本书主要介绍代数体函数的值分布，它系统地阐述这一领域的基本理论和半个多世纪以来国内外的发展状况和最新研究成果。其内容包括代数体函数的Riemann曲面，Nevanlinna理论，Ahlfors覆盖曲面几何理论与特征函数与基本不等式，型函数，代数体函数的充满圆与奇异方向，唯一性定理，正规族定理等内容。为了读者阅读方便，本书最后写了一个附录，对书中涉及较多的覆盖曲面理论和无穷乘积进行了介绍。本书是国内外系统介绍代数体函数值分布的第一部专著，它的主要读者为大学数学专业高年级学生、研究生、教师以及有关的科技工作者。
样章试读
目录
1.1 结式及公因子. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 多项式的结式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 孤立点定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2 代数体函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.2.1 代数体函数的定义. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 正则函数元素. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 函数元素的开拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.3.1 直接开拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.3.2 解析开拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.4 Riemann 曲面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 代数体函数决定的Riemann 曲面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 奇异元素. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
1.5 零点与极点. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 代数体函数类. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.1 两个代数体函数相等. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.2 亚纯开拓. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
1.6.3 导函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
1.6.4 代数体函数的对应运算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
第2 章Nevanlinna 特征函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
2.1 亚纯函数的Poisson-Jensen 公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Nevanlinna 第一基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 特征函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43
2.2.2 第一基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 代数体函数的增长性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.1 增长级与系数函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2 整代数体函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 分支点的估计. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
第3 章第二基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
3.1 Nevanlinna 第二基本定理及其应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
3.1.1 Nevanlinna 第二基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.2 复合函数log f(z) 及对数导数定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.3 余项定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
3.1.4 Milloux 定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.5 第二基本定理的应用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2 关于导数的庄圻泰不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3 关于小代数体函数的第二基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
第4 章Ahlfors 的几何方法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
4.1 球面曲线与球面面积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
4.1.1 球极投影. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.1.2 球面上曲线的长. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.3 球面面积公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2 改良的Ahlfors 基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.2.1 Ahlfors 型第二基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2.2 角域内的基本不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.3 Ahlfors 特征函数与Nevanlinna 特征函数之间的关系. . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3.1 格林公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3.2 平均覆盖次数的分析推导. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.3.3 Ahlfors 型第一基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.4 关于岛的基本定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
第5 章型函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
5.1 一些引理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
5.2 型函数的分类. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2.1 Valion 有限级型函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
5.2.2 熊庆来无限级型函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.2.3 零级型函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
第6 章代数体函数的充满圆及奇异方向. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1 代数体函数的充满圆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
6.1.1 有限正级情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.1.2 无穷级情形. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.2 代数体函数的奇异方向. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.3 涉及重值的代数体函数的充满圆和奇异方向. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.4 代数体函数的最大型Borel 方向. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.4.1 最大型Borel 方向的存在性. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188
6.4.2 最大型Borel 方向上的充满圆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192
6.5 无奇异方向的代数体函数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
第7 章代数体函数的唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.1 代数体函数的循环运算. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.2 五值型定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.3 涉及重值?亏值的唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212
7.4 代数体函数类中的唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.4.1 Nevanlinna 型唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.4.2 与导函数相关的唯一性定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226
第8 章代数体函数的正规族. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.1 Hausdor? 距离. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.2 正规定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234
8.2.1 关于面积的正规定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.2.2 Montel 型正规定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
附录. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
A.1 Euler 特征数. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
A.2 覆盖曲面. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
A.2.1 Riemann-Hurwitz 公式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
A.2.2 Ahlfors 覆盖曲面的定理. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
A.3 无穷乘积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
A.3.1 收敛判别法. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
A.3.2 典型乘积. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
参考文献. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274
索引. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288]]>
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