本子册在第1版的基础上进行修订再版，共26章，在前17章中除保留了第1版中第1～17章的大部分内容外，同时也对这部分内容做了一些修改和增补，另外，在18～26章中修订和扩写了常微分方程和动力系统、科学计算、组合论、图论、运筹学、控制论、最优化方法、数学建模等内容，删去了第1版中的有限元方法、计算机基本知识、信息论等章节，同时也增加了有关有限差分法和动力系统、重要的多元分析等方面的内容。本手册内容比较全面、准确可靠、注意应用，同时注重编排技巧，并附有便于读者检索的比较详尽的索引。
样章试读
目录
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第2版前言 i
第1版前言 iii
1.初等代数 1
1.1 代数运算 1
1.1.1 数系 1
1.1.2 数的基本运算规律 1
1.1.3 指数 1
1.1.4 对数 2
1.1.5 复数 2
1.1.6 乘法与因式分解公式 4
1.1.7 分式 4
1.1.8 比例 6
1.1.9 根式 7
1.1.10 不等式 7
1.2 数列 8
1.2.1 等差数列 8
1.2.2 等比数列 9
1.2.3 等比级数 9
1.2.4 常用的求和公式 9
1.3 排列、组合与二项式定理 10
1.3.1 排列 10
1.3.2 组合 10
1.3.3 二项式定理 11
1.4 元多项式 11
1.4.1 元多项式的运算 11
1.4.2 整除 12
1.4.3 最大公因式 13
1.4.4 因式分解定理 14
1.5 二阶、三阶行列式与代数方程 15
1.5.1 二阶、三阶行列式 15
1.5.2 三元一次方程组的解法 16
1.5.3 一元二次方程 16
1.5.4 一元三次方程 16
1.5.5 一元四次方程 17
1.5.6 根与系数的关系 17
2.初等几何 19
2.1 平面几何 19
2.1.1 直线角 19
2.1.2 三角形 20
2.1.3 四边形 21
2.1.4 正多边形 22
2.1.5 同 23
2.2 立体几何 24
2.2.1 直线与平而 24
2.2.2 多面体 26
2.2.3 旋转体 28
2.2.4 立体角 30
2.3 证题法概述 30
2.3.1 命题命题之间的关系 30
2.3.2 证明方法 31
3.三角学 35
3.1 平而三角 35
3.1.1 角的两种度量制 35
3.1.2 三角函数的定义和基本关系 35
3.1.3 三角函数的诱导公式三角函数的图形与特性 37
3.1.4 两角和的三角函数公式倍角公式与半角公式 42
3.1.5 三角函数的和差与积的关系式 43
3.1.6 三角形基本定理 44
3.1.7 斜三角形解法 45
3.1.8 三角形面积公式 45
3.1.9 反三角函数 46
3.1.10 三角方程 48
3.2 球面三角 51
3.2.1 球面角球面二角形球面三角形 51
3.2.2 球面三角形的性质 52
3.2.3 球面三角形的计算公式 52
3.2.4 球面直角三角形解法 54
3.2.5 球面斜角三角形解法 55
4.解析几何 56
4.1 笛卡儿直角坐标系 56
4.1.1 笛卡儿直角坐标系 56
4.1.2 两点间的距离 57
4.1.3 分线段为定比的分点的坐标 58
4.1.4 坐标变换 59
4.2 曲线方程与曲面方程 60
4.2.1 基本概念 60
4.2.2 曲线的参数方程 61
4.2.3 交点与交线 61
4.3 平面上的直线 62
4.3.1 平而上的直线方程 62
4.3.2 点到直线的距离直线的法方程 63
4.3.3 两直线的夹角及平行、垂直条件 63
4.3.4 直线束三直线共点的条件 64
4.4 二次曲线 64
4.1.1 圆 64
4.4.2 椭圆 65
4.4.3 双曲线 66
4.4.4 抛物线 67
4.4.5 圆锥曲线 68
4.4.6 一般二次曲线 71
4.5 常用的平面曲线 73
4.6 平面、空间中的直线 77
4.6.1 平面方程 77
4.6.2 点到平面的距离平而的法方程 78
4.6.3 空间中的直线万程 79
4.6.4 直线、平面的相互位置 79
4.7 二次曲面 82
4.7.1 球面 82
4.7.2 椭球而 83
4.7.3 双曲面 84
4.7.4 抛物面 85
4.7.5 柱面 85
4.7.6 锥面 87
4.7.7 一般二次曲面 87
5.线性代数 92
5.1 行列式 92
5.1.1 阶行列式的定义 92
5.1.2 行列式的性质 93
5.1.3 行列式的计算 95
5.1.4 拉普拉斯展开行列式的乘法公式 96
5.1.5 范德蒙德行列式与格拉姆行列式 97
5.1.6 连加号∑与连乘号Ⅱ 98
5.2 矩阵 99
5.2.1 n维向量空间 99
5.2.2 向量组的线性关系 100
5.2.3 矩阵及矩阵的秩 101
5.2.4 矩阵的运算 102
5.2.5 矩阵的逆 105
5.2.6 矩阵的分块初等矩阵 105
5.2.7 几种特殊的矩阵 107
5.3 线性方程组 109
5.3.1 含n个未知量、n个方程的线性方程组 109
5.3.2 一般线性方程组 110
5.4 线性空间 114
5.4.1 线性空间的维数基与坐标ll 4
5.4.2 线性子空间 114
5.4.3 子空间的交、和、直和 115
5.5 线性变换 115
5.5.1 线性变换的定义与运算 115
5.5.2 线性变抉的矩阵 116
5.5.3 本征值与本征向量 117
5.6 若尔当典范形 120
5.6.1 最小多项式 120
5.6.2λ矩阵的典范形 121
5.6.3 不变因子与初等因子 122
5.6.4 若尔当典范形 122
