本书讲述的是高等数学的基础内容——数学分析，其核心内容是微积分学，全书共三册.本书为第三册，共分七章,包括多元函数及其极限、连续性，多元函数的微分学（一），多元函数的微分学（二），含参变量的积分，重积分，曲线积分与曲面积分，各种积分之间的联系、场论初步.
本书是由作者在北京大学数学科学学院多年教学所使用的讲义基础上修改而成，内容丰富、深入浅出.对较难理解的定理、定义以及可深入探讨的问题，本书以加注的形式予以解说，以利于读者更好地接受新知识.在章末附有后记，意在为读者更清楚地了解知识背景，更迅速地提高数学能力创造条件.本书选用适量有代表性、启发性的例题，还选入足够数量的习题和思考题.习题和思考题中，既有一般难度的题目，也有较难的题目，供读者酌情选做.
样章试读
目录
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前言
致读者
绪论多元函数微积分史简介1
第13章多元函数及其极限、连续性3
13.1多元函数的概念3
13.1.1背景3
13.1.2多元函数的定义及其几何表示3
13.1.3点集范例、基本性质6
13.2多元函数的极限11
13.2.1重极限（全面极限）11
13.2.2累次极限12
13.2.3一致极限14
13.3多元函数的连续性15
13.3.1数值函数的连续性15
*13.3.2向量函数的连续性19
13.3.3同胚变换21
第14章多元函数的微分学（一）24
14.1偏导数与全微分24
14.1.1多元函数的偏导数24
14.1.2多元函数的全微分27
14.2多元复合函数的偏导数32
14.2.1求多元复合函数偏导数的方法32
14.2.2齐次函数35
14.2.3一阶微分形式的不变性36
14.2.4同胚变换的Jacobi行列式37
14.3高阶偏导数与高阶全微分39
14.3.1多元函数的高阶偏导数39
14.3.2多元复合函数的高阶偏导数44
14.3.3多元函数的高阶全微分48
14.4多元隐函数的求导法50
14.4.1单个方程的情形50
14.4.2方程组的情形53
14.5曲线的切线、曲面的切平面55
14.5.1由参数方程表示的曲线和曲面的情形55
14.5.2由隐函数表示的曲面和曲线的情形57
14.6方向导数和梯度61
14.6.1多元函数的方向导数61
14.6.2多元函数的梯度63
14.7中值定理、Taylor公式、凸函数65
14.7.1多元函数的中值定理65
14.7.2多元函数的Taylor公式66
14.7.3凸函数72
第15章多元函数的微分学（二）75
15.1 隐函数存在定理75
15.1.1一个方程的情形75
15.1.2方程组的情形79
15.2逆变换(反函数)存在定理82
15.3函数的极值88
15.3.1一般极值问题88
15.3.2条件极值问题95
*15.3.3最小二乘法106
第16章含参变量的积分109
16.1含参变量的定积分109
16.2含参变量的反常积分117
16.2.1一致收敛的概念及其判别法117
16.2.2含参变量的无穷积分的性质120
16.3含参变量的积分计算举例127
16.4Euler积分——B函数与Γ函数133
第16章含参变量的积分110
16.1含参变量的定积分110
16.2含参变量的反常积分118
16.2.1一致收敛的概念及其判别法118
16.2.2含参变量的无穷积分的性质121
16.3含参变量的积分计算举例128
16.4Euler积分——B函数与Γ函数134
第17章重积分142
17.1重积分的定义142
17.1.1曲顶柱体的体积142
17.1.2平面点集的面积143
17.1.3重积分的定义146
17.2重积分的存在性及其性质147
17.2.1函数可积的充分必要条件147
17.2.2可积函数类151
17.2.3可积函数和的性质152
17.3化重积分为累次积分155
17.3.1化二重积分为累次（定）积分的公式155
17.3.2公式的应用举例157
17.3.3化三重积分为累次积分163
17.4重积分的变量替换167
17.4.1二重积分的变量替换公式167
17.4.2公式的应用举例171
17.4.3三重积分的变量替换公式，例177
