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本书是为物理学家写的一本微分几何，是在1990年版的基础上，进行修订补充，将原版14章扩充到了23章。全书分为三部分：第一部分介绍流形微分几何，是理论物理研究生教学的基本内容，介绍了流形、流形上张量场、仿射联络与曲率以及流形上度规、辛、复、自旋等重要几何结构。第二部分介绍纤维丛几何，介绍了示性类与A-S指标定理，深入分析量子规范理论的大范围拓扑性质、各级拓扑障碍、瞬子、单极、分数荷与超对称等现代物理前沿问题。第三部分介绍非交换几何及其在量子物理中的应用、量子群与q规范理论。
本书适合物理学专业研究生以及从事理论物理的科学工作者阅读。
目录
- 第一部分 流形微分几何
第一章 流形微分流形与微分形式
§1．1流形流形的拓扑结构
§1．2微分流形流形的微分结构
§1．3切空间与切向量场
§1．4余切向量场
§1．5张量积与流形上高阶张量场
§1．6Cartan外积与外微分微分形式
§1．7流形的定向流形上积分与Stokes公式
习题一
第二章 流形的变换及其可积性 李变换群及李群流形
§2．1流形间映射及其诱导映射正则子流形
§2．2局域单参数李变换群李导数
§2．3积分子流形Frobenius定理
§2．4用微分形式表达的Frobenius定理微分方程的可积条件
§2．5李群流形
§2．6李变换群齐性G流形
§2．7不变向量场李代数指数映射
习题二
第三章 仿射联络流形
§3．1活动标架法流形切丛与标架丛
§3．2仿射联络与协变微分
§3．3曲率形式与曲率张量场
§3．4测地线方程切丛联络的挠率张量
§3．5协变外微分算子
§3．6联络的和乐群
习题三
第四章 黎曼流形
§4．1黎曼度规与黎曼联络
§4．2黎曼流形上微分形式
§4．3黎曼曲率张量Ricci张量与标曲率
§4．4等长变换与共形变换曲率张量按转动群表示的分解
§4．5截面曲率等曲率空间
§4．6爱因斯坦引力场方程
§4．7正交标架场与自旋联络时空规范理论初步
§4．8测地线Jacobi场与Jacobi方程
习题四
第五章 欧空间的黎曼子流形正交活动标架法
§5．1黎曼流形的子流形诱导度规与诱导联络
§5．2n维欧空间En的子流形正交活动标架法
§5．3n维欧空间E3中曲线与曲面
§5．4用Cartan活动标架法计算黎曼曲率
§5．5伪球面与Backlund变换
§5．6测地线与局域法坐标系
习题五
第六章 齐性黎曼流形对称空间
§6．1李群的黎曼几何结构
§6．2齐性黎曼流形
§6．3对称空间与局域对称空间
§6．4对称空间的代数结构（G，H，s）三元组非线性实现
§6．5非线性s模型对偶对称与孤子解
§6．6非局域守恒流隐藏对称性的Noether分析
习题六
第七章 流形的同伦群与同调群
§7．1同伦映射及具有相同伦型的流形
§7．2流形的基本群多连通空间的覆盖空间
§7．3流形的各阶同伦群pk（M）（k∈N）
§7．4相对同伦群与群同态正合系列纤维映射正合系列
§7．5同调群Hk（M，Z）
§7．6一般同调群Hk（M，G）
§7．7同伦群与同调群关系n维球面Sn的各阶同伦群
习题七
第八章 上同调论deRham上同调论及其他相关伦型不变量
§8．1上同调论对偶同态与对偶链群
§8．2链复形与链映射同调正合系列
§8．3相对（上）同调群切除定理与Mayer-Vietoris（上）同调序列
§8．4若干群流形各阶同调群Poincaré多项式
§8．5deRham上同调论
§8．6谐和形式Harmk（M，R）
§8．7李群流形上双不变形式对称空间上不变形式
习题八
第九章 Morse理论 CW复形与拓扑障碍分析
§9．1CW复形
§9．2Morse函数与Morse不等式
§9．3路径空间W（M）的伦型Morse理论基本定理
§9．4若干齐性空间的稳定同伦群U群的Bott周期
§9．5正交群与辛群的Bott周期
§9．6拓扑障碍与示性类Stiefel-Whitney类
§9．7Cech（上）同调拓扑性质对几何结构的影响
习题九
第十章 辛流形 切触流形
§10．1辛流形（M，w）
§10．2辛向量场与哈密顿向量场泊松括弧
§10．3泊松流形与辛叶Schouten括弧
§10．4辛流形的子流形
§10．5齐性辛流形与约化相空间动量映射
§10．6切触流形（M，h）
习题十
第十一章 复流形
§11．1复流形及其复结构近复结构与近复流形（M，J）
§11．2近复结构可积条件Nijenhuis张量
§11．3近辛流形上近复结构近厄米流形（M，w，J）
§11．4厄米流形（M，H）
§11．5厄米流形上仿射联络
§11．6Kahler流形
§11．7Kahler-Einstein特殊Kahler流形及紧Kahler流形的Hodge
分解定理
习题十一
第十二章 旋量自旋流形
§12．1旋量
§12．2时空的Lorentz变换与自旋变换旋量张量代数
§12．3Dirac旋量Weyl旋量纯旋量各维旋量的矩阵表示结构
§12．4各维旋量的表示结构Maiorana表象
§12．5自旋结构与自旋流形Spinc结构
§12．6自旋结构的联络Dirac算子Weitzenbock公式
习题十二
第二部分 纤维丛几何、规范场论
第十三章 纤维丛的拓扑结构
§13．1向量丛E（M，F，p，G）
§13．2与矢丛E相关的各种纤维丛标架丛L（E）
§13．3主丛P（M，G）与其伴矢丛E=P×GV
