《变分分析与应用》是Boris S.Mordukhovich教授在变分分析与非光滑优化领域的最新专著。本书主要在有限维空间中对变分分析的关键概念和事实进行系统和易于理解的阐述, 这部分内容包括一阶广义微分的基本结构、集合系统的极点原理、增广实值函数的变分原理、集值映射的适定性、上导数分析法则、集值算子的单调性和一阶次微分分析法则; 同时进一步介绍基于上述理论的先进技术在不可微优化与双层优化、半无穷规划、集值优化与微观经济建模中的应用。 有限维框架显著地简化了主要结果的说明和证明。本书包含丰富的说明性图表和例子, 每章末尾都配有大量的练习题, 以帮助读者加深对内容的理解, 培养本领域的研究技能, 为“变分分析” 课程的教学创建可用的教材。
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译者序
前言
第1章 广义微分的构造 1
1.1 闭集的法向量与切向量 2
1.1.1 广义法向量 2
1.1.2 切向原对偶性 7
1.1.3 光滑变分描述 8
1.2 映射的上导数 11
1.2.1 集值映射 11
1.2.2 上导数的定义和基本性质 12
1.2.3 凸集值映射的极值性质 15
1.3 非光滑函数的一阶次梯度 17
1.3.1 增广实值函数 17
1.3.2 上图法向量的次梯度 18
1.3.3 上导数的次梯度 23
1.3.4 正则次梯度和e-扩张 27
1.3.5 极限次微分表示 29
1.3.6 距离函数的次梯度 35
1.4 第1章习题 43
1.5 第1章评注 56
第2章 变分分析的基本原理 68
2.1 有限集系统的极点原理 68
2.1.1 集合极点的概念和例子 68
2.1.2 基本极点原理和一些结果 70
2.2 可数集系统的极点原理 73
2.2.1 可数集系统的极点性质 73
2.2.2 锥与相依极点原理 75
2.3 函数的变分原理 80
2.3.1 一般变分原理 80
2.3.2 次最优性和不动点的应用 81
2.4 基本的交法则和一些结果 83
2.4.1 集合的交与和的法向量 83
2.4.2 次微分和法则 85
2.5 第2章练习 87
2.6 第2章评注 97
第3章 适定性和上导数分析法则 102
3.1 集值映射的适定性质 102
3.1.1 适定性的范例 102
3.1.2 适定性的上导数刻画 107
3.1.3 特殊情形下的刻画 110
3.2 上导数分析法则 113
3.2.1 上导数和法则 113
3.2.2 上导数链式法则 115
3.2.3 其他上导数分析法则 118
3.3 变分系统的上导数分析 119
3.3.1 参数变分系统 119
3.3.2 参数变分系统的度量正则性的上导数条件 124
3.3.3 度量正则性对主要类型的PVS不成立 126
3.4 第3章练习 130
3.5 第3章评注 149
第4章 一阶次微分分析法则 159
4.1 边际函数的次微分 159
4.2 复合映射的次微分 163
4.3 最小值和最大值函数的次微分 166
4.4 中值定理及其应用 168
4.4.1 由对称次梯度表示的中值定理 168
4.4.2 近似中值定理 170
4.4.3 AMVT的次微分刻画 172
4.5 第4章练习 178
4.6 第4章评注 184
第5章 极大单调算子的上导数 188
5.1 全局单调性的上导数准则 188
5.1.1 由正则上导数表示的极大单调性 188
5.1.2 具有凸定义域的极大单调算子 192
5.1.3 由极限上导数表示的极大单调性 195
5.2 强局部单调性的上导数准则 198
5.2.1 强局部单调性和相关性质 198
5.2.2 由上导数表示的强局部极大单调性 201
5.2.3 点基上导数刻画 206
5.3 第5章练习 207
5.4 第5章评注 212
第6章 不可微和双层优化 216
6.1 不可微规划问题 216
6.1.1 下次微分和上次微分条件 216
6.1.2 有限多个不等式和等式约束 221
6.1.3 最优性条件的例子和讨论 223
6.2 双层规划问题 228
6.2.1 乐观和悲观版本 228
6.2.2 值函数方法 229
6.2.3 部分平静性质与弱尖锐极小值 230
6.3 具有光滑和Lipschitz数据的双层规划 235
6.3.1 光滑双层规划的最优性条件 235
6.3.2 Lipschitz问题的最优性条件 241
