目录
- Contents
Chapter 1 The Structure of Finite Element Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Galerkin Variational Principle and Ritz Variational Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Galerkin Approximation Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Finite Element Subspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Element Stiffness and Total Stiffness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
Chapter 2 Elements and Shape Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 2.1 Rectangular Shape Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
2.1.1 Lagrange Type Shape Function of Rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Hermite Type Shape Function of Rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Triangular Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .29
2.2.1 Area Coordinate and Volume Coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Lagrange Type Shape Function of Triangular Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.3 Hermite Type Shape Function of Triangular Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Shape Function of Three Dimensional Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.1 Lagrange Type Shape Function of Hexahedron Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.2 Lagrange Type Shape Function of Tetrahedron Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
2.3.3 Shape Function of The Three Prism Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
2.3.4 Hermite-Type Shape Function of Tetrahedron Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
2.4 Iso-parametric Finite Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5 Curve Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 56
Chapter 3 Procedure and Performance of Computation of Finite Element Method. . . . . .. . . . .60
3.1 The Procedure of Finite Element Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 One dimensional Store of Symmetric and Band Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Numerical Integration . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Computation of Element Stiffness Matrix and Synthesis of Total Stiffness Matrix . . . . . . 72
3.4.1 Computation of Shape Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
3.4.2 The Computation of Element Stiffness Matrix and Element Array . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.3 Superposition of Elements of Total Stiffness Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5 Direct Solution Method for Finite Element Algebraic Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . .79
3.5.1 Decomposition for Symmetric and Positive Definition Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5.2 Direct Solution for Algebraic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.6 Other Solution Method for Finite Element Algebraic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.6.1 The Steepest Descent Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
3.6.2 Conjugate Gradient Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.7 Treatment of Constraint Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.7.1 Treatment of Imposed Constraint Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
3.7.2 Treatment of Periodic Constrain Condition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
3.7.3 Remove Periodic Constrain and Matrix Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.7.4 Performance of the Method on Computer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.8 Calculation of Derivatives of Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.9 Automatic Generation of Finite Element Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Chapter 4 Sobolev Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.1 Some Notations and Assumptions on Domain Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2 Classical Function Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3 Lp(Ω) Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.4 Spaces of Distribution . . . . . . . . . . . . .. . . 109
4.5 Sobolev Spaces with Integer Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111
4.6 Sobolev Space with a Real Index Hσ,p(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.7 Embedding Theorem and Interpolate Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.8 The Trace Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 116
Chapter 5 The Variational Principle for Elliptic Boundary Value Problem and Error Estimate of Finite Element Approximation Solution. . . . 126
5.1 Elliptic Boundary Value Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126
5.1.1 Regularity. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .127
5.1.2 The Existence and Uniqueness of the Solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
5.1.3 Maximum Principle . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 129
5.2 Variational Formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.3 Finite Element Approximation Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4 Coordinate Transformation and Equivalent Finite Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4.1 Affine Transformation and Affine Equivalent Finite Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.4.2 Isoparametric Transformation and Isoparametric Finite Element . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.5 The Theory of Finite Element Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.5.1 Some Lemma . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .149
5.5.2 Interpolation Accuracy of Affine Equivalent Finite Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.5.3 Interpolation Accuracy of Isoparameter Finite Elements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
5.5.4 Finite Element Interpolation of C1 Type Finite Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.6 Accuracy of Finite Element Approximation Solutions for Elliptic Boundary Value Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.6.1 Conforming Finite Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.6.2 Theorem on Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.6.3 Aubin-Nitsche Lemma and Estimates of the Norm of L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.6.4 The Estimate of Norm with Negative Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
5.7 Estimates of the Errors |u – u-h|0,∞,Ω and |u-uh|1,∞,Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.7.1 Inverse Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.7.2 Weight Semi-Norm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160
