本书是将纸质教材与数字教材融合，实现静态知识载体与智能化交互资源优势互补的AI赋能版高等数学教材，全书分上、下两册，上册共七章，含序章、函数的极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、积分、定积分的应用及微分方程；下册共五章，涵盖空间解析几何与向量代数、多元函数微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数。
本教材内置人工智能辅助功能，适配线上与线下双轨学习模式。线上数字教材于每章开篇点明学习重点，每节清晰设定学习目标，重难点处嵌入教学视频；同时配置随堂自测、课堂讨论及课后习题，章末附有单元互动测试和综合练习。为加深理解，书中绘制了全书总览和分章节思维导图，并借助计算机软件准确呈现重要函数图像，对核心名词与关键语句辅以气泡式标注，书末附录汇总了初等数学常用公式。此外，借助智能问答和个性化资源推送，教材可为读者提供即时互动与个性化指导，有效激发学习兴趣，提高自主学习效率。
样章试读
目录
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前言 1
序章 学好高等数学 1
0.1 初识高等数学 1
0.1.1 高等数学的定义 1
0.1.2 高等数学的主要内容 1
0.1.3 微积分的发展历史 2
0.2 学好高等数学 6
0.2.1 为什么要学习高等数学 6
0.2.2 如何学好高等数学 7
0.2.3 为实现中国梦努力学习 7
第1章 函数的极限与连续 9
1.1 函数 9
1.1.1 区间与邻域 9
1.1.2 函数的定义 10
1.1.3 函数的几何性质 13
1.1.4 反函数 15
1.1.5 复合函数 16
1.1.6 基本初等函数与初等函数 17
习题1.1 18
1.2 数列的极限 19
1.2.1 数列的概念 19
1.2.2 数列极限的定义 20
1.2.3 数列极限的性质 24
1.2.4 数列极限存在的准则 25
1.2.5 数列的子列 27
习题1.2 28
1.3 函数的极限 29
1.3.1 自变量趋向于无穷大时函数的极限 29
1.3.2 自变量趋向于有限值时函数的极限 30
1.3.3 函数极限的性质 33
1.3.4 函数极限存在的准则 33
习题1.3 34
1.4 无穷小量与无穷大量 34
1.4.1 无穷小量 34
1.4.2 无穷大量 36
习题1.4 37
1.5 极限的运算法则 37
1.5.1 极限的四则运算法则 37
1.5.2 运用极限的四则运算法则求极限举例 38
1.5.3 复合函数的极限法则 45
习题1.5 47
1.6 两个重要极限 48
1.6.1 * 48
1.6.2 * 51
习题1.6 55
1.7 无穷小量阶的比较 56
1.7.1 无穷小量阶的比较定义 57
1.7.2 无穷小量的等价替代 58
习题1.7 61
1.8 函数的连续性与间断点 62
1.8.1 函数的连续性 62
1.8.2 函数的间断点 65
习题1.8 68
1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 69
1.9.1 连续函数的运算 69
1.9.2 初等函数的连续性 69
1.9.3 闭区间上连续函数的性质 71
习题1.9 73
综合练习题一 73
第2章 导数与微分 76
2.1 导数的概念 76
2.1.1 引例 76
2.1.2 导数的定义 78
2.1.3 导数的几何意义 84
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系 85
习题2.1 87
2.2 导数的运算法则 88
2.2.1 导数的四则运算法则 89
2.2.2 反函数的求导法则 91
2.2.3 复合函数的求导法则 92
习题2.2 97
2.3 隐函数以及由参数方程所确定的函数的求导法 98
2.3.1 隐函数的求导法 98
2.3.2 由参数方程所确定的函数的求导法 100
2.3.3 由极坐标方程所确定的函数的求导法 102
2.3.4 相关变化率 103
习题2.3 104
2.4 函数的微分 105
2.4.1 微分的定义 105
2.4.2 可微与可导的关系 106
2.4.3 基本初等函数的微分公式 107
2.4.4 微分的运算法则 108
2.4.5 微分的几何意义 111
*2.4.6 微分在近似计算中的应用 112
习题2.4 113
2.5 高阶导数与高阶微分 114
2.5.1 高阶导数 114
