本书研究非线性可积系统的可积性判定、精确求解和生成的一些构造性理论与方法。首先简述非线性系统的可积性、孤子解和多种解法，着重研究C-D对、Painlevé检验、Hirota双线性方法和Darboux变换的新应用；其次简要介绍数学机械化及其在非线性系统求解中的应用，主要研究齐次平衡法、指数函数法、辅助方程法和负幂展开法在构造孤波、多波、怪波和随机波等多种形式解中的改进与推广；最后重点研究KdV系统、AKNS系统、KN系统和Toda晶格系统的多种形式推广生成，并利用Backlund变换、双线性方法、反散射变换等方法对所生成的多数推广系统进行求解，同时还讨论推广后KN系统的Hamilton结构与Liouville可积性。
样章试读
目录
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前言
第1章 可积性与求解法 1
1.1 何谓可积 1
1.1.1 Lax可积系统的构造性生成与超对称扩展 1
1.1.2 Liouville完全可积系统的判定与Hamilton结构 3
1.1.3 Painlevé可积系统的判定与共振公式 5
1.2 非线性可积系统的构造性解法 6
1.2.1 B.cklund变换 6
1.2.2 Darboux变换 7
1.2.3 反散射变换 8
1.2.4 双线性方法 11
1.2.5 其他构造性解法 13
第2章 C-D对与辅助方程法 15
2.1 C-D对简述 15
2.2 C-D对在方程转化中的应用 15
2.3 辅助方程法的C-D对 20
2.3.1 辅助方程法C-D对的一般格式 21
2.3.2 辅助方程法C-D对的展开次数与平衡原则 22
2.3.3 辅助方程法C-D对的举例 23
第3章 扩展KdV方程和Fokas方程的Painlevé检验 26
3.1 孤子与KdV方程 26
3.2 孤子解的存在性与系统可积性之间的联系 29
3.3 非线性可积系统的稳定性与怪波解 30
3.4 扩展KdV方程的Painlevé检验与孤子解 31
3.4.1 Painlevé可积性条件 31
3.4.2 孤子解 32
3.5 Fokas方程的Painlevé检验、双线性化与多孤子解 33
3.5.1 Painlevé可积性判定 34
3.5.2 孤子解 36
3.5.3 双线性化 38
3.5.4 多孤子解 38
第4章 双线性方法与DT的新应用 43
4.1 WBK方程的双线性方法与多孤子解 43
4.1.1 方程转化与双线性化 43
4.1.2 简化的双线性形式与多孤子解 45
4.1.3 具有一般性的双线性形式与多孤子解 47
4.2 广义BK方程的DT与多孤子退化 50
4.2.1 N-重DT 51
4.2.2 2N-孤子解 56
4.2.3 2N-孤子解的奇偶孤子退化 58
4.3 半离散方程的DT与无穷多守恒律 61
4.3.1 DT 62
4.3.2 精确解 66
4.3.3 无穷多守恒律 66
第5章 数学机械化的应用与HBM的修正 69
5.1 数学机械化简述 69
5.1.1 什么是数学机械化 69
5.1.2 数学机械化的基本任务与发展历程 69
5.1.3 数学机械化与计算机代数 71
5.2 数学机械化在非线性微分系统求解中的应用 71
5.2.1 求解软件包与完全自动化 72
5.2.2 机械化求解中的“AC=BD”理论与吴特征列方法 72
5.3 修正HBM构造变系数Gardner方程的多孤子解 73
5.3.1 HBM简述 73
5.3.2 变系数Gardner方程的多孤子解 76
5.3.3 修正HBM构造多波解的步骤 82
第6章 基于多重有理拟形的多波解与怪波解 84
6.1 指数函数法与有理指数函数解 84
6.1.1 指数函数法简述 84
6.1.2 有理指数函数解的H-秩判定法 85
6.2 多重有理指数函数拟解构造多波解 87
6.2.1 多重有理指数函数拟解 87
6.2.2 2+1维BK方程的N-波解 88
6.3 半离散多重有理指数函数拟解构造多波解 94
6.3.1 半离散多重有理指数函数拟解 94
6.3.2 Toda链方程的多波解 94
6.4 复多重有理指数函数拟解构造孤波解、多波解和怪波解 98
6.4.1 复多重有理指数函数拟解 99
6.4.2 变系数NLS方程的孤波解 100
6.4.3 变系数NLS方程的多波解 102