5.7 二次型 123
5.7.1 二次型及其矩阵表示l 23
5.7.2 标准形 124
5.7.3 二次型的惯性指数 124
5.7.4 正（负）定二次型 125
5.8 欧几里得空间 126
5.8.1 度量矩阵 126
5.8.2 规范正交基 126
5.8.3 正交变换与对称变换 127
5.8.4 实对称矩阵的对角化 128
5.8.5 酉空间 129
6.微积分 130
6.1 分析基础 130
6.1.1 实数 130
6.1.2 数列的极限 132
6.1.3 函数 136
6.1.4 函数的极限 140
6.1.5 无穷小、无穷大的比较 112
6.1.6 函数的连续性 143
6.1.7 Rn中的点集 144
6.1.8 n元函数的极限 145
6.1.9 n元函数的连续性 146
6.2 微分学 147
6.2.1 函数的导数与微分 147
6.2.2 多元函数的偏导数与全微分 151
6.2.3 隐函数 155
6.2.4 微分学基本定理 160
6.3 微分学的应用 164
6.3.1 单元函数微分学的应用 164
6.3.2 多元函数微分学的应用 167
6.4 不定积分 171
6.4.1 基本概念与性质 171
6.4.2 枳分法 172
6.4.3 原函数可表为有限形式的几类函数 177
6.4.4 不定积分表 181
6.5 定积分 192
6.5.1 定积分的定义 192
6.5.2 可积函数类 193
6.5.3 定积分的性质 193
6.5.4 定积分的中值定理 194
6.5.5 微积分学基本定理 195
6.5.6 定积分的计算 195
6.6 重积分 196
6.6.1 二重积分 196
6.6.2 三重积分 198
6.6.3 n重积分 201
6.7 定积分与重积分的应用 202
6.7.1 平面图形的面积 202
6.7.2 曲面的面积 203
6.7.3 体积 204
6.7.4 弧长 204
6.7.5 质量 205
6.7.6 重心 205
6.7.7 转动惯量 206
6.8 斯蒂尔切斯积分 206
6.8.1 有界变差函数 206
6.8.2 可求长曲线 208
6.8.3 斯蒂尔切斯积分的定义 208
6.8.4 斯蒂尔切斯积分存在的条件 209
6.8.5 斯蒂尔切斯积分的性质 209
6.8.6 斯蒂尔切斯积分的计算 211
6.9 曲线积分与曲面积分 211
6.9.1 第一型曲线积分 211
6.9.2 第二型曲线积分 213
6.9.3 第一型曲面积分 216
6.9.4 第一二型曲面积分 218
6.10 级数 222
6.10.1 数项级数与无穷乘积 222
6.10.2 函数项级数 228
6.10.3 幂级数 232
6.10.4 傅里叶级数 236
6.11 广义积分 242
6.11.1 无穷限的广义积分 242
6.11.2 无界函数的广义积分 2Ⅱ3
6.11.3 常用的广义积分公式 245
6.12 含参变量积分 246
6.12.1 含参变量的常义积分 246
6.12.2 含参变量广义积分的一致收敛性 247
6.12.3 由含参变量广义积分所确定的函数 247
6.12.4 常用的含参变量积分公式 218
6.13 数值逼近 219
6.13.1 引论 249
6.13.2 魏尔斯特拉斯定理 219
6.13.3 最佳一致逼近多项式 250
6.13.4 切比雪夫多项式 250
6.135 切比雪夫多项式在数值逼近的领域里应用举例 251
6.13.6 线性内积空间的最佳逼近 253
6.13.7 函数的最佳平方逼近 254
6.13.8 正交多项式 255
6.13.9 用勒让德多项式作平方逼近 256
6.13.10 函数按切比雪夫多项式展开 257
7.复变函数 258
7.1 复平面 258
7.1.1 复平面上曲线的方程 258
7.1.2 复平面上的点集区域 258
7.1.3 扩充复平面 260
7.2 复变函数 261
7.2.1 复变函数 261
7.2.2 复变函数的极限与连续性 261
7.2.3 复数序列与复数项级数 262
7.2.4 复函数序列与复函数项级数 263
7.3 全纯函数柯西黎曼方程 264
7.3.1 复变函数的导数 264
7.3.2 共轭调和函数 265
7.3.3 单叶函数及其反函数 266
7.3.4 多值函数黎曼面 266
7.4 初等复函数 268
7.4.1 有理函数 268
7.4.2 指数函数 268
7.4.3 三角函数双曲函数 269
7.4.4 对数函数幂函数 269
7.4.5 反三角函数 270
7.4.6 初等复函数 270
7.5 复积分柯西积分定理与柯西积分公式 270
7.5.1 复积分的定义与简单性质 270
7.5.2 柯西积分定理 272
7.5.3 柯西积分公式 273
7.5.4 柯两型积分 274
7.6 全纯函数的级数表示 274
7.6.1 复幂级数 274
7.6.2 泰勒展开式 275
7.6.3 常用的泰勒展开式 276
7.6.4 洛朗展开式 278
7.7 孤立奇点与留数 279
7.7.1 孤立奇点及其分类 279
7.7.2 解析函数在无穷远点的性态 280
7.7.3 留数 留数定理 281
7.7.4 利用留数计算定积分 282
7.7.5 辐角原理 283
7.8 亚纯函数 整函数 284
7.8.1 亚纯函数 284
7.8.2 亚纯函数的部分分式展开 285
7.8.3 整函数的无穷乘积展开 286
7.9 解析延拓 287
7.9.1 解析函数元素 287
7.9.2 解析延拓 287
7.10 共形映射 289
7.10.1 全纯函数与共形映射 289
