本书概述了数学基础的历史，介绍了现代数学主体的基础——ZFC集论，重点讲述四种数（自然数、实数、序数和基数）的理论．书中采用一种特殊的构造实数的新方法——非Archimedes序域法，它与传统的Dedkind分割和cantor基本序列等方法不同，是一种有益的新的尝试．
本书适合数学系本科生、研究生作为教材，也可供理工科其他专业作为教学参考用书．
样章试读
目录
- 前言
第一章 历史概述
1.1欧几里得几何
1.1.1《几何原本》的学术背景
1.1.2几何学——古希腊数学的主体
1.1.3演绎证明的范本
1.2皮亚诺自然数理论
1.2.1分析数学——数学的新阶段
1.2.2分析数学的基础危机
1.2.3分析算术化
1.2.4分析数学中的无限
1.2附1几何学自身的重大变革
1.2附2虚数是怎样进入数学的？
1.2附3皮亚诺算术的适当展开
1.3ZFC集论
1.3.1康托尔集论与集论诞生时期的风暴
1.3.1附庸托尔辨词录：数学的自由与制约
1.3.2集论悖论与基础危机
1.3.3数学可否归为逻辑？
1.3.4直觉主义简介
1.3.5希尔伯特规划与哥德尔不完备性定理
1.3.6ZFC集论脱颖而出
1.4本章小结
第二章 逻辑准备
2.1命题演算初步
2.1.1命题连接词
2.1.2真值表与永真式
2.1.3真值方程组，应用举例
*2.1.4命题连接词的完全组
2.2谓词演算简介
2.2.1谓词演算语言
2.2.2什么是数学证明？
2.2.3数学形式系统举例——形式算术
第三章 集论基本概念
3.1ZF语言
3.2外延公理与内涵公理
3.3无序对公理
3.4并集公理与幂集公理
3.5关系与映射
3.5.1Cartesian积集
3.5.2关系
3.5.3映射（函数）
3.5.3附单值化原则
3.6无限公理
3.6.互最小归纳集ω
3.6.2归纳定义
3.6.3鸽笼原理
第四章 什么是实数？
4.1等价关系与分类
4.1.1等价关系
4.1.2等价类
4.1.3选代表原则与选择公理
4.2N2的一个重要分类——什么是整数？
4.2附由哪些自然数性质推出了整数性质？
4.3重要练习一：Z×（Z一{0}）的一个分类——什么是有理数？
4.4N上超滤与N的一种扩张
4.4.1N上滤子
4.4.2N的一种扩张
4.4.3小结
4.5一种特殊的非Archimedes序域——从*N到*Q
4.6重要练习二：Q＜的一个分类
4.7什么是实数？
第五章 结构与模型
5.1结构的概念与语言
5.2同构与同态
5.3理论与模型
5.3附完备序域的（同构）惟一性
5.4模型原理及应用例
5.4附*N的另一种构造
第六章 势
6.1等势
6.2不同大小的实无限
6.3Cantor-Bernstein定理
6.4关于可数集的结论
6.4附可数集性质的另一常用表述
6.5势的性质与选择公理
6.6连续统假设
第七章 良序结构与超限归纳法
7.1偏序
7.2全序
7.3良序
7.3附良序指标集
7.4超限归纳法
7.5关于结构＜ω，E＞的练习
第八章 序数
8.1序数的概念及一般性质
8.2后继序数与极限序数
8.3替换公理
8.4关于序数的超限归纳法
8.4附on上的递归定义
8.5集的号码库——Hartogs数
8.6正则公理
8.6附集宇宙的形象
第九章 选择公理
9.1选择公理的特殊性
9.2良序原理
9.3Zorn引理
9.4选择公理的地位及应用例（滤子扩张原则）
第十章 基数
10.1基数概念
10.2基数算术
10.2附序数与基数的加乘运算的关系
10.3正则基数与奇异基数
10.4基数计算例：ω上超滤空间有多大？
第十一章 自然数——主算术超滤
11.1再谈超滤
11.2超滤空间βω中的简单等式
1.3算术超滤
第十二章 结束语
练习题与思考题提示或解答
参考文献
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