.1.1 求积公式与求积法 63
2.1.2 Newton-Cotes公式 65
2.1.3 复合型求积公式 70
2.1.4 Euler-Maclaurin展开式 72
2.1.5 Gauss求积公式 78
2.2 多维积分的数值算法 82
2.2.1 乘法定理 82
2.2.2 多维近似积分的降维方法 83
2.2.3 多维Euler-Maclaurin展开式 89
2.2.4 被积函数的周期化 96
2.3 加速收敛方法 100
2.3.1 自变量替换 100
2.3.2 Richardson外推与Romberg算法 106
2.3.3 分裂外推法 109
2.3.4 加速收敛的组合算法 113
第3章 一维奇异积分的高精度算法 116
3.1 一维弱奇异积分的误差的渐近展开式 116
3.1.1 一维端点弱奇异积分的求积公式与误差的渐近展开式 116
3.1.2 一维含参弱奇异积分的误差渐近展开式 125
3.1.3 一维弱奇异积分的积积法 128
3.1.4 端点弱奇异积分的计算 129
3.2 一维Cauchy奇异积分的定义与计算 132
3.2.1Cauchy奇异积分的定义与运算规律 132
3.2.2Cauchy奇异积分的计算公式 133
3.2.3 含有弱奇异与Cauchy奇异积分的计算 138
3.3 一维Cauchy奇异积分的高精度算法 142
3.3.1 定点在区间内的Cauchy奇异积分的误差渐近展开式 142
3.3.2 端点弱奇异与内点为Cauchy奇异积分的误差渐近展开式 145
3.3.3 内点为Cauchy奇异积分的加速收敛方法 148
3.3.4 端点弱奇异与内点为Cauchy奇异积分的加速收敛方法 150
3.4 一维含参的Cauchy奇异积分的高精度算法 151
3.4.1 含参的Cauchy奇异积分的误差渐近展开式 151
3.4.2 带权的含参的Cauchy奇异积分的数值算法 154
3.4.3 含参的Cauchy奇异积分的加速收敛方法 163
3.4.4 端点弱奇异与含参的Cauchy奇异积分的加速收敛方法 165
3.5 一维Hadamard超奇异积分的计算 169
3.5.1 Hadamard超奇异积分的定义与一些运算性质 169
3.5.2 Hadamard超奇异积分的常用公式 172
3.5.3 混合超奇异积分的计算 177
3.5.4 高阶超奇异积分的计算 179
3.6 二阶Hadamard超奇积分的高精度算法 184
3.6.1 内点为奇点的Hadamard超奇异积分的误差渐近展开式 185
3.6.2 端点弱奇异与内点为超奇异积分的加速收敛方法 186
3.7 端点为任意阶的超奇异积分的误差渐近展开式 191
3.7.1 定义在[0,∞)上的超奇异积分误差的渐近展开式 191
3.7.2 发散积分的有限部分 196
3.7.3 定义在[0,∞)上的强奇异与超奇积分的Euler-Maclaurin展开式 199
3.7.4 有限区间上端点为强奇异与超奇异积分的Euler-Maclaurin展开式 201
3.8 含参的任意阶超奇异积分的高精度算法 205
3.8.1 含参的任意阶超奇积分的误差渐近展开式 205
3.8.2 数值算例 212
3.8.3 含参的任意阶超奇异积分的加速收敛方法 216
3.8.4 用Newton-Cote公式计算超奇异积分的超收敛算法 220
3.9 含参的任意阶超奇异积分的误差渐近展开式 (续) 232
3.9.1 含参的整数阶超奇异积分的Euler-Maclaurin渐近展开式 232
3.9.2 含参的分数阶超奇异积分的Euler-Maclaurin渐近展开式 235
3.9.3 外推算法 239
3.9.4 数值算例 243
3.10 弱、强、超混合型奇异积分的高精度算法 250
3.10.1 端点为混合乘积型奇异积分的Euler-Maclaurin展开式 250
3.10.2 含参的任意阶混合乘积型奇异积分的Euler-Maclaurin展开式 264
3.10.3 含参的二阶混合乘积型奇异积分的Euler-Maclaurin展开式 267