*17.5n重积分简介185
17.6反常重积分190
第17章重积分141
17.1重积分的定义141
17.1.1曲顶柱体的体积141
17.1.2平面点集的面积142
17.1.3重积分的定义145
17.2重积分的存在性及其性质146
17.2.1函数可积的充分必要条件146
17.2.2可积函数类150
17.2.3可积函数和的性质151
17.3化重积分为累次积分154
17.3.1化二重积分为累次（定）积分的公式154
17.3.2公式的应用举例156
17.3.3化三重积分为累次积分162
17.4重积分的变量替换166
17.4.1二重积分的变量替换公式166
17.4.2公式的应用举例170
17.4.3三重积分的变量替换公式，例176
*17.5n重积分简介184
17.6反常重积分189
第18章曲线积分与曲面积分203
18.1第一型曲线积分203
18.1.1第一型曲线积分的定义及其存在性203
18.1.2计算公式205
18.2第二型曲线积分208
18.2.1第二型曲线积分的定义及其存在性208
18.2.2计算公式210
18.2.3两种类型曲线积分之间的联系213
18.3曲面面积217
18.3.1由显方程表示的曲面217
18.3.2由参数方程表示的曲面219
*18.3.3连续曲面的面积222
18.4第一型曲面积分223
18.4.1第一型曲面积分的定义及其计算223
18.4.2例与物理应用225
18.5曲面的侧229
18.6第二型曲面积分233
18.6.1第二型曲面积分的定义233
18.6.2计算公式234
18.6.3例与应用236
后记239
第19章各种积分之间的联系、场论初步241
19.1Green公式241
19.1.1Green公式241
19.1.2例、调和函数244
19.2Gauss公式250
19.2.1Gauss公式250
19.2.2例与物理应用252
19.3Stokes公式257
*19.4Brouwer不动点定理261
19.5曲线积分与路径无关性264
*19.6场论初步273
19.6.1数量场与向量场273
19.6.2数量场的梯度273
19.6.3向量场的流量与散度274
19.6.4向量场的环量与旋度276
19.6.5保守场与势函数278
*19.7场论的应用279
19.7.1在流体力学中的应用279
19.7.2在电磁场中的应用281
19.7.3Maxwell方程组285
第18章曲线积分与曲面积分204
18.1第一型曲线积分204
18.1.1第一型曲线积分的定义及其存在性204
18.1.2计算公式206
18.2第二型曲线积分209
18.2.1第二型曲线积分的定义及其存在性209
18.2.2计算公式211
18.2.3两种类型曲线积分之间的联系214
18.3曲面面积218
18.3.1由显方程表示的曲面218
18.3.2由参数方程表示的曲面220
*18.3.3连续曲面的面积223
18.4第一型曲面积分224
18.4.1第一型曲面积分的定义及其计算224
18.4.2例与物理应用226
18.5曲面的侧230
18.6第二型曲面积分234
18.6.1第二型曲面积分的定义234
18.6.2计算公式235
18.6.3例与应用237
后记240
第19章各种积分之间的联系、场论初步242
19.1Green公式242
19.1.1Green公式242
19.1.2例、调和函数245
19.2Gauss公式251
19.2.1Gauss公式251
19.2.2例与物理应用253
19.3Stokes公式258
*19.4Brouwer不动点定理262
19.5曲线积分与路径无关性265
*19.6场论初步274
19.6.1数量场与向量场274
19.6.2数量场的梯度274
19.6.3向量场的流量与散度275
19.6.4向量场的环量与旋度277
19.6.5保守场与势函数279
*19.7场论的应用280
19.7.1在流体力学中的应用280
19.7.2在电磁场中的应用282
19.7.3Maxwell方程组286
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