5.7.3 Project Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.7.4 Estimates of the Maximum Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.8 The Effect of Numerical Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.8.1 The Quadrature Scheme For Stiffness Matrix and Right Column . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.8.2 The Ellipticity of Discrete Bilinear Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
5.8.3 Abstract Error Estimates, The First Strang Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.8.4 Estimate of the Error ||u-uh||1,Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178
Chapter 6 Nonstandard Finite Element Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.1 Abstract and Continuous Mixed Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.2 Some Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.2.1 Mixed Methods for Two-Order Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.2.2 Hybrid Methods for Two-Order Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.2.3 Stokes Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.2.4 Biharmonic Problem . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.3 Approximation Problems . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.4 Hybrid Finite Element Methods for Two-Order Boundary Value Problems . . . . . . 199
6.4.1 Hybrid Finite Element Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
6.4.2 Existence and Uniqueness of Approximation Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.4.3 Error Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.4.4 Some Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210
6.5 Discontinuous Finite Element and Space Hm(h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.6 Properties of Space Hm(hl) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.7 Nonconforming Approximation for the Variational Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.8 Application Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 241
6.8.1 Wilson Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.8.2 Adini Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.8.3 Crouzeit-Raviart Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.8.4 Morley Element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.8.5 Deveubeke Element . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.8.6 Garey Element . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 249
Chapter 7 Applications of Finite Element Method in the Engineering. . . . . . . . .250
7.1 The Differential Equations in the Continuum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.1.1 Strain Tensor and Strain Rate Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.1.2 The Cauchy Stress Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.1.3 The Dependency of the Stress Tensor on the Strain Tensor—— Constitutive Equation. . . . . . .. . . . .254
7.1.4 The Relationship between the Stress Tensor and Stain Rate Tensor—— Constitutive Equation for Fluid Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256
7.1.5 The Gaussian Formula for the Tensor τ ij of order 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .257
7.1.6 The Law of Conservation in Continuum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
7.1.7 The elastic Energy and Lam′e Equations in the Elastic Mechanics . . . . . . . . . . . . . . 258
7.1.8 Partial Differential Equations in Fluid Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.2 Displacement Method in Elastic Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.2.1 Galerkin Variational Problem and Principle of Minimal Potential Energy . . . . . . . 265
7.2.2 Finite Element Approximate Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
7.2.3 The Case of Cartesian Coordinate and Axi-Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.3 Finite Element Method in Modern Beam Engineering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .269
7.3.1 3D Beam Problem Decomposed into a Coupling System of 1D Subproblem and 2D Subproblem. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .269
7.3.2 Finite Element Equations of 1D Sub-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
7.3.3 The Case of Variable Transverse Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.3.4 Treatment of Strengthen Ribs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .277
7.4 S-Coordinate System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281
7.4.1 Metric Tensor and Permutation Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.4.2 Christoffel Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
7.4.3 Covariant Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
7.4.4 Perpendicular Frame on the Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.5 Finite Element Analysis for the Elastic Shell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287
7.6 Finite Element Approximation for the Eigenvalue Problem of Nuclear Diffusion Equations . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 309
7.6.1 General Eigenvalue Problem and An Iterative Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
7.6.2 An Acceptive Convergence Method of Iterative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
7.6.3 Computational Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
7.7 Finite Element Approximation for the Maxwell Equations in Electro-Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7.7.1 Maxwell Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7.7.2 Electric Potential and Magnetic Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
7.7.3 Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 319
7.7.4 Stationary Magnetic Field in the Iron-Magnetism Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
7.7.5 Variational Formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.8 Boundary Finite Element Method for the Scattering Problem of
Electromagnetic Wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .325
7.9 Coupling Method of Finite Element and Boundary Element for Radiation Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
7.9.1 There Exists a Unique Solution of Problem (7.9.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .332
7.9.2 Coupling Variational Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333
7.9.3 The Well-Posedness of Coupling Variational Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
