本书试图用较少的篇幅描述偏微分方程的几种数值方法. 主要内容包括：Sobolev 空间初步, 椭圆边值问题的变分问题, 椭圆问题的有限差分方法, 抛物型方程的有限差分方法, 双曲型方程的有限差分方法, 椭圆型方程的有限元方法, 抛物及双曲问题的有限元方法, 椭圆型方程的混合有限元方法, 谱方法等. 本书内容丰富, 深入浅出, 尽可能地用简单的方法来描述一些理论结果, 并根据作者对有限差分、有限元、混合有限元、谱方法的理解和研究生教学要求, 全面、客观地评价了各种数值计算方法，并列举了一些数值计算的例子, 阐述了许多新的学术观点, 具有较大的学术 价值.
样章试读
目录
《信息与计算科学丛书》序
前言
第1 章引言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 预备知识. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 符号说明. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 泛函基础知识. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Sobolev 空间初步. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 广义导数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Sobolev 空间的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 嵌入定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 迹定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.5 等价模定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
第2 章椭圆型方程边值问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Lax-Milgram 定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 变分形式及解的存在唯一性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.2.1 Dirichlet 问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
2.2.2 Neumann 边值问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
2.2.3 混合边值问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.4 双调和方程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 正则性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
第3 章椭圆型方程的有限差分方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1 有限差分法的基础. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1 网格剖分. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2 有限差分近似的基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
3.2 一维两点边值问题的有限差分方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
3.3 二维椭圆型方程的有限差分方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1 Poisson 方程的Dirichlet 边值问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.2 Poisson 方程的Neumann 边值问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.3 一般的二阶线性椭圆问题的差分格式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.4 双调和问题的差分格式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
3.4 差分方程解的唯一性和收敛性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.1 差分方程解的存在唯一性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
3.4.2 差分方程解的收敛性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
3.5 习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45
第4 章抛物型方程的有限差分方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1 一维抛物型方程的有限差分格式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1.1 一维常系数抛物型方程的Dirichlet 初边值问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
4.1.2 一维常系数抛物型方程的混合边值问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 差分格式的稳定性和收敛性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
4.2.1 基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.2 判别稳定性的直接法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
4.2.3 判别稳定性的分离变量法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
4.2.4 稳定性与收敛性的关系. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
4.3 二维抛物型方程的有限差分格式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.1 二维古典差分格式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.2 交替方程隐式差分格式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
4.4 习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
第5 章双曲型方程的有限差分法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
5.1 一维一阶线性双曲型方程的差分格式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.1 双曲型方程的初值问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
5.1.2 双曲型方程的初边值问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
5.2 一维二阶线性双曲型方程的差分方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.1 显示差分格式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.2 隐式差分格式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2.3 初边值条件的离散. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 二维二阶双曲型方程的有限差分格式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.1 显式差分格式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.2 交替方向隐式差分格式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
5.4 习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
第6 章椭圆型方程边值问题的有限元法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.1 两点边值问题的有限元法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.1.1 Galerkin 方法与Ritz 方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.1.2 两点边值问题的线性有限元方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
目录? vii ?
6.1.3 两点边值问题的线性有限元解的误差估计. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 两点边值问题的高次有限元方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2.1 二次元. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2.2 三次元. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3 二维椭圆问题的有限元方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
6.3.1 二维椭圆问题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.3.2 二维椭圆问题的有限元逼近格式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.3.3 数值例子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.4 习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
第7 章抛物及双曲方程的有限元方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
7.1 抛物型方程的有限元方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.1.1 半离散有限元逼近. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126
7.1.2 全离散有限元逼近. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130
7.2 双曲型方程的有限元方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.2.1 半离散有限元逼近. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
7.2.2 全离散有限元逼近. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
7.3 习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
第8 章椭圆问题的混合有限元方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.1 混合有限元基本理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
8.1.1 基本概念. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.1.2 混合变分形式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.1.3 Babuska-Brezzi 理论. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2 二阶椭圆方程的混合有限元方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.2.1 线性椭圆方程的混合有限元方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.2.2 拟线性椭圆方程的混合有限元方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.2.3 线性椭圆方程的超收敛分析. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.2.4 线性椭圆方程的后验误差估计. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.3 习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
第9 章谱方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
9.1 正交多项式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
9.1.1 正交多项式的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
9.1.2 Gauss 型求积公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177 9.2 Jacobi 正交多项式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
9.3 Legendre 正交多项式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183
9.4 Chebyshev 正交多项式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9.5 谱方法的一般形式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9.5.1 变分形式的导出. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9.5.2 谱逼近的一般形式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
9.6 Galerkin 方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.6.1 数值格式的导出. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.6.2 稳定性和收敛性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.7 配置法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.7.1 数值格式的导出. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.7.2 稳定性和收敛性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.8 Volterra 型积分方程的谱配置法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9.8.1 Volterra 积分方程的Legendre 谱配置法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .200
9.8.2 弱奇性Volterra 积分方程的Jacobi 谱配置法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.8.3 Volterra 积分微分方程的Legendre 谱配置法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.9 习题. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207
索引. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
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