本书比较全面地介绍科学与工程计算中常用的数值分析方法，介绍这些计算方法的基本理论与实际应用，同时对这些数值计算方法的计算效果、稳定性、收敛效果、适用范围以及优劣性与特点也作了简要的分析。本书基本概念清晰，语言叙述通俗易懂，理论分析严谨，结构编排由浅入深，在分析问题时注重启发性，例题选择具有针对性，注重实际应用。各章附有一定数量的习题，供读者学习时进行练习。
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目录
前言第 1章引论 1
1.1现代数值分析方法的研究内容 1
1.2误差基础知识 2
1.2.1误差来源与分类 2
1.2.2绝对误差和相对误差 4
1.2.3有效数字 5
1.2.4数据误差在运算中的传播 7
1.3数值计算中应注意的问题 8
1.3.1算法的数值稳定性 9
1.3.2避免误差危害的若干原则 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10习题 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13第 2章线性代数方程组数值方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
2.1向量与矩阵基本知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1引言 14
2.1.2向量和矩阵 15
2.1.3特殊矩阵 16
2.1.4向量与矩阵的范数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2高斯消去法 22
2.2.1高斯顺序消去法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2高斯主元消去法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3矩阵的三角分解. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
2.3.1直接三角分解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2平方根法 36
2.3.3解三对角方程组的追赶法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
2.4矩阵的条件数与方程组的性态 43
2.5解线性代数方程组的迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6基本迭代法 52
2.6.1雅可比迭代法 (J-迭代法 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6.2高斯 –赛德尔迭代法 (GS-迭代法 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6.3逐次超松弛迭代法 (SOR-迭代法 ) 56
2.7迭代法的收敛性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
2.7.1一般迭代法的基本收敛定理 58
2.7.2 J-迭代法和 GS-迭代法收敛判定定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.7.3 SOR-迭代法收敛性判定定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.8最速下降法与共轭梯度法 69
2.8.1最速下降法 69
2.8.2共轭梯度法 71习题 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76第 3章非线性方程 (组)数值方法 80
3.1二分法 80
3.2迭代法 82
3.2.1不动点迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.2不动点迭代的一般理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
3.3加速迭代收敛的方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3.1两个迭代值组合的加速方法 88
3.3.2三个迭代值组合的加速方法 90
3.4牛顿迭代法 92
3.4.1单根情形的牛顿迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
3.4.2重根情形的牛顿迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97
3.4.3牛顿下山法 98
3.5弦割法与抛物线法 100
3.5.1弦割法 100
3.5.2抛物线法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.6非线性方程组零点的迭代方法 107
3.6.1实值向量函数的基本概念与性质 107
3.6.2压缩映射原理与不动点迭代法 111
3.6.3牛顿迭代法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115习题 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120第 4章函数插值 122
4.1多项式插值问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
4.1.1代数插值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.1.2代数插值多项式的存在性与唯一性 123
4.1.3误差估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2拉格朗日插值法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
4.2.1拉格朗日插值基函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126
4.2.2拉格朗日插值多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
4.2.3拉格朗日插值法截断误差及其实用估计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2.4拉格朗日反插值方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
4.3牛顿插值法 133
4.3.1差商的概念与性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133
4.3.2牛顿插值公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.4等距节点插值公式 136
4.4.1差分的定义及运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
4.4.2差分与差商的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
4.4.3等距节点插值公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139
4.5埃尔米特插值公式 141
4.5.1一般情形的埃尔米特插值问题 141
4.5.2特殊情况的埃尔米特插值问题 144
4.6分段低次插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.7三次样条插值方法 148
4.7.1三次样条插值的基本概念 148
4.7.2三弯矩插值法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.7.3样条插值函数的误差估计 154习题 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154第 5章函数逼近 156
5.1内积与正交多项式 156
5.1.1权函数 156
5.1.2内积定义及性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.1.3正交性 157
5.1.4正交多项式系的性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
5.2常见正交多项式系 161
5.2.1勒让德多项式系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.2.2第一类切比雪夫多项式系 163
5.2.3第二类切比雪夫多项式系 164
5.2.4拉盖尔多项式系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.2.5埃尔米特多项式系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166
5.3最佳一致逼近 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.3.1最佳一致逼近概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167
5.3.2最佳逼近多项式的存在性及唯一性 167
5.3.3最佳逼近多项式的构造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169
5.4最佳平方逼近 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.4.1最佳平方逼近的概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173
5.4.2最佳平方逼近函数的求法 174
5.4.3正交多项式作基函数的最佳平方逼近 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.5曲线拟合的最小二乘法 179
