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内容简介
本书作者是著名的微分几何学家．本书是根据作者两次讲演的记录整理而成的，故分为两部分．第一部分共四章，一章以欧拉示性数为中心讨论多面体的微分几何，两章讨论曲线论的大范围性质，另一章讨论多面体的体积和多边形的面积．第二部分共九章，讨论二维曲面的整体微分几何．本书原版是Spring#r出版社出版的“数学记录丛书”的第1000卷，陈省身教授为该书写了序言．
目录
- 第一部分 几何选讲（纽约大学，1946，记录者 Peter Lax）
第一章 欧拉示性数及有关问题
1．欧拉定理
2．第一证明（勒让德尔）
3．欧拉定理的系理
4．欧拉定理第二证明（施泰因内尔）
5．关于多面形的一般概念
6．欧拉定理第三证明
7．更高亏格的曲面
8．对于黎曼面的应用
9．欧拉示性数在矢场论中的作用
10．欧拉定理的纯组合证明（柯西）
11．关于一维复形的一般概念
12．柯西的一个定理
13．德瓜公式
14．n维单形定义
15．n维凸多面形的欧拉示性数
16．n维球单形
第二章 初等微分几何选讲
1．曲率
2．施瓦尔茨的一个定理
3．关于圆的一项最小性质
4．四顶定理
5．切线不连续转动的曲线
6．四顶定理的黑尔格洛茨证明
7．简单闭曲线的总曲率
8．一般闭曲线的总曲率
第三章 等周不等式及有关不等式
1．等周不等式的施米特证明
2．到n维的推广
3．等周不等式的胡尔维茨证明
4．一类更一般的不等式
5．三维等周不等式证明的完成
第四章 初等的面积和体积概念
1．矩形面积和矩体体积
2．相抵多边形（多面体）
3．相抵多边形的分解
4．多面体对于正则重分的相抵类
5．多面体的相抵类
6．相抵棱柱
问题
第二部分 整体微分几何（斯坦福大学，1956，记录者 J.W.Gray）
引言
第一章 曲面的局部微分几何（纲要）
0．记号
1．初等概念
2．第一基本齐式
3．短程线
4．平移
5．黎曼空间
6．二维黎曼几何中的曲率
7．E3里曲面的高斯曲率
8．第二基本齐式
9．两个基本齐式的关系
10．几点补充
第二章 关于微分几何中闭曲面的一些一般事实
1．E3里的简单闭曲面
2．抽象闭曲面
3．E3里的一般闭曲面
4．黎曼几何
第三章 具有黎曼度量的闭曲面的总曲率和关于线素场奇点的庞加莱定理
1．曲线族的奇点
2．主要定理
3．球面映射的度数
4．到高维的推广
第四章 卵形面的阿达马特征
1．E3里的卵形面
2．到高维的推广
第五章 具常数高斯曲率的闭曲面（希尔伯特法）——推广及问题——关于魏因加尔吞曲面的一般事实
1．球面的一个特征
2．魏因加尔吞曲面
3．等周问题和具常数中曲率的曲面
第六章 具常数中曲率的一般零亏闭曲面——推广
1．正方参数
2．主要定理
3．特殊魏因加尔吞曲面
第七章 具常数中曲率的简单闭曲面（亏格任意）——推广
1．引言
2．球面的另一个特征
3．简单闭曲面的一项“对称”性质
4．绝对椭圆的偏微分方程
5．主要定理
6．推广——简单闭魏因加尔吞曲面
第八章 关于卵形面的全等定理
1．等距曲面的第二基本齐式
2．曲线网及其奇点
3．主要定理
第九章 具负常数高斯曲率曲面的奇点
1．奇点
2．切比雪夫网
3．主要定理
4．其他细节及推广
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