本书内容包括线性规划、非线性规划、动态规划、国论基础、组合数学、多元统计分析、微分方程建模分析、数值计算等。每章为一个相对独立的数学方法与建模实践单元。通过学习，可以使读者掌握基本数学方法，同时培养读者对实际问题的理解能力、从具体到抽象的分析能力、算法设计与编程能力、综合概括与结果分析能力等。
样章试读
目录
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序
前言
第1章 线性规划 1
1.1 引例 1
1.2 基本概念 2
1.2.1 线性规划问题及模型 2
1.2.2 线性规划的图解法 8
1.2.3 线性规划有关解的概念与性质 11
1.2.4 线性规划的基本理论 14
1.3 运输问题 16
1.3.1 运输问题模型与特点 16
1.3.2 特殊情况的处理 20
1.4 整数规划 24
1.4.1 整数规划的特点 25
1.4.2 分支定界法 27
1.4.3 0-1整数规划 31
1.4.4 指派问题 36
1.5 软件求解 38
1.6 应用案例 42
第2章 非线性规划 49
2.1 引例 49
2.2 基本概念与结论 51
2.2.1 凸集与凸函数 51
2.2.2 凸规划 53
2.3 极值条件 54
2.3.1 无约束问题的极值条件 54
2.3.2 有约束问题的极值条件 55
2.4 无约束非线性规划 58
2.4.1 一维搜索 58
2.4.2 最速下降法 60
2.4.3 牛顿法 61
2.4.4 阻尼牛顿法 63
2.4.5 模式搜索法 63
2.4.6 Powell方法 67
2.5 有约束非线性规划 70
2.5.1 外点罚函数法 70
2.5.2 内点罚函数法 73
2.6 应用案例 76
第3章 动态规划 81
3.1 引例 81
3.2 基本概念与原理 82
3.3 动态规划的求解 84
3.4 应用案例 85
第4章 图论基础 93
4.1 引例 93
4.2 基本概念 95
4.2.1 图的定义 95
4.2.2 顶点的度 97
4.2.3 图的同构 98
4.2.4 图的矩阵表示 99
4.2.5 子图 101
4.2.6 通路与距离 102
4.2.7 连通性 103
4.2.8 最短路问题 103
4.2.9 应用实例:设备更新问题 106
4.3 树及其应用 108
4.3.1 无向树 108
4.3.2 最优生成树 110
4.3.3 有向树 111
4.3.4 连通度 113
4.4 欧拉图与哈密顿图 115
4.4.1 欧拉图 115
4.4.2 哈密顿图 117
4.4.3 中国邮路问题简介 121
4.5 偶图匹配及其应用 122
4.5.1 偶图 122
4.5.2 匹配 123
4.5.3 偶图的匹配 124
4.6 图的着色 127
4.6.1 边着色 127
4.6.2 顶点着色 129
4.6.3 边着色的应用:排课表问题 130
4.7 平面图 132
4.7.1 平面图的基本概念 132
4.7.2 平面图的几个关系式 134
4.7.3 平面图的判定 136
4.8 网络流 137
4.8.1 运输网络与最大流 137
4.8.2 最大流的计算 139
4.8.3 最大流问题的推广 142
4.9 应用案例 144
4.9.1 问题背景 144
4.9.2 基本假设 144
4.9.3 公交线路选择模型的建立与求解 145
4.9.4 公汽地铁线路选择模型 152
4.9.5 公汽、地铁和步行线路选择模型的建立 152
4.9.6 算法时间复杂度分析 153
第5章 组合数学 155
5.1 引例 155
5.2 排列与组合的概念 158
5.2.1 两个基本法则 158
5.2.2 排列与组合的概念 160
5.2.3 模型转换 165
5.2.4 全排列的生成算法 166
5.2.5 组合的生成算法 168
5.2.6 一些组合恒等式 168
5.2.7 实例:多人在场加密特征问题 170
5.3 鸽笼原理与容斥原理 171
5.3.1 鸽笼原理 171
5.3.2 容斥原理 173
5.3.3 容斥原理的一般形式 176
5.3.4 错排问题 178