3.10.4 含参的混合乘积型奇数阶奇异积分的Euler-Maclaurin展开式 276
3.10.5 算例 278
3.10.6 弱、强、超奇异积分的线性组合的高精度算法 280
3.11 无界区域上奇异积分的高精度算法 289
3.11.1 无界区域上的奇异积分的求积公式 290
3.11.2 无界区间上的插值型求积公式 295
3.11.3 无界区间上的Gauss求积公式 297
3.12 关于强、超奇异数值积分的Richardson外推的稳定性分析 301
3.12.1 Richardson 外推的稳定性分析 301
3.12.2 关于Q(k)n[g]的Richardson外推的稳定性分析 305
3.12.3 被积函数为周期函数的数值算法的稳定性分析 309
第4章 多维奇异积分的误差多参数渐近展开式与分裂外推算法 312
4.1 点型弱奇异积分的误差单参数渐近展开式 312
4.1.1 点型弱奇异积分的误差单参数Euler-Maclaurin展开式 313
4.1.2 点型弱奇异积分的快速收敛方法 319
4.2 二维乘积型含参弱奇异积分的误差多参数渐近展开式 327
4.3 多维弱奇异积分误差的多参数渐近展开式 333
4.3.1 代数弱奇异积分的误差多参数渐近展开式 333
4.3.2 对数弱奇异积分的误差多参数渐近展开式 340
4.3.3 面型弱奇异积分的误差多参数渐近展开式 341
4.3.4 混合型弱奇异积分的数值算法 345
4.4 多维含参的弱奇异积分的误差多参数渐近展开式 349
4.4.1 含参的点型弱奇异积分的误差多参数渐近展开式 349
4.4.2 多维单纯形区域上的弱奇异积分的数值方法 353
4.4.3 多维曲边形区域上的弱奇异积分的数值方法 356
4.4.4 多维一般区域上的弱奇异积分的数值方法 357
4.4.5 分裂外推算法 358
4.5 二维含参的Cauchy奇异积分的高精度算法 370
4.5.1 含参的点型Cauchy奇异积分的误差多参数渐近展开式 371
4.5.2 含参的面型Cauchy奇异积分的误差多参数渐近展开式 379
4.5.3Cauchy奇异积分的分裂外推算法 380
4.5.4 含参的点型Cauchy奇异积分的分离算法 387
4.6 多维超球形区域上的Cauchy奇异积分的分离算法 396
4.7 二维混合超奇异积分的误差渐近展开式 397
4.7.1 原点为奇点的超奇异积分的误差的单参数渐近展开式 398
4.7.2 原点为奇点的超奇异积分的误差多参数渐近展开式 413
4.7.3 含参的点型超奇异积分的误差多参数渐近展开式 419
4.8 面型超奇异积分的误差多参数渐近展开式 421
4.8.1 原点为奇点的面型超奇异积分的误差的多参数渐近展开式 422
4.8.2 含参的乘积型超奇异积分的误差多参数渐近展开式 439
4.9 多维点型超奇异积分的求积公式与误差多参数渐近展开式 443
4.9.1 原点为奇点的超奇异积分的误差多参数渐近展开式 446
4.9.2 含有对数奇异与超奇异积分的误差多参数渐近展开式 450
4.9.3 含参的超奇异积分的误差多参数渐近展开式 451
第5章 奇异积分的渐近展开式 458
5.1 基本概念与基本定理 458
5.2 基本方法 461
5.2.1 分部积分法 461
5.2.2 逐项积分法 464
5.2.3 Laplace方法 468
5.2.4 平稳相位法 474
5.2.5 Mellin变换法 479
5.2.6 求积法 491
5.3 几类典型奇异积分的渐近展开式 496
5.3.1 对数奇异积分的渐近展开式 496
5.3.2 Fourier积分的渐近展开式 501
5.3.3 Stieltjes变换与Hilbert 变换 512
5.3.4 分数阶积分的渐近展开式 519
5.3.5Cauchy奇异与Hadamard奇异积分算子 521
参考文献 523
索引 539
《信息与计算科学丛书》已出版书目 541
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