7.9.4 Finite Element-Boundary Element Approximation for the Coupling Variational
Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339
7.9.5 Computational Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Chapter 8 Finite Element Analysis for Internal Flow in Turbomachine. . . . . . . .345
8.1 3D Internal Flow in Turbomachine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
8.1.1 Time Function Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .347
8.1.2 Variational Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .347
8.1.3 The Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
8.1.4 Inviscid Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
8.2 The Stream Function Method on Arbitrary Stream-Surface of Turbomachine . . . 352
8.2.1 Stream Function on Arbitrary Stream-Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353
8.2.2 Differential Equation for Stream Function on Arbitrary Stream-Surface . . . . . . . . 356
8.2.3 Circulation Density and Angular Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
8.2.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
8.2.5 Physical Components of Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
8.2.6 Computation of the Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .360
8.3 The Generation of One-Parameter Stream-Surface Family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
8.4 Finite Element Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
8.4.1 Finite Element Algebraic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 8.4.2 Computation of Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
8.4.3 Monotonicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
8.4.4 Error Estimation of Finite Element Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .368
8.4.5 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
8.5 The Existence and Uniqueness of Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
8.6 Finite Element Solution to Optimal Control Problem of Transonic Flow . . . . . . . . 375
8.7 Viscous Flow on any Stream Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
8.7.1 Differential Equations on the Stream Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .379 8.7.2 Variational Form in Primitive Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .383
8.7.3 Finite Element Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
8.7.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
8.8 Potential Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
Chapter 9 Finite Element Approximation for the Navier-Stokes Equations . . . 395
9.1 The Navier-Stokes Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
9.1.1 Variational Formulation with Primitive Variable for Stead State
Navier-Stokes Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399
9.1.2 LBB Condition and the Equivalence Between Problem (P) and Problem (Q). . . .401
9.1.3 The Existence and Uniqueness of Weak Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
9.1.4 Convergence of Iterative Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
9.2 The Penalty Method and Operator Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
9.2.1 Penalty Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .413
9.2.2 Operator Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .416
9.3 Optimal Control Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
9.4 Nonsingular Solution Branch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
9.4.1 Nonsingular Solution and its Perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
9.4.2 Iterative Method to Solve Perturbation Solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .430
9.4.3 Series Expansion of Nonsingular Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
9.4.4 Continuous Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
9.4.5 Continuous Art Length Method for Solution Branch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
9.5 Singular Solution for the Navier-Stokes Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
9.5.1 Singularity and Eigenvalue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
9.5.2 Liapunov-Schmidt Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
9.6 Single Limit Point and Single Bifurcation Point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .442
9.6.1 Single Limit Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
9.6.2 Single Bifurcation Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
9.7 Secondary Flow of Stationary Navier-Stokes Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
9.7.1 Second Flow and Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
9.7.2 Rotating Flow Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
9.7.3 Secondary Taylor Vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
9.8 Non-Stationary Navier-Stokes Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .461
9.9 The Error Analysis of Finite Element Approximation Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
9.9.1 Stokes Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
9.9.2 Regularization Method and Decoupling the Computation of uh and ph . . . . . . . . . 477
9.9.3 The Elements Satisfying LBB Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
9.9.4 Navier-Stokes Case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .481
9.9.5 Finite Element Approximation of Nonsingular Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
9.10 Approximate Inertial Manifold Method and Two Multi-Grid Algorithm. . . . . . . . 504
9.10.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
9.10.2 A New Projector and New Approximate Inertial Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .506
9.10.3 Correction and Their Error Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
9.10.4 Galerkin Correction Approximate Solution and Two Meshes Algorithm. . . . . . . .517
9.11 The Time Discretization for Non-Stationary Navier-Stokes Equations . . . . . . . . . . 519
9.11.1 Time Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
9.11.2 The Convergence of Time Semi-Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
9.11.3 Error Analysis and Estimates on the Enstrophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
9.11.4 Operator Splitting Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
9.11.5 Error Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
9.12 Nonlinear Galerkin Method for Navier-Stokes Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .540
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .548
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