5.5.1最小二乘曲线拟合问题的求解及误差分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.5.2多项式拟合的求解过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181
5.5.3正交函数系的最小二乘曲线拟合 183
5.5.4用最小二乘法求解超定方程组 185习题 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188第 6章矩阵特征值与特征向量的数值算法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.1预备知识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
6.2乘幂法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.2.1主特征值与主特征向量的计算 190
6.2.2加速收敛技术 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.3反幂法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.4雅可比方法 200
6.5 QR方法 207
6.5.1反射矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.5.2平面旋转矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.5.3矩阵的 QR分解 214
6.5.4豪斯霍尔德方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.5.5 QR方法的收敛性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.6对称三对角矩阵特征值的计算 218
6.6.1对称三对角矩阵的特征多项式序列及其性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .218
6.6.2实对称三对角矩阵特征值的计算 223习题 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225第 7章数值积分及数值微分 226
7.1数值积分的基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.1.1数值求积的基本思想 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226
7.1.2插值型求积公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.1.3代数精度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.2牛顿–柯特斯求积公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233
7.2.1牛顿 –柯特斯公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7.2.2几个低阶求积公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
7.3复化求积方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.3.1复化求积公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.3.2变步长求积公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
7.4龙贝格求积公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242
7.4.1龙贝格求积公式的推导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242
7.4.2龙贝格求积算法的计算步骤 244
7.5高斯型求积公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245
7.5.1高斯型求积公式的理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245
7.5.2几个常用高斯型求积公式 247
.7.6二重积分的求积公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253
7.7数值微分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258
7.7.1插值法 258
7.7.2泰勒展开法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.7.3待定系数法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261习题 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262第 8章常微分方程的数值解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.1引言 263
8.2欧拉方法及其改进 264
8.2.1欧拉公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
8.2.2单步法的局部截断误差和阶 266
8.3龙格–库塔方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
8.3.1龙格 –库塔方法的基本思想 270
8.3.2龙格 –库塔方法的推导 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .270
8.4线性多步法 275
8.4.1线性多步法的基本思想 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .275
8.4.2线性多步法的构造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277
8.5算法的稳定性及收敛性 283
8.5.1算法的稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8.5.2算法的收敛性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
8.6一阶常微分方程组与高阶方程 287
8.6.1一阶常微分方程组 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287
8.6.2高阶微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8.7微分方程求解的波形松弛方法 292
8.7.1微分方程初值问题的波形松弛方法 293
8.7.2微分方程初值问题波形松弛方法的收敛问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297
8.7.3微分方程边值问题的波形松弛方法 299
8.8微分方程边值问题的数值方法 303
8.8.1打靶方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.8.2有限差分方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307习题 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309第 9章电路方程的数值方法 311
9.1电路方程的基本概念和方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311
9.1.1基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
9.1.2复相位分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
9.1.3刚性微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
9.2电路模拟的拉普拉斯变换方法 317
9.2.1拉普拉斯变换的定义与性质 317
9.2.2常用函数的拉普拉斯变换 318
9.2.3拉普拉斯变换在电路方程中的应用 321
9.2.4拉普拉斯变换的数值特征分解 323
9.3电路方程数值分析的基本方法 330
9.3.1数值分析方法 ——牛顿法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
9.3.2雅可比矩阵的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339
9.3.3同伦延拓法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
9.4电路方程瞬态分析的基本方法 346
9.4.1时间域分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
9.4.2初值问题的解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
9.4.3边值问题的解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
9.4.4数值方法的稳定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .367部分习题参考答案 374参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382]]>
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