2.5.2 高阶微分 120
习题2.5 121
综合练习题二 122
第3章 微分中值定理与导数的应用 125
3.1 微分中值定理 125
3.1.1 费马(Fermat)引理 125
3.1.2 罗尔(Rolle)中值定理 126
3.1.3 拉格朗日(Lagrange)中值定理 127
3.1.4 柯西(Cauchy)中值定理 130
习题3.1 130
3.2 洛必达法则 131
3.2.1 洛必达法则 131
3.2.2 其他类型的未定式 133
3.2.3 需要注意的问题 135
习题3.2 137
3.3 泰勒公式 137
3.3.1 带有拉格朗日余项的泰勒公式 138
3.3.2 带有佩亚诺余项的泰勒公式 140
习题3.3 142
3.4 函数的单调性与极值 142
3.4.1 函数的单调性 142
3.4.2 函数的极值 145
3.4.3 函数的最大值和最小值 150
习题3.4 152
3.5 曲线的凹凸、拐点与渐近线 154
3.5.1 曲线的凹凸与拐点 154
3.5.2 曲线的渐近线 159
3.5.3 函数图形的描绘 160
习题3.5 163
3.6 平面曲线的曲率 163
3.6.1 弧微分 164
3.6.2 曲率及其计算 165
3.6.3 曲率圆与曲率半径 169
习题3.6 170
综合练习题三 171
第4章 积分 175
4.1 定积分的概念与性质 175
4.1.1 定积分问题举例 175
4.1.2 定积分的定义 177
4.1.3 定积分的几何意义 179
4.1.4 定积分的性质 180
习题4.1 184
4.2 原函数与微积分基本定理 185
4.2.1 原函数 185
4.2.2 积分上限的函数及其导数 187
4.2.3 牛顿？莱布尼茨公式 191
习题4.2 193
4.3 不定积分的概念 194
4.3.1 不定积分的定义 194
4.3.2 不定积分与微分的关系 195
4.3.3 不定积分的性质 197
4.3.4 不定积分的几何意义 197
4.3.5 不定积分的直接积分法 198
习题4.3 200
4.4 不定积分的换元积分法 200
4.4.1 第一类换元积分法 201
4.4.2 第二类换元积分法 209
习题4.4 216
4.5 不定积分的分部积分法及分段函数的不定积分 217
4.5.1 不定积分的分部积分法 217
4.5.2 分段函数的不定积分 222
习题4.5 222
4.6 有理函数的不定积分 223
4.6.1 有理函数的不定积分 223
4.6.2 三角函数有理式的积分 231
习题4.6 233
4.7 定积分的换元法和分部积分法 234
4.7.1 定积分的换元积分法 234
4.7.2 定积分的分部积分法 238
习题4.7 240
4.8 广义积分与Γ函数 241
4.8.1 无穷区间上的广义积分 241
4.8.2 无界函数的广义积分 243
4.8.3 Γ函数 246
习题4.8 247
综合练习题四 248
第5章 定积分的应用 252
5.1 微元法 252
5.2 定积分的几何应用 253
5.2.1 平面图形的面积 253
5.2.2 体积 257
5.2.3 平面曲线的弧长 260
习题5.2 262
5.3 定积分的物理应用 263
5.3.1 变力沿直线所做的功 263
5.3.2 液体的压力 264
习题5.3 265
综合练习题五 265
第6章 微分方程 267
6.1 微分方程的基本概念 267
习题6.1 270
6.2 一阶微分方程 270
6.2.1 可分离变量的微分方程 270
6.2.2 齐次方程 273
6.2.3 一阶线性微分方程 275
*6.2.4 伯利利(Bernoulli)方程 279
习题6.2 280
6.3 可降阶的高阶微分方程 282
6.3.1 *型的微分方程 282
6.3.2 *型的微分方程 283
6.3.3 *型的微分方程 284
习题6.3 285
6.4 二阶常系数线性微分方程 286
6.4.1 二阶线性微分方程的解的结构 286
6.4.2 二阶常系数齐次线性微分方程 288
6.4.3 二阶常系数非齐次线性微分方程 292
习题6.4 297
综合练习题六 298
附录 301
常用初等数学公式 301
一、代数公式 301
二、三角公式 303
三、反三角函数与公式 304
四、初等几何公式 305
习题与综合练习题参考答案 307
参考文献 329
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