本书灵活地运用多种非线性分析工具，系统地论述了一些重要的常微分方程和偏微分方程边值问题解的存在性和唯一性。主要内容有非共振问题、共振问题、强共振问题、特征线问题及其扰动、非线性常微分方程边值问题正解、结点解的存在性和解集分支的全局结构。本书在第一版的基础上，新增了正算子及分歧，非线性常微分方程边值问题的正解，分歧理论在非线性常微分方程边值问题中的应用等内容。
样章试读
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《现代数学基础丛书》序
第二版前言
第一版前言
第1章 半线性微分方程的现代方法简介 1
1.1 线性微分方程 1
1.1.1 线性特征值问题 1
1.1.2 Fredholm二择一性质 5
1.1.3 线性微分方程 7
1.2 Sobolev空间与嵌入定理 10
1.2.1 Sobolev空间 10
1.2.2 嵌入定理 11
1.2.3 n=1时的Sobolev空间 12
1.3 单调算子 13
1.3.1 单调算子的概念 13
1.3.2 单调算子的满值性 14
1.3.3 凸泛函与其梯度算子 15
1.4 同胚的充分条件 16
1.5 常用的不动点定理 17
1.5.1 压缩映射原理 17
1.5.2 Schauder不动点定理 17
1.5.3 Poincare-Birkhoff不动点定理 18
1.6 含参方程的解集连通理论 19
1.6.1 解集为连通集的充分条件 19
1.6.2 解集中含有连通分支的条件 21
1.7 延拓定理 22
1.7.1 Leray-Schauder原理 22
1.7.2 Mawhin延拓定理 23
1.8 变分方法 25
1.8.1 无约束极值点 25
1.8.2 Ekeland变分原理 26
1.8.3 极大极小原理 27
1.9 正算子理论 30
1.9.1 锥上的不动点定理 30
1.9.2 Gelfand公式Krein-Rutman定理 32
1.10 分歧理论 33
附注Ⅰ 36
第2章 线性方程的不跨特征值扰动 37
2.1 不跨特征值问题研究概况 37
2.1.1 Dolph定理 37
2.1.2 一个趋势 39
2.1.3 方程组的情形 40
2.2 抽象方程·渐近一致·minimax方法 41
2.2.1 一个minimax定理 42
2.2.2 L2空间中的抽象结果 46
2.2.3 应用举例 50
2.3 常微分方程组的周期解·渐近非一致·Hadamard反函数定理 54
2.4 波方程·渐近非一致·Mawhin延拓定理 58
2.4.1 主要定理 59
2.4.2 预备引理 60
2.4.3 定理 2.4.1 的证明 64
2.4.4 存在唯一性结果 66
2.5 椭圆方程·渐近非一致·鞍点约化法 66
2.5.1 一对存在性结果 66
2.5.2 注记 71
2.6 Duffing方程·渐近非一致·相平面分析法 73
2.6.1 主要存在性结果 73
2.6.2 一个重要反例 74
2.6.3 预备引理 75
2.6.4 定理2.6.2的证明 83
2.6.5 Duffing方程2π周期解的唯一性 84
附注Ⅱ 87
第3章 线性方程的跨特征值扰动 88
3.1 Landesman和Lazer的结果·有界非线性项·临界点理论 88
3.1.1 一个抽象临界点定理 88
3.1.2 Landesman和Lazer的结果 91
3.2 多解定理·有界非线性项·映射同胚的条件 94
3.2.1 记号 94
3.2.2 Lyapunov-Schmidt过程 95
3.2.3 Γg(t)的行为 97
3.2.4 存在性定理 98
3.2.5 多解定理 99
3.2.6 方程Δu+λ1u+f(x,u)=g∧ 101
3.2.7 λk-1≤λk+f′(s)≤λk+1时的结果 102
3.3 椭圆方程·有界非线性项·集连通技巧 103
3.3.1 主要结果 103
3.3.2 定理的证明 105
3.4 两点边值问题·渐近一致条件·延拓定理 108
3.4.1 Landesman-Lazer条件下的结果 108
3.4.2 符号条件下的结果 111
3.5 抽象方程·渐近非一致·延拓定理 119
3.5.1 记号和引理 120
3.5.2 抽象存在性结果 123
3.5.3 应用 129
3.6 两点边值问题·渐近非一致·延拓定理 131
3.6.1 符号条件下的Dirichlet边值问题 131
3.6.2 广义符号条件下的Neumann问题 138
3.6.3 广义符号条件下的Dirichlet问题 138
3.7 Duffing方程·跨有限个特征值·Poincaré-Birkhoff定理 141
3.7.1 结论 142
3.7.2 预备引理 143
3.7.3 定理 3.7.1 的证明 146
附注Ⅲ 149
第4章 强共振和带周期非线性项的共振 150
4.1 共振问题的分类 150
4.2 椭圆方程Dirichlet问题·强共振·C条件及环绕理论 152
4.2.1 C条件及临界点定理 153
4.2.2 C条件的验证 153
4.2.3 解的存在性 158
4.2.4 非平凡解的存在性 160
4.3 波方程·强共振·Link理论 163
4.3.1 预备知识 164
4.3.2 定理 4.3.1 的证明 167
4.3.3 非平凡解的存在性 168
4.4 两点边值问题·周期非线性项·临界点理论 170
4.4.1 预备知识 170
4.4.2 主要结果 172
4.5 椭圆方程·周期非线性项·没有[P.S.]的环绕理论 176
4.5.1 预备引理 177
4.5.2 不同类集族间的联系 178
4.5.3 定理 4.5.1 的证明 180
4.5.4 定理 4.5.2 的证明 183
附注Ⅳ 185
第5章 特征线问题及其扰动 186
5.1 Fǔcik谱的定义 186
5.1.1 假设和记号 186
5.1.2 集合Ai(i=-1,0,1,2,3)的性质 187
5.1.3 Fǔcik广义谱 192
5.1.4 几点补充 196
5.2 Liénard方程PBVP·不跨特征线扰动·Leray-Schauder度理论 197
5.2.1 一个重要引理 197
5.2.2 存在性定理 199
5.3 两点边值问题·跨特征线扰动·延拓定理 203
5.3.1 预备引理 203
5.3.2 Landesman-Lazer型存在定理 205
5.3.3 高特征值的情形 208
5.4 梁方程·不跨特征线扰动·Leray-Schauder原理 209
5.4.1 两参数特征值问题 209
5.4.2 存在性定理 211
附注Ⅴ 212
第6章 非线性常微分方程边值问题的正解 213
6.1 二阶常微分方程两点边值问题的Green函数 213
6.2 非线性二阶常微分方程Sturm-Liouville问题正解的存在性 218
6.3 二阶常微分方程多点边值问题的Green函数 223
6.4 非线性常微分方程多点边值问题正解的存在性 229
第7章 分歧理论在非线性常微分方程边值问题中的应用 238
7.1 非线性四阶常微分方程两点边值问题正解的存在性 238
7.2 非线性常微分方程边值问题的结点解 246
7.3 非线性常微分方程多点边值问题解的全局分歧结构 255
参考文献 264
《现代数学基础丛书》已出版书目 280
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