7.10.2 分式线性映射 289
7.10.3 某些初等函数的映射特性 290
7.10.4 对称原理上半平面映射为多角形 290
7.10.5 蔡曼映射定理边界对应 291
7.10.6 常用共形映射表 293
7.11 解析函数在解平面狄利克雷问题中的应用 295
7.12 解析函数存流体力学中的应用 296
7.13 解析函数在电磁学与热学中的应用 298
7.14 解析函数在平而弹性理论中的应用 299
8.常微分方程与动力系统 301
8.1 一般概念 301
8.1.1 有关常微分方程的概念 301
8.1.2 有关方程的解的概念 301
8.2 一阶微分方程 302
8.2.1 存在和唯一性定理 302
8.2.2 一阶微分方程的若干可积类型及其通解 303
8.2.3 奇解及其求法 308
8.3 高阶微分方程 309
8.3.1 n阶正规形微分方程与一阶正规形微分方程组的互化 309
8.3.2 存在和唯一性定理 310
8.3.3 高阶微分方程的若干可积类型及其通解 310
8.4 高阶线性微分方程 312
8.4.1 朗斯基行列式 312
8.4.2 线性微分方程解的结构 313
8.4.3 常系数线性微分方程 315
8.4.4 欧拉方程 318
8.4.5 二阶齐次线性微分方程解的定性性质 318
8.4.6 二阶齐次线性微分方程的幂级数解法 319
8.5 线性微分方程组 321
8.5.1 线性微分方程组解的结构 321
8.5.2 常系数线性微分方程组 322
8.6 动力系统与稳定性理论初步 325
8.6.1 微分方程的解对初值的连续相依性与可微性 325
8.6.2 解对参数的连续相依性与可微性 326
8.6.3 功力系统的一般概念 326
8.6.4 二维定常系统的极限环 328
8.6.5 二维常系数线性微分方程组的奇点 329
8.6.6 李雅普诺夫稳定性的基本概念 332
8.6.7 稳定性与不稳定性的基本定理 333
8.6.8 齐次常系数线性微分方程组零解的稳定性 334
8.6.9 结构稳定性 335
8.7 微分方程在力学、电学中的应用 335
8.7.1 机械系统的振动 335
8.7.2 简单电路 338
8.8 差分方程 340
8.8.1 一般概念 340
8.8.2 线性差分方程 340
8.8.3 例 341
8.9 分岔与混沌 342
8.9.1 连续系统的分岔 342
8.9.2 霍普夫分岔定理 343
8.9.3 离散系统的分岔 344
8.9.4 混沌概念 314
8.9.5 混沌的数值特征 315
9.偏微分方程论 347
9.1 一般概念 317
9.2 阶偏微分方程 318
9.2.1 一阶线性偏微分方程 348
9.2.2 一阶拟线性偏微分方程 349
9.2.3 一阶非线性偏微分方程 351
9.3 一阶线性偏微分方程组 354
9.3.1 特征方程特征方向特征曲线 354
9.3.2 两个自变量的一阶线性方程组的分类 354
9.3.3 狭义双曲型方程组 355
9.4 二阶线性偏微分方程的分类 357
9.4.1 两个自变量的二阶线性偏微分方程的化简和分类 357
9.4.2 n个自变量的二阶线性方程的分类 358
9.5 三类典型的二阶线性偏微分方程 358
9.5.1 一维波动方程与定解条件的提法 359
9.5.2 高维波动方程 360
9.5.3 热传导方程 362
9.5.4 拉普挣斯方程和泊松方程 364
9.6 偏微分方程的分离变量法 366
9.6.1 线性齐次方程和齐次边界条件 366
9.6.2 线性非齐次方程和齐次边界条件 369
9.6.3 齐次化原理 370
9.6.4 非齐次边界条件的处理 372
9.7 拉普拉斯方程的格林函数法 373
9.7.1 格林函数及其性质 373
9.7.2 利用格林函数解拉普拉斯方程的第一边值问题 373
9.7.3 利用格林函数解泊松方程的第一边值问题 377
9.8 拉普拉斯方程的位势方法 377
9.8.1 单层位势双层位势 377
9.8.2 用位势理论解拉普拉斯方程的边值问题 380
9.9 偏微分方程的积分变换法 382
9.10δ函数和基本解 384
9.10.1δ函数及其性质 384
9.10.2 基本解 385
9.11 定解问题的适定性 389
9.11.1 维波动方程的定解问题的适定性 389
9.11.2 调和函数的极值原理 狄利克雷问题的适定性 391
9.11.3 一维热传导方程定解问题的适定性 391
9.11.4 柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 392
9.12 偏微分方程的差分解法 392
9.12.1 偏导数与差商 392
9.12.2 拉普拉斯方程的差分解法 393
9.12.3 热传导方程的差分解法 396
9.12.4 波动方程的差分解法 397
10.微分几何 399
10.1 平面曲线 399
10.1.1 平面曲线的方程切线与法线 399
10.1.2 平而曲线的曲率 401
10.1.3 平面曲线族的包络线 402
10.1.4 平面曲线的整体性质 403
10.2 空间曲线 405
10.2.1 空间曲线的切向量、主法向量与副法向量 曲率与挠率 405
10.2.2 弗雷内公式曲线在一点邻近的性态 407
10.2.3 空间曲线论的基本定理 408
10.3 曲面的参数表示 409
10.3.1 曲面的参数表示 409
10.3.2 曲面的切平面与法向量 410
10.3.3 常用的曲面 410
10.4 曲面的第一、第二基本型 413
10.4.1 第一基本型 413