5.3.5 有禁位的排列 180
5.3.6 相对位有禁位的排列 184
5.3.7 应用实例:锁具装箱问题 185
5.4 母函数和递推关系 187
5.4.1 普通母函数 187
5.4.2 母函数的一个性质 190
5.4.3 指数型母函数 192
5.4.4 递推关系的定义与建立 193
5.4.5 递推关系的求解 194
5.4.6 常系数线性齐次递推关系的求解 197
5.4.7 常系数线性非齐次的求解 201
5.4.8 应用实例:昆虫繁殖问题 205
5.5 应用案例 206
5.5.1 问题背景 206
5.5.2 问题分析 208
5.5.3 基本假设 209
5.5.4 模型的建立和求解 209
5.5.5 模型分析 216
5.5.6 模型的评价和改进 217
5.5.7 给彩票管理部门的建议 218
第6章 多元统计分析 219
6.1 分布假设检验 219
6.1.1 χ2拟合优度检验法的基本原理和步骤 220
6.1.2 应用实例 221
6.1.3 MATLAB中分布的假设检验 224
6.2 方差分析 225
6.2.1 单因素试验的方差分析 228
6.2.2 多因素方差分析 232
6.2.3 多因素方差分析的MATLAB实现 237
6.3 回归分析 239
6.3.1 一元线性回归分析 240
6.3.2 多元线性回归模型 246
6.3.3 可线性化的一元非线性回归 251
6.3.4 逐步回归分析 252
6.3.5 回归分析的MATLAB实现 253
6.4 聚类分析 255
6.4.1 基本概念 255
6.4.2 系统聚类法 257
6.4.3 动态聚类法 262
6.4.4 聚类分析的MATLAB实现 265
第7章 微分方程建模分析 267
7.1 引例 268
7.1.1 常微分方程模型建立 268
7.1.2 偏微分方程模型建立 270
7.2 微分方程的解法与分析 274
7.2.1 微分方程的求解 274
7.2.2 微分方程解法 280
7.2.3 微分方程组的解法 285
7.3 相图与稳定性分析 290
7.3.1 解的存在性与稳定性 291
7.3.2 相轨线与相图 292
7.3.3 二维常系数线性自治系统平衡点分类 298
7.4 应用案例 306
7.4.1 火箭推力与卫星发射问题 306
7.4.2 SARS流行病传播建模 309
7.4.3 高温环境下专用服装热传导建模 315
7.4.4 燃油发动机高压油管建模 318
7.4.5 回焊炉最优炉温建模 322
第8章 数值计算 326
8.1 引例 327
8.1.1 误差来源 328
8.1.2 误差在计算中的传导 328
8.1.3 算法的数值稳定性 329
8.1.4 数值计算的基本原则 331
8.2 非线性方程求根 333
8.2.1 二分法 333
8.2.2 牛顿迭代法 334
8.2.3 弦截法 337
8.3 线性方程组的直接法 338
8.3.1 高斯消元法 338
8.3.2 LU分解与线性方程组求解 342
8.4 线性方程组的迭代法 344
8.4.1 迭代法基础 344
8.4.2 雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代 348
8.4.3 最速下降法 353
8.4.4 矩阵计算的主要MATLAB相关函数及应用实例 354
8.5 数据插值与拟合 357
8.5.1 拉格朗日插值 357
8.5.2 样条插值 359
8.5.3 数据拟合与最小二乘法 361
8.6 数值积分 363
8.6.1 梯形公式及其复合公式 363
8.6.2 高斯求积公式 366
8.7 常微分方程求解 369
8.7.1 欧拉方法 369
8.7.2 龙格-库塔方法 371
8.7.3 MATLAB求解一阶常微分方程 373
8.8 应用案例 373
8.8.1 案例1——捕食者与被捕食者模型 373
8.8.2 案例2——PDE工具箱求解偏微分方程 374
参考文献 378
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