§13．4丛射诱导丛主丛的约化
§13．5纤维丛的同伦分类普适丛与分类空间
*§13．6矢丛的分类及K理论
习题十三
第十四章纤维丛上联络与曲率
§14．1主丛P（M，G）上联络与曲率
§14．2伴矢丛P×GV上联络与曲率物质场与规范场相互耦合
§14．3k秩向量丛截面上协变微分算子 与联络算子D
§14．4对偶矢丛直积丛上联络与曲率切丛联络的挠率问题
§14．5平行输运与联络的和乐群G结构具特殊和乐群的联络
习题十四
第十五章 示性类
§15．1陈-Weil同态
§15．2复矢丛与陈示性类（chernclass）
§15．3实矢丛与Pontrjagin类
§15．4实偶维定向矢丛与欧拉类
§15．5Stiefel-Whitney类
§15．6普适丛与普适示性类H*（BG，K）各种示性类间关系
§15．7次级示性类：陈-Simons形式
习题十五
第十六章 杨-Mills规范理论时空流形上纤维丛几何
§16．1杨-Mills场的作用量与运动方程
§16．2tHooft单极静球对称无奇异单极解析求解
§16．3非Abel规范场的规范不变守恒流
§16．4E4空间（反）自对偶瞬子解
§16．5规范场与玻色场耦合体系
§16．6Seiberg-Witten单极方程
习题十六
第十七章 规范理论与复几何
§17．1物理时空的复化及共形紧致化
§17．2Plucker映射与Klein二次型紧致复化时空M上光锥结构
§17．3复流形上全纯丛结构层与层上同调
§17．4Radon-Penrose变换
§17．5多瞬子（instantons）的ADHM组成
§17．6多单极解Nahm方程与ADHMN组成
§17．7单极周围零能费米子解Twistor方程及自对偶超对称单极
习题十七
第十八章 Atiyah-Singer指标定理
§18．1引言欧拉数及其有关定理
§18．2椭圆微分算子及其解析指数
§18．3紧支上同调与矢丛上同调，Thom同构与欧拉示性类
§18．4矢丛K理论简介椭圆微分算子的拓扑指数与Atiyah-Singer指标定理
§18．5经典椭圆复形及其相应指标定理
§18．6A-S指数定理证明的简单介绍热方程证明
§18．7利用超对称场论模型证明A-S指数定理
§18．8A-S指数定理在物理中应用举例
习题十八
第十九章 量子反常拓扑障碍的递降继承
§19．1单态反常与Atiyah-Singer指标定理
§19．2联络空间同调论与上同调论推广的陈-Simons形式系列
§19．3规范群的各级拓扑障碍Cech-deRham双复形
§19．4规范群上闭链密度（W系列）与规范代数上闭链密度（w系列）
简并上边缘算子
§19．5非Abel手征反常和反常自洽条件Wess-Zumino-Witten有效作用量4维规范群4的1上闭链
§19．6非Abel反常的拓扑根源协变反常
§19．7哈密顿形式3维规范群3的2上闭链流代数反常Schwinger-Jackiw-Johnson项
§19．8杂化口袋模型的边界效应2的3上闭链
习题十九
第二十章 规范轨道空间上同调与族指标定理量子场论中大范围拓扑分
§20．1Dirac算子族指标定理
§20．2轨道空间上同调及其提升规范群上同调
§20．3量子规范理论的拓扑效应q真空4维杨-Mills理论
§20．4三维时空规范理论与拓扑质量项
§20．5群上同调与群表示结构特点投射表示与Manderstan波函数
§20．6平移群3上闭链的具体实现可除表示与带膜波函数
习题二十
第二十一章 带边流形与开无限流形指标定理APS-h不变量与分数荷问题
§21．1引言
§21．2带边deRham复形指标定理
§21．3Atiyah-Patodi-Singer指标定理
§21．4自旋复形的APS指标定理非局域边界条件
§21．5开无限流形上的指标定理
§21．6APS-h不变量在物理中应用分数费米荷问题
§21．7Dirac算子的弱局域边界条件
习题二十一
第三部分 非交换几何导引
第二十二章 非交换几何及其在量子物理中应用
§22．1引言
§22．2量子相空间Weyl变换及Wigner分布函数Moyal*积
§22．3一维谐振子量子相空间 的相干态表述Fock-Bargmann表象
§22．4群的陪集表示与推广的相干态模糊球 的矩阵表示
§22．5磁场中电子气体磁平移磁Brillouin区IQHE的拓扑理论
§22．6FQHE与Laughlin波函数量子Hall流体与非交换陈Simons理论
第二十三章 量子群 q规范理论 q陈类
§23．1量子超面上线性变换量子群GLq（2）与SUq（2）
§23．2量子群SUq（2）上双协变微分计算
§23．3q-BRST代数q规范理论
§23．4q陈类q陈-Simons．
附录
A 集合论若干概念简单介绍
B 拓扑学若干基本概念介绍
C 若干代数体系简单介绍
D 群同态正合系列子群直积与半直积
E 交换群（Abeliangroup）的若干基本性质
F 向量空间间同态映射张量代数
G 可除代数四元数H与八元数O
H Hopf映射不变量Hopf丛
I 推广的Kroneckerd符号
J 具附加结构的向量空间及其自同构变换群经典李群及其表示
K Clifford代数及其表示
L Spin群及其表示（Spin模）李代数spinN
M SO（3）群及其普适覆盖SU（2）
一般参考书目
参考文献
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