10.4.2 等距对应 共形对应 414
10.4.3 第二基本型 416
10.4.4 迪潘标形 共轭方向 渐近方向 417
10.5 曲面上的曲率 418
10.5.1 法曲率 418
10.5.2 主曲率 419
10.5.3 中曲率 全曲率 420
10.6 曲面的球面表示 第三基本型 421
10.6.1 曲面的球面表示 421
10.6.2 第三基本型 422
10.7 直纹曲面可展曲面 422
10.7.1 直纹曲面与可展曲面的构造 422
10.7.2 直纹曲面与可展曲面的性质 424
10.8 曲面论的基本定理 425
10.8.1 曲面的基本公式 425
10.8.2 曲面沦的基本定理 426
10.9 测地曲率 测地线 426
10.9.1 测地曲率 426
10.9.2 测地线 427
10.9.3 测地坐标系 428
10.9.4 测地挠率 428
10.10 曲面上向量的平行移动 428
10.11 曲面的一些整体性质 429
11.积分方程 431
11.1 一般概念 431
11.2 弗雷德霍姆定理 433
11.3 退化核的积分方程 434
11.3.1 退化核 434
11.3.2 退化核的积分方程的解法 434
11.4 逐次逼近法叠核和预解核 436
11.4.1 逐次逼近法 436
11.4.2 叠核和预解核 436
11.5 对于任何λ的弗雷德霍姆方程 437
11.6 对称核 438
11.6.1 对称核方程的特征值和特征函数 438
11.6.2 对称核按特征函数系的展开式 439
11.6.3 对称核的分类 默塞尔定理 440
11.6.4 埃尔米特核和斜射称核 440
11.7 型无界核奇异积分方程 441
11.7.1 核为型的积分方程 441
11.7.2 奇异积分方程 442
11.8 沃尔泰拉方程 443
11.8.1 第二类沃尔泰托积分方程和方程组 443
11.8.2 特殊形式的沃尔泰拉方程 444
11.8.3 第一类沃尔泰拉积分方程阿贝尔方程 445
11.9 积分方程的近似解法 446
11.9.1 数值积分方法 446
11.9.2 近似核方法 447
11.9.3 迭代法 447
11.9.4 变分方法 447
12.变分法 418
12.1 一般概念 448
12.2 固定边界的变分问题 449
12.2.1 最简单的变分问题欧托方程 449
12.2.2 含多个未知函数的泛函 451
12.2.3 含高阶导数的泛函 451
12.2.4 多元函数的泛函 452
12.2.5 用参数形式表示的泛函 453
12.3 泛函极值的充分条件 454
12.3.1 平稳曲线场与雅可比条件 454
12.3.2 泛函极值的充分条件 405
12.4 可动边界的变分问题 455
12.4.1 型泛函 455
12.4.2 型泛函 456
12.4.3 型泛函 457
12.5 条件变分问题 457
12.5.1 泛函在约束条件下的变分问题 457
12.5.2 泛函在约束条件下的变分问题 458
12.6 变分问题的直接法 459
12.6.1 直接法和极小化序列 459
12.6.2 里兹法 460
12.6.3 欧拉有限差分法 461
12.6.4 康托罗维奇法 462
12.7 力学中的变分原理 463
12.7.1 哈密顿原理 463
12.7.2 最小势能原理 463
12.7.3 变分法和数学物理微分方程 464
13.概率论 465
13.1 基本概念 465
13.1.1 事件 465
13.1.2 古典概型 466
13.1.3 概率空间 466
13.1.4 条件概率 468
13.2 维随机变量及其分布 469
13.2.1 随机变量与分布函数的定义 469
13.2.2 离散型随机变量的概率分布 470
13.2.3 几种重要的离散型分布 470
13.2.4 连续型随机变量的概率密度 472
13.2.5 几种重要的连续型分布 472
13.2.6 随机变量的函数 474
13.3 多维随机变量及其分布 476
13.3.1 多维随机变量与分布函数 476
13.3.2 边际分布 478
13.3.3 条件分布 479
13.3.4 随机变量的相互独立性 480
13.3.5 随机向量的函数 481
13.3.6 几种重要的随机向量函数的分布 483
13.3.7 随机向量的变换 485
13.4 维随机变量的数字特征 487
13.4.1 数学期望 487
13.4.2 随机变量函数的数学期望 488
13.4.3 方差 489
13.5 随机向量的数字特征 490
13.5.1 一般概念 490
13.5.2 协方差矩阵相关系数 490
13.5.3 条件数学期望 492
13.6 母函数与特征函数 493
13.6.1 母函数 493
13.6.2 特征函数的定义及性质 495
13.6.3 逆转公式及唯一性定理 496
13.6.4 分布函数列的弱收敛 496
13.6.5 连续性定理 497
13.6.6 博赫纳辛钦定理 497
13.6.7 维随机向量的特征函数 498
13.7 常用分布简表 499
13.8 极限定理 499
13.8.1 随机变量的收敛性 499
13.8.2 大数定律 504
13.8.3 加强的大数定律 505
13.8.4 中心极限定理 505
附录 507
数值表1 泊松分布的数值表 507
数值表2 数值表(x≥0) 509
数值表3 x2分布表 512
数值表4 t分布表 514
14.近代数学选题 516
14.1 集论 516
14.1.1 集 516
14.1.2 集的运算 516
14.1.3 集的关系与运算的图形表示 518