6.4.4 变系数NLS方程的怪波解 104
第7章 负幂展开法及其推广应用 106
7.1 负幂展开法 106
7.1.1 负幂展开法的主要步骤 106
7.1.2 拟解负幂展开的平衡公式 107
7.1.3 算例 108
7.2 构造行波解 109
7.2.1 Mikhauilov-Novikov-Wang方程的行波解 109
7.2.2 2+1维色散长波方程的行波解 110
7.2.3 Maccari方程的行波解 112
7.2.4 Tzitzeica-Dodd-Bullough方程的行波解 113
7.3 构造非行波解 114
7.3.1 3+1维Jimbo-Miwa方程的非行波解 114
7.3.2 变系数Sawada-Kotera方程的非行波解 116
7.4 构造半离散解 116
7.4.1 半离散负幂展开拟解 117
7.4.2 晶格方程的半离散解 117
7.4.3 Toda晶格方程的半离散解 118
第8章 辅助方程法的改进与随机波解的构造 119
8.1 改进的F-展开法与KD方程的精确解 119
8.1.1 辅助椭圆方程及其特解 119
8.1.2 改进的F-展开法的步骤 120
8.1.3 2+1维KD方程的精确解 121
8.2 改进的Fan辅助方程法与KP方程的精确解 124
8.2.1 Fan辅助方程及其特例 124
8.2.2 改进的Fan辅助方程法的拟解与步骤 125
8.2.3 3+1维KP方程的精确解 126
8.3 改进的离散扩展tanh方法与Toda晶格方程的精确解 128
8.3.1 构造非线性半离散方程拟解的一般性原则 128
8.3.2 改进的离散扩展tanh方法 130
8.3.3 含任意函数 2+1维Toda晶格方程的精确解 131
8.4 Wick型随机方程的对称、相似约化与辅助方程法 133
8.4.1 知识准备 133
8.4.2 Wick型随机方程的相容性方法 136
8.4.3 Wick型随机KdV方程的对称、相似约化 137
8.4.4 约化方程的F-展开法与随机波解 138
第9章 KdV系统的推广及其BT与IST 142
9.1 变系数超KdV方程的Lax表示及其IST 142
9.1.1 Lax表示 142
9.1.2 正散射分析 143
9.1.3 联系Riemann-Hilbert问题的反散射分析 146
9.1.4 多孤子解 147
9.2 广义等谱KdV方程族的推导与双线性BT 148
9.2.1 Lax格式生成 148
9.2.2 双线性BT 150
9.2.3 多孤子解 151
9.3 含自相容源混合谱KdV方程族的推导与IST 153
9.3.1 Lax格式生成 153
9.3.2 正散射问题与反散射问题 157
9.3.3 无反散射势与N-孤子解 164
第10章 AKNS系统和KN系统的一些推广 167
10.1 广义等谱AKNS方程族的推导及其IST 167
10.1.1 Lax格式生成 167
10.1.2 双线性形式 169
10.1.3 多波解 170
10.2 广义非等谱AKNS方程族的推导及其IST 172
10.2.1 Lax格式生成 173
10.2.2 散射数据随时间的发展规律 174
10.2.3 N-波解 177
10.3 变系数等谱KN方程族的推导与Liouville可积性 179
10.3.1 Tu格式生成 180
10.3.2 Hamilton结构与Liouville可积性 182
第11章 Toda晶格推广系统的生成与求解 184
11.1 含任意函数 2+1维Toda晶格方程的推导及其求解 184
11.1.1 方程推导 184
11.1.2 指数函数法与楔形波 185
11.1.3 双线性方法与多扭结孤子 186
11.2 广义等谱Toda晶格方程族的推导及其IST 188
11.2.1 Lax格式生成 189
11.2.2 散射数据随时间的发展规律 191
11.2.3 N-孤子解 194
11.2.4 孤子动力演化 196
11.3 变系数非等谱Toda晶格方程族的推导及其IST 197
11.3.1 Lax格式生成 198
11.3.2 散射数据随时间的发展规律 199
11.3.3 N-孤子解 203
参考文献 204
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