6.4 第6章练习 242
6.5 第6章评注 249
第7章 具有一定凸性的半无穷规划 254
7.1 无穷线性不等式系统的稳定性 254
7.1.1 类Lipschitz性质和强Slater条件 255
7.1.2 参数无穷线性系统的上导数 258
7.1.3 Lipschitz稳定性的上导数刻画 264
7.2 无穷线性约束下的优化 273
7.2.1 具有无穷不等式约束的双变量SIPs 274
7.2.2 SIPs的上次微分最优性条件 274
7.2.3 SIPs的下次微分最优性条件 277
7.2.4 在水资源优化中的应用 278
7.3 块扰动下的无穷线性系统 283
7.3.1 无穷线性块扰动系统的描述 284
7.3.2 基于上导数的块扰动系统的稳定性 284
7.3.3 在无穷凸不等式系统中的应用 291
7.4 无穷凸系统的度量正则性 293
7.4.1 度量正则性的DC优化方法 294
7.4.2 凸图多值映射的度量正则性 296
7.4.3 在无穷凸约束系统中的应用 303
7.5 DC半无穷优化中的值函数 313
7.5.1 DC半无穷规划的最优性条件 314
7.5.2 DC SIPs值函数的正则次梯度 319
7.5.3 DC SIPs的值函数的极限次梯度 322
7.5.4 具有凸数据的双层半无穷规划 332
7.6 第7章练习 336
7.7 第7章评注 339
第8章 非凸半无穷优化 342
8.1 无穷可微系统的优化 342
8.1.1 无穷系统的规范条件 342
8.1.2 非凸无穷约束集合的法维 348
8.1.3 非线性SIPs的最优性条件 358
8.2 Lipschitz 半无穷规划 364
8.2.1 一些技术引理 364
8.2.2 上确界函数的基本次梯度 370
8.2.3 Lipschitz SIPs 的最优性条件 377
8.3 非光滑锥约束优化 380
8.3.1 标量化上确界函数的次梯度 381
8.3.2 点基最优性和规范条件 388
8.3.3 无CQs的规范最优性条件 393
8.3.4 锥约束系统的适定性 396
8.3.5 非凸SIPs的最优性与适定性 402
8.4 具有可数约束的非凸SIPs 406
8.4.1 可数个集合之交的CHIP性质 407
8.4.2 可数个集合之交的广义法向量 414
8.4.3 可数约束下的最优性条件 421
8.5 第8章练习 428
8.6第8章评注 433
第9章 集合优化中的变分分析 439
9.1 由锥诱导的极小点和次微分 439
9.1.1 集合的极小点 439
9.1.2 映射的极小点和次微分 441
9.2 有序映射的变分原理 444
9.2.1 集值映射的极限单调性 444
9.2.2 Ekeland型变分原理 447
9.2.3 映射的次微分变分原理 451
9.3 相对Pareto型极小点的存在性 453
9.3.1 次微分 Palais-Smale条件 453
9.3.2 无约束问题解的存在性 454
9.3.3 显式约束下的存在性定理 461
9.4 多目标问题的最优性条件 464
9.4.1 集值优化中的Fermat法则 464
9.4.2 约束设置的最优性条件 469
9.5 第9章练习 471
9.6 第9章评注 478
第10章 集值优化与经济学 484
10.1 通过集值优化的经济建模 484
10.1.1 福利经济学模型 484
10.1.2 约束集值优化 486
10.1.3 完全局部化极小点的最优配置 487
10.2 完全局部化的最优性条件 490
10.2.1 乘积空间中的确切极点原理 490
10.2.2 集合的渐近闭性 491
10.2.3 局部化极小点的必要条件 493
10.3 局部拓展的第二福利定理 495
10.3.1 一般商品空间的结论 496
10.3.2 有序商品空间 498
10.3.3 弱Pareto型最优配置的正常性 500
10.4 全局扩展的第二福利定理 503
10.4.1 净需求规范条件 504
10.4.2 福利经济学中的全局最优性 505
10.5 第10章练习 509
10.6 第10章评注 511
参考文献 515
符号和缩略词 562
索引 568
《现代数学译丛》已出版书目 590
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