14.1.4 关系 518
14.1.5 映射 519
14.1.6 积集与幂集 520
14.1.7 等价关系与商集 520
14.1.8 偏序关系 521
14.1.9 选择公理及其等价命题 521
14.1.10 基数 522
14.1.11 布尔代数 522
14.1.12 命题代数 开关代数 523
14.2 代数结构 524
14.2.1 半群 524
14.2.2 群 525
14.2.3 正规子群 商群 526
14.2.4 循环群 有限群 526
14.2.5 环 527
14.2.6 理想 商环 527
14.2.7 域 528
14.2.8 模 向量空间 代数 528
14.3 拓扑空间 530
14.3.1 度量空间 530
14.3.2 度量空间中的开集和闭集 530
14.3.3 度量空间到度量空间的连续映射 531
14.3.4 完全度量空间 532
14.3.5 拓扑空间 533
14.3.6 拓扑空间剑拓扑空间的连续映射 同胚 534
14.3.7 分离性 534
14.3.8 积拓扑空间 534
14.3.9 商拓扑空间 535
14.3.10 连通性 536
14.3.11 紧性 536
14.3.12 可度量化拓扑空间 537
14.4 勒贝格积分 537
14.4.1 勒贝格外测度 537
14.4.2 勒贝格测度 538
14.4.3 勒贝格可测函数 538
14.4.4 依测度收敛性 539
14.5 勒贝格积分 540
14.4.6 勒贝格积分的性质 541
14.4.7 绝对连续函数 542
14.4.8 重积分与累次积分 543
14.5 泛函分析 544
14.5.1 巴拿赫空间的定义与例 544
14.5.2 连续线性算了对偶空间 546
14.5.3 巴拿赫空间中的收敛性 547
14.5.4 线性泛函分析的基本定理 547
14.5.5 巴拿赫空间之间连续映射的导数 548
14.5.6 希尔们特空间的定义与例 548
14.5.7 正交投影 549
14.5.8 伴随算子 550
14.5.9 正交系 551
14.5.10 谱 552
14.5.11 紧算子的谱分析 553
14.5.12 广义函数的定义与例 553
14.5.13 广义函数的导数 554
14.5.14 广义函数的卷积与傅里叶变换 556
14.6 微分流形 558
14.6.1 微分流形的定义与例 558
14.6.2 可微映射微分同胚 559
14.6.3 切空间 560
14.6.4 余切空间 560
14.6.5 微分流形之间的映射的微分与切变换 561
14.6.6 微分子流形 562
14.6.7 定向流形 563
14.6.8 向量场泊松括号积 563
14.6.9 张量场微分形式 564
14.6.10 外微分 565
14.6.11 斯托克斯公式 565
14.6.12 黎曼流形 566
15.向量分析张量分析 568
15.1 向量代数 568
15.1.1 向量及其运算 568
15.1.2 向量的坐标 569
15.1.3 向量的数量积 570
15.1.4 向量的向量积 571
15.2 向量函数的微积分 573
15.2.1 单元向量函数的微分法 573
15.2.2 单元向量函数的积分法 574
15.2.3 多元向量函数的微积分 574
15.3 数量场 575
15.3.1 场 575
15.3.2 数量场的梯度 575
15.3.3 哈密顿算子 576
15.4 向量场 577
15.4.1 向量场的散度 577
15.4.2 向量场的旋度 578
15.4.3 场论基本定理 579
15.4.4 几种特殊的向量场 579
15.5 场论中的量在正交曲线坐标系中的表示式 580
15.5.1 正交曲线坐标系 580
15.5.2 场论中的量在正交曲线坐标系中的表示式 581
15.6 向量分析在运动学中的应用 583
15.6.1 质点运动的速度与加速度 583
15.6.2 刚体的运动 584
15.6.3 质点的相对运动 584
15.7 向量分析在动力学中的应用 585
15.7.1 牛顿第二定律与达朗贝尔原理 585
15.7.2 动量定理 586
15.7.3 动量矩定理 586
15.7.4 动能定理 587
15.8 向量分析在电磁学中的应用 588
15.8.1 库伦定律与高斯定理 588
15.8.2 安培比奥萨既定律与安培定理 588
15.8.3 法拉第电磁感应定律麦克斯韦方程组 589
15.9 张量 590
15.9.1 张量概念 590
15.9.2 张量的分量 591
15.9.3 张量的运算 592
15.9.4 外代数 593
15.10 共变微分 594
15.10.1 仿射联络 594
15.10.2 共变微分 594
15.10.3 曲率张量与挠率张量 596
15.11 黎曼空间中的张量分析 596
15.11.1 黎曼联络 596
15.11.2 各种算子的表示式 597
15.11.3 曲率张量的性质 597
15.11.4 平行移动测地线 598
15.12 张量分析在离散质点系力学中的应用 599
15.12.1 质点的自由运动 599
15.12.2 质点的约束运动 600
15.12.3 质点系的约束运动 60l
15.13 张量分析在连续介质力学中的应用 601
15.13.1 应力张量 601
15.13.2 应变张量 602
15.13.3 平衡方程与运动方程 602
15.11 张量分析在相对论中的应用 603
15.14.1 狭义相对论 603
15.14.2 广义相对沦 604
16.积分变换 606
16.1 傅里叶积分与傅里叶变换 606
16.1.1 傅里叶积分 606
16.1.2 傅里叶变换概念 607
16.1.3 傅里叶变换的性质 609
16.1.4 卷积与相关函数 610
16.1.5 多重傅里叶变换 611
16.2 傅里叶正弦变换与傅里叶余弦变换 613
16.3 傅里叶核 615
16.4 有限傅里叶变换 617
16.4.1 有限正弦变换与有限余弦变换的定义反演公式 617
16.4.2 函数的导数的有限傅里叶变换公式 618
16.4.3 用有限傅里叶变换解偏微分方程定解问题的例 618
16.4.4 多重有限傅里叶变换 619
16.5 离散傅里叶变换 622
16.5.1 波形采样 622
16.5.2 离散傅里叶变换对 624
16.5.3 离散卷积与离散相关 627
16.5.4 离散傅里叶变换的性质 627
16.6 快速傅里叶变换 628
16.6.1 矩阵方程与快速傅里叶变换算法 628
16.6.2 信号流程图 631
16.7 拉普拉斯变换 632
16.7.1 拉普拉斯变换概念 632
16.7.2 拉普拉斯变换的性质 633
16.7.3 卷积与杜阿梅尔公式 635
16.7.4 拉普拉斯逆变换 636
16.7.5 托普托斯变换在解微分方程上的应用 637
16.7.6 二重拉普拉斯变换 638
16.8 汉克尔变换 有限汉克尔变换 639
16.8.1 汉克尔变换 639
16.8.2 汉克尔变换性质 639
16.8.3 有限汉克尔变换 640
16.9 梅林变换 希尔伯特变换 640
16.9.1 梅林变换 640
16.9.2 希尔伯特变换 641
16.10 积分变换简表 642
16.10.1 傅里叶变换简表 642
16.10.2 傅里叶余弦变换简表 644
16.10.3 傅里叶正弦变换简表 645
16.10.4 有限傅里叶余弦变换简表 646
16.10.5 有限傅里叶正弦变换简表 647
16.10.6 拉普拉斯变换简表 648
16.10.7 汉克尔变换简表 651
16.10.8 梅林变换简表 653
16.10.9 希尔伯特变换简表 655
17.特殊函数 656
17.1 Γ函数 656
17.1.1 Γ函数定义与递推关系 656
17.1.2 Γ函数的无穷乘积表达式 Γ函数与三角函数的关系 657
17.1.3 Γ函数的积分表达式 658
17.1.4 比内公式 渐近展开 斯特林公式 658
17.1.5 Γ函数的对数微商 多Γ函数 不完全Γ函数 659
17.2 B函数 660
17.3 误差函数 菲涅尔积分 661
17.4 指数积分 对数积分 正弦积分 余弦积分 662
17.5 勒让德函数 勒让德多项式 663
17.5.1 勒让德方程与勒让德函数 663
17.5.2 勒让德多项式的定义 微商表示与积分表示 665
17.5.3 Pn(z)的母函数 Pn(z)的递推公式 667
17.5.4 Pn(z)的正交性 傅里叶-勒让德级数 667
17.5.5 第二类勒让德函数 668
17.5.6 连带勒让德函数及其递推公式 669
17.5.7 的正交性 按展开 670
17.5.8 n阶球面调和函数及其正交性 671
17.6 贝塞尔函数 673
17.6.1 贝塞尔方程与贝塞尔函数 673
17.6.2 第一类贝塞尔函数及其递推公式 673
17.6.3 半奇数阶贝塞尔函数 675
17.6.4 Jv(z)的积分表示整数阶的贝塞尔函数的母函数 675
17.6.5 Jv(z)的零点 677
17.6.6 贝塞尔函数的正交性傅里叶贝塞尔级数 677
17.6.7 第二类贝塞尔蛹数 678
17.6.8 第三类贝塞尔函数 680
17.6.9 修正贝塞尔函数 680
17.6.10 开耳芬函数 682
17.6.11 球贝塞尔函数 682
17.6.12 各类贝塞尔函数的渐近展开式 683
17.7 埃尔米特函数与埃尔米特多项式 684
17.8 拉盖尔函数与拉盖尔多项式 685
17.9 切比雪夫多项式 687
17.9.1 第一类切比雪夫多项式 687
17.9.2 第二类切比雪夫多项式 689
17.10 超几何函数 689
17.10.1 超几何方程 689
17.10.2 超几何级数与超几何函数 690
17.10.3 雅可比多项式 691
17.10.4 超几何函数的积分表示 692
17.10.5 用超几何函数表示的富克斯型方程解的例 692
17.11 合流超几何函数 692
17.11.1 合流超儿何方程与合流超几何函数 692
17.11.2 合流超几何函数的积分表示 693
17.11.3 惠特克方程与惠特克函数 694
17.11.4 抛物柱面函数 695
17.12 椭圆积分与椭圆函数 696
17.12.1 椭圆积分 696
17.12.2 不完全椭圆积分与完全椭圆积分 698
17.12.3 椭圆函数 698
17.12.4 魏尔斯特拉斯椭圆函数函数σ函数 699
17.12.5 θ函数 701
17.12.6 雅可比椭圆函数 701
18.科学计算 704
18.1 误差与近似 70
18.1.1 误差和有效数字 704
18.1.2 稳定性和数值稳定性 705
18.1.3 收敛速度 706
18.1.4 里查森(Richardson)外推 706
18.2 插值法 707
18.2.1 拉格朗日插值 707
18.2.2 尼维勒(Ncvillc)算法和艾特肯(Aitkcn)算法 708
18.2.3 牛顿插值 709
18.2.4 等距节点插值 709
18.25 埃尔米特插值 710
18.2.6 分段线性插值 711
18.2.7 分段三次埃尔米特插值 711
18.2.8 t次样条插值 712
18.3 曲线拟合 714
18.3.1 曲线拟合的最小二乘法 714
18.3.2 直线拟合 715
18.3.3 用正交函数作最小二乘拟合 716
18.4 数值微分 717
18.4.1 求导公式 717
18.4.2 样条求导 718
18.5 数值积分 718
18.5.1 数值积分的基本概念 718
18.5.2 牛顿-科茨公式 719
18.5.3 复化求积公式 721
18.5.4 龙贝格(Romberg)积分 722
18.55 高斯公式 722
18.5.6 重积分 728
18.5.7 蒙特卡洛(Monte-Carlo)法 729
18.6 常微分方程的数值解法 731
18.6.1 阶方程及单步法 731
18.6.2 线性多步法 734
18.6.3 阶方程组 736
18.6.4 化高阶方程为一阶方程组 738
18.7 非线性方程和非线性方程组 739
18.7.1 非线性方程 739
18.7.2 代数方程求棍 742
18.7.3 非线性方程缉 745
18.8 解线性方程组的直接方法 746
18.8.1 高斯消去法 746
18.8.2 选主元 747
18.8.3 高斯若尔当消去法 748
18.8.4 LU分解法 749
18.8.5 LDLT分解法 752
18.8.6 平方根法 753
18.8.7 追赶法 754
18.9 解线性方程组的迭代法 755
18.9.1 基本概念 755
18.9.2 雅可比迭代法 756
18.9.3 高斯-赛德尔迭代法 757
18.9.4 超松弛迭代法 758
18.10 矩阵的特征值与特征向量计算 759
18.10.1 一些代数知识 759
18.10.2 幂法 760
18.10.3 反幂法 762
18.10.4 魏兰特(Wielandt)紧缩 764
18.10.5 QR方法 764
18.10.6 雅可比方法 765
18.10.7 豪斯霍尔德方法 768
18.10.8 对称三对角阵的特征值计算 77l
18.11 偏微分方程的数值解法 774
18.11.1 有限差分法 774
18.12 编程技巧 779
19.组合论 781
19.1 生成函数 781
19.1.1 生成函数及其代数运算 781
19.1.2 牛成函数的分析运算 788
19.1.3 普生成函数与指数生成函数间的关系 790
19.2 复合函数的高阶导数 792
19.3 斯特林数与拉赫数 794
19.3.1 斯特林数 794
19.3.2 拉赫数 796
19.4 伯努利数与贝尔数 797
19.4.1 伯努利数 797
19.4.2 贝尔数 797
19.5 伯努利多项式 贝尔多项式 求和公式 798
19.5.1 伯努利多项式 798
19.5.2 贝尔多项式 799
19.5.3 求和公式 800
19.6 反演公式 801
19.6.1 基本概念 801
19.6.2 反演公式 803
19.6.3 二项式型多项式列 804
19.7 容斥原理 807
19.7.1 一些记号 807
19.7.2 容斥原理 807
19.7.3 容斥原理的应用举例 808
19.8 递归关系 809
19.8.1 有关递归关系的一些基本概念 809
19.8.2 元线性递归关系 810
19.8.3 非线性递归关系 811
19.8.4 阿贝尔恒等式 811
19.85 拉姆齐定理 拉姆齐数及其应用 812
19.9 (0,1)矩阵 814
19.9.1 基本概念 814
19.9.2 积和式与关联矩阵的性质 815
19.10 线秩和项秩 817
19.10.1 线秩和项秩 817
19.10.2 双随机矩阵 817
20.图论 819
20.1 基本概念 819
20.1.1 图与子图 819
20.1.2 图的运算 821
20.2 通路与回路 822
20.2.1 顶点的度 822
20.2.2 通路与同路 823
20.2.3 赋权图与最短通路 824
20.3 E图与H图 825
20.3.1 E图 825
20.3.2 H图 825
20.4 树与割集 826
20.4.1 树与生成树 826
20.4.2 连枝集与基本回路集 827
20.4.3 割集与断集 827
20.5 图的矩阵表示 828
20.5.1 邻接矩阵 828
20.5.2 美联矩阵 829
20.5.3 回路矩阵 830
20.5.4 割集矩阵 832
20.6 平面图 832
20.6.1 平面图 832
20.6.2 对偶图 834
20.7 网络流 835
20.7.1 网络与流 835
20.7.2 标号算法 836
21.随机过程 837
21.1 随机过程的概念 837
21.1.1 随机过程的定义 837
21.1.2 随机过程的分布函数 838
21.1.3 随机过程的数字特征 839
21.1.4 两个或两个以上随机过程的联合分布和数字特征 839
21.2 马尔可夫过程 840
21.2.1 马尔可夫过程的定义 840
21.2.2 马尔可夫链 841
21.2.3 时间连续、状态离散的马尔可夫过程 844
21.2.4 扩散过程 846
21.3 平稳随机过程 848
21.3.1 平稳随机过程的定义 818
21.3.2 平稳随机过程的数字特征 848
21.3.3 各态历经性 849
21.3.4 相关函数的性质 851
21.3.5 平稳过程的功率谱密度 852
22.数理统计 855
22.1 抽样分布 855
22.1.1 基本概念 855
22.1.2 经验分布 856
22.1.3 抽样分布 857
22.2 参数估计 861
22.2.1 点估计 861
22.2.2 点估计的评价标准 862
22.2.3 区间估计 864
22.2.4 随机参数的估计 867
22.3 假设检验 870
22.3.1 假设检验的原理与基本步骤 870
22.3.2 参数假设检验 870
22.3.3 非参数假设检验 875
22.11 线性模型 878
22.4.1 基本概念 878
22.4.2 叫归分析 879
22.4.3 方差分析 883
22.5 抽样调查 887
22.5.1 基本概念 887
22.5.2 简单随机抽样 888
22.5.3 不等概PPs抽样 894
22.5.4 分层抽样 895
22.5.5 多阶抽样 898
22.6 多无数据分析 900
22.6.1 多元数据 900
22.6.2 主成分分析 901
22.6.3 因子分析 904
22.6.4 多总体费歇尔判别 905
22.6.5 聚类分析 907
23.运筹学 909
23.1 排队论 909
23.1.1 服务系统的分类与特征 909
23.1.2 排队模型的符寸表示 909
23.1.3 服务系统的运行指标 910
23.1.4 状态概率及其求解的方法 911
23.1.5 排队论中常用的事件流的概率分布 911
23.1.6 单通道损失制(M/M/1/0) 913
23.1.7 多通道损火制(M/M/n/0) 914
23.1.8 单通道等待制(M/M) 915
23.1.9 多通道等待制(M/M/n) 916
23.1.10 单通道混合制(M/M/m) 918
23.1.11 多通道混合制(M/M/m) 920
23.1.12 M/G/1模型 921
23.1.13 M/D/1模型.M/Ek/1模型 922
23.1.14 排队系统的最优化 923
23.2 决策论 925
23.2.1 决策模型 925
23.2.2 确定型决策问题 925
23.2.3 风险型决策问题 926
23.2.4 不确定型决策问题 930
23.3 对策论 933
23.3.1 基本概念 933
23.3.2 存在定理 935
23.3.3 矩阵对策 936
23.3.4 矩阵对策的求解方法 939
23.4 存储论 943
23.4.1 基本概念 913
23.4.2 确定性存储模型 914
23.4.3 随机性存储模型 945
24.控制理论 951
24.1 基本概念 95l
24.1.1 系统的状态 951
24.1.2 系统的方程 951
24.1.3 最优控制问题 953
24.1.4 闭环控制与开环控制 955
24.2 线性状态方程的解 955
24.2.1 时变系统的解 955
24.2.2 转移矩阵 956
24.2.3 连续状态方程的离散化 956
24.2.4 离散状态方程的解 957
24.3 线性系统的完全能控性与完全能观测性 959
24.3.1 连续系统的能控性与能观测性 959
24.3.2 离散系统的能控性与能观测性 962
24.3.3 能控性与能观测性的对偶关系 963
24.4 动态规划方法 963
24.4.1 用动态规划解离散型最优控制问题的方法 963
24.4.2 离散型随机线性二次最优控制问题的解法 965
24.4.3 连续系统的哈密顿雅可比贝尔曼方程 965
24.4.4 连续型线性二次最优控制问题的解法 966
24.5 最小值原理 967
24.5.1 连续系统的最小值原理 967
24.5.2 离散系统的最小值原理 968
24.6 随机系统的最优控制 969
24.6.1 基本概念 969
24.6.2 卡尔曼滤波方法 969
24.6.3 随机控制系统的分离定理 971
25.最优化方法 974
25.1 线性规划 974
25.1.1 线性规划问题的一般形式 974
25.1.2 化线性规划的一般形式为标准形式 975
25.1.3 线性规划问题解的概念 976
25.1.4 线性规划的基本理论 978
25.1.5 单纯形法 980
25.1.6 求初始基本可行解的人工变量法 985
25.1.7 线性规划的对偶理论 991
25.1.8 对偶单纯形法 994
25.1.9 内点法 996
25.2 非线性规划 999
25.2.1 问题与解的概念 999
25.2.2 凸函数和凸规划 1000
25.2.3 最优性条件和对偶 1002
25.2.4 数值最优化方法的一般概念 1007
25.2.5 一维搜索法 1009
25.2.6 无约束最优化的数值方法 1011
25.2.7 约束最优化的数值方法 1014
26.数学建模 1024
26.1 数学模型和数学建模 1024
26.2 开普勒三定律、牛顿万有引力定律和行星运动的规律 1026
26.2.1 引言 1026
26.2.2 从开普勒三定律导出牛顿万有引力定律 1027
26.2.3 从万有引力定律导出开普勒三定律 1029
26.3 量纲分析 1033
26.4 口常生活中的数学模型 1036
26.4.1 复利、年金 1036
26.4.2 人口问题的数学模型 1038
26.4.3 传染病流行的数学模型 1040
26.4.4 减肥的数学模型 1042
26.5 气象学中的Lorenz模型和确定性混沌 1043
26.6 模拟方法建模 1045
26.6.1 随机数的生成方法 1045
26.6.2 确定性行为的模拟：曲线下的面积 1047
26.6.3 随机行为的模拟 1048
26.6.4 港口船只排队问题 1049
数学家译名表（原名-中译名） 1005
数学家译名表（中译名-原名） 1